CAPES Algèbre linéaire Polynômes annulateurs
2009-2010
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel sur Rde dimension nie.
1. Soit u un endomorphisme de E tel que u3= u.
Montrer que u est diagonalisable. Quelles sont les valeurs propres pos- sibles de u ?
2. Déterminer les endomorphismes v de E tel que (
v3 = v
v4 = 3v3− 2v2+ 6v. (1)
Exercice 2 Déterminer les endomorphismes v de Rn, n ≥ 3, qui annulent polynôme
P (X) = X(X − 1)(X − 2), et dont le déterminant est égal à 4.
Exercice 3 Soit E un espace vectoriel sur R de dimension nie, et u un endomorphisme de E de rang 1. Montrer que
Im u ⊂ Ker u si et seulement si u n'est pas diagonalisable.
Exercice 4 Soit A la matrice de M2(R) dé nie par :
A =
µ 3 2
−1 0
¶ . 1. Calculer le polynôme caractéristique de A.
1
2. En déduire que
A3− 6A2+ 11A − 6I = 0.
Exercice 5 Soit A une matrice de Mn(C)dont le polynôme caractéristique P (A)admet n racines deux à deux distinctes λ1, ..., λn. Montrer que le sous- espace vectoriel de Mn(C)engendré par les matrices (Am)m∈N est de dimen- sion n.
Exercice 6 Soit A la matrice suivante : µ1 1
1 1
¶
Déterminer toutes les matrices X ∈ M2(C) telles que
X2+ X = A. (2)
2
