CAPES Algèbre linéaire
Trigonalisation
2009-2010
1 Exercices
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel sur (K =Rou C). Soit r un nombre entier supérieur ou égal à 1. Un endomorphisme u de E est dit nilpotent d'ordre r si ur= 0 et ur−1 6= 01.
1. (a) Montrer que si u est un endomorphisme nilpotent d'ordre r ≥ 1, alors pour tout vecteur x tel que ur−1(x) 6= 0,
{ur−1(x), ur−2(x), . . . , u(x), x}
est une famille libre de E.
(b) On suppose que E est de dimension nie n ≥ 1. Soit u est un endomorphisme de E nilpotent d'ordre r.
i. Montrer que r ≤ n.
ii. Montrer que un= 0.
(c) Si E est de dimension nie n et u est un endomorphisme nilpotent d'ordre n montrer que pour tout vecteur x tel que un−1(x) 6= 0,
Bx= {un−1(x), un−2(x), . . . , u(x), x}
est une base de E et écrire la matrice de u dans cette base.
2. Application : Trigonaliser les matrices suivantes :
A =
0 1 −6 5 1 −11 1 0 −1
, B =
−2 0 0 2
7 4 −3 4
0 4 −2 10
−3 −1 1 0
.
1. Plus généralement, on dira qu'un endomorphisme u de E est dit nilpotent s'il existe un entier r ≥ 1 tel que ur= 0et ur−16= 0.
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Exercice 2 Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice B dans la base canonique B0 s'écrit
B =
0 −1 0
4 4 0
−2 −2 2
.
1. Calculer le polynôme caractéristique Pf de f et déduire que f n'est pas diagonalisable.
2. Pour toute valeur propre λ de f, calculer (f − λIR3)2 et (f − λIR3)3. 3. Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de f est triangu-
laire.
Exercice 3 Soit f l'endomorphisme de R4 dont la matrice B dans la base canonique B0 s'écrit :
B =
1 −2 −1 1
−1 0 0 1
1 −2 0 0
3 −3 −1 −1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique Pf de f et déduire que f n'est pas diagonalisable.
2. Pour toute valeur propre λ de f de multiplicité α, on pose : Nλ =Ker (f − λIR4)α.
Montrer que Nλ est un sous-espace vectoriel de R4 de dimension α.
3. Montrer que
R4= X
λ∈Spect(f )
Nλ.
4. Déduire de ce qui précède une base deR4 dont laquelle la matrice de f soit triangulaire supérieure.
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