Exercices en temps libre : Semaine 4 Exercice cours MPSI :
Exercice 1 :
On noteA= 1 2
1 1 −1 1 −1 1
2 0 0
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deA.
2. La matriceAest-elle diagonalisable ?
3. Déterminer un vecteurX tel queA2X 6= 0et en déduire queA est semblable à
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.
Exercice 2 :
On noteA=
1 0 −2 2 −1 −2
0 0 3
etP =X5+X+ 1.
Résoudre l’équationP(M) =Aen diagonalisant la matriceA.
1
Correction : Exercice 1 :
1. On trouveχA=X3. 2. DoncSp(A) ={0}.
On peut vérifier par le calcul que ker(A) 6= R3, ce qui assure que dim(E0) 6= m0 donc A n’est pas diagonalisable.
MAIS ICI, le raisonnement qui suit est classique et doit être connu de TOUS : il peut s’adapter dès que An’admet qu’une seule valeur propre.
Si par l’absurde,A était diagonalisable,A serait semblable à la matrice nulle, donc égale à la matrice nulle. Contradiction. Finalement,An’est pas diagonalisable.
3. Soitf l’endomorphisme canoniquement associé àA. D’après l’allure de la matrice, il suffit de trouver un vecteurv3 tel que f(v3) =v2 etf(v2) =v1 avecv1 non nul. On aura forcémentf(v1) = 0carf3= 0et on a vu en classe que(v1, v2, v3)est libre (donc une base deR3) - revoir l’exercice sur les endomorphismes cycliques -
On cherche doncX tel queA2X 6= 0.
On calculeA2=
0 0 0 2 2 −2 2 2 −2
. Alors par exemple, on observe que siX =
0 0 1
,A2Xn’est pas le vecteur nul.
On pose alorsX3=X,X2=AX etX1=A2X.
Comme on l’a dit précédemment, la matriceP =
... ... ... X1 X2 X3
... ... ...
est telle queP−1AP =T.
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