Chapitre 8 Fonctions numériques de deux variables réelles

Chapitre 8

Fonctions numériques de deux variables réelles

Sommaire

8.1 Le planR² . . . 101

8.1.1 Droites et cercles . . . 101

8.1.2 Exemples de domaines deR² . . . 101

8.2 Fonctions de deux variables . . . 102

8.2.1 Définition et exemples . . . 102

8.2.2 Représentation graphique . . . 103

8.3 Continuité . . . 103

8.3.1 Distance euclidienne dansR² . . . 103

8.3.2 Continuité locale (en un point) . . . 104

8.3.3 Continuité globale . . . 105

8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies surR² . . . 105

8.4.1 Dérivées partielles d’ordre 1. . . 105

8.4.2 ClasseC¹ . . . 106

8.4.3 ClasseC² . . . 107

8.5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles . . . 109

8.5.1 Topologie deR² . . . 109

8.5.2 Extremums . . . 110

8.6 Application en micro-économie . . . 112 L’objectif de ce chapitre est d’arriver à une bonne compréhension des problèmes de recherche d’ex- tréma des fonctions de deux variables en faisant le lien avec les résultats concernant la réduction des matrices. Dans les deux premiers paragraphes, on familiarisera les étudiants avec la notion de fonction de deux variables réelles en évitant tout problème de nature topologique, c’est pourquoi le domaine de définition sera systématiquementR². On introduira la notion de fonction de deux variables réelles à l’aide d’exemples issus d’autres disciplines et on exploitera les visualisations in- formatiques des surfaces en 3D ou les recherches d’éléments propres de matrices permises par Scilab. Tous les résultats concernant les fonctions réelles de deux variables réelles seront admis.

8.1 Le plan R

Rappel :R²={(x,y),x∈R,y∈R}.

On représenteR²sous la forme d’un plan muni traditionnellement d’un repère orthonormé (O,~i,~j).

8.2 Fonctions de deux variables ECE 2ème année

A tout pointM du plan, on associe un couple (x,y)∈R²de coordonnées et réciproquement, à tout couple de réels, on peut associer un point du plan.

8.1.1 Droites et cercles

Toute droite du plan possède une équation du typey=ax+boux=c, ou de manière équivalente, l’équation de toute droite du plan est de la formeax+by+c=0.

Exemple 8.1. L’axe des ordonnées est la droite d’équation x =0 et l’axe des abscisses la droite d’équationy=0.

Tracer dans le plan la droite d’équationy=2x−3 et celle d’équation 4y+2x+1=0.

Le cercle de centre l’origine (0,0) et de rayonr possède comme équation : C_(O,r)={(x,y)∈R²,x²+y²=r²}.

Plus généralement, l’équation du cercle de centre (a,b) et de rayonr est : C_((a,b),r)={(x,y)∈R², (x−a)²+(y−b)²=r²}.

8.1.2 Exemples de domaines de R

l’ensemble des points (x,y) définis par est représenté par la zone hachurée dansR²

½ x≥0 y≥x

y=x







x≥1 y>0 y+x−3≤0

x=1

y+x−3=0

x²+y²≤4 −2 2

½ y≥0 x²+y²<1

1

−1 1

Faire attention aux frontières et préciser si elles sont incluses ou exclues.

8.2 Fonctions de deux variables

8.2.1 Définition et exemples

Définition 8.1.

On appelle fonction numérique réelle de deux variables réelles toute applicationf définie sur un sous-ensembleD_deR²et à valeurs dansR: (x,y)∈D_{7→f(x,y)∈R}

L’ensembleDest appelé ensemble ou domaine de définition def.

ECE 2ème année 8.2 Fonctions de deux variables

Exemples 8.2.

1. Les fonctions coordonnées définies deR²dansRpar : (x,y)7→xet (x,y)7→y.

2. La fonction norme définie deR²dansR₊par : (x,y)7→p

x²+y². 3. Les fonctions polynomiales de deux variables réelles : (x,y)7→ X

(i,j)∈A

a_i,jxⁱy^j où A est une partie finie deN².

4. Les fonctions rationnelles qui sont des quotients de fonctions polynômes.

5. Les fonctionsf(x,y)=x+yetg(x,y)=exp(x y)+y²−1 sont des fonctions de deux variables définies surR²tout entier.

6. Soitf la fonction définie par f(x,y)=ln(x+y). f(x,y) existe si et seulement six+y>0⇔y>

−x; doncD_={(x,y)∈R²_{, y> −}x} demi-plan de frontière la droitey= −xexclue.

7. la fonctiong(x,y)=p^{x y}

x²+y² est définie surR²\{(0,0)}.

8. la fonction h(x,y)= p ^x+y

−4+x²+y² est définie surR², privé du disque de centre l’origine et de rayon 2.

9. En économie, les fonctions de production de Cobb-Douglas, sont les fonctions qui, à deux variables réelles (la quantité de travailLet le capital investitK), associent la production totale P définie par :P(L,K)=βL^αK^1−α, oùαetβsont des réels strictement positifs.

8.2.2 Représentation graphique

Définition 8.2 (Graphe). La fonction de 2 variables f définie sur D _⊂R² fait correspondre à tout point (x,y)∈Dun unique nombre réelz= f(x,y). On peut représenter f dans l’espace par l’ensemble des points de coordonnées (x,y,f(x,y)) où (x,y)∈D. Le graphe de f est donc une surfaceou nappe.

Définition 8.3.

Soit f une fonction définie surD_⊂R². Pour toutc∈R, on appelleligne (ou courbe) de niveau c l’ensembleNc={(x,y)∈D_{, f(x,y)=c}}

Graphiquement : on projette dans le plan (Ox y) l’intersection de la surface définie par f et du plan z=c.

Par abus de langage, cette intersection est parfois elle-même appelée ligne de niveau.

8.3 Continuité ECE 2ème année

Exemple 8.3.

Soit la fonction définie surR²par f(x,y)=3x+y. La ligne de niveaucde f est l’ensemble

{(x,y)∈R²tels que 3x+y=c}={(x,y)∈R²tels quey=c−3x}, c’est-à-dire une droite. Donc toutes les lignes de niveau def sont des droites du plan. En fait, la surface définie par f est un plan deR³. Exemple 8.4.

La ligne de niveaucde la fonction définie surR²par f(x,y)=x²+y²est l’ensemble N_c={(x,y)∈R²tels quex²+y²=c}. Commef est positive, on obtient :

1. sic est strictement négatif,N_c=∅

2. sic est nul :x²+y²=0⇔x=y=0 doncN_c={(0,0)}

3. sic est strictement positif, l’ensembleNc est un cercle de centre (0,0) et de rayonpc.

Ainsi, connaissant toutes les lignes de niveau, on peut en déduire l’allure de la surface définie par f.

8.3 Continuité

8.3.1 Distance euclidienne dans R

On suppose le plan rapporté à un repère orthonormé (O,~i,~j).

Définition 8.4.

La distance euclidienne deA(xA,yA) àB(xB,yB), ou norme de−→

AB, est donnée par : d((x_A,y_A),(x_B,y_B))=d(A,B)= ||−→AB|| =

q(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)².

Propriétés 8.1.

1. ∀A,B,d(A,B)=0⇔A=B. 2. ∀A,B,d(A,B)=d(B,A)

3. ∀A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

4. ∀~u∈R²,||~u|| =0⇔~u=~0.

5. ∀~u∈R²,∀α∈R,||α~u|| ≤ |α|||~u||. 6. ∀(~u,~v)∈R²×R²,||~u+~v|| ≤ ||~u|| + ||~v||.

8.3.2 Continuité locale (en un point)

Définition 8.5.

Une fonction réellef de deux variables réelles, définie surR², est continue en un point (x₀,y₀) de R²si :

∀ǫ>0,∃r>0,∀(x,y)∈R²,d((x,y),(x0,y₀))<r⇒ |f(x,y)−f(x0,y₀)| <ǫ.

Remarque.

On pourra écrire par analogie avec les fonctions d’une seule variable :

(x,y)lim7→(x₀,y₀)f(x,y)=f(x0,y₀).

ECE 2ème année 8.3 Continuité

Définition 8.6(Applications partielles). Soit f une fonction de 2 variables définie surD_{. Lors-} qu’on fixe une des deux variables, on obtient une fonction d’une seule variable, que l’on sait alors étudier.

Ces fonctions sont appeléesapplications partiellesde f. Il y en a deux types :

Pour toutyfixé f_x:t→f(t,y) d’ensemble de définition {t∈R, tels que (t,y)∈D_} et pour toutxfixé f_y:t→ f(x,t) d’ensemble de définition {t∈R, tels que (x,t)∈D_}

Remarque.

attention toutefois, ce n’est parce que les deux applications partielles sont continues que l’applica- tion sera continue ! ! contrexemple : f(x,y)= x y

x²+y² si (x,y)6=(0,0) etf(0,0)=0.

Etude en (0,0) : poury=0, f_x(t,0)=0 donc elle est continue et lim

t→0f_x(t,0)=0 ; de même pourx=0, fy(0,t)=0 donc elle est continue et lim

t→0fy(0,t)=0.

Mais f(x,x)= x∗x x²+x²=1

2−→

x→0

1

26=0=f(0,0).

La continuité est un comportement qui s’étudie enxety simultanément.

EXERCICE8.1.

1. Montrer que, pour tous réelsxety: |x y| x²+y²≤1

2.

2. En utilisant l’inégalité précédente, montrer que la fonctionf définie surR²par : f(x,y)=





 x²y

x²+y² si (x,y)6=(0,0) 0 si (x,y)=(0,0)

est continue en (0,0).

EXERCICE8.2.

Etudier la continuité de la fonctionf définie surR²par : f(x,y)=





 x²y

x⁴+y² si (x,y)6=(0,0) 0 si (x,y)=(0,0)

8.3.3 Continuité globale

Définition 8.7. On dit quef est continue surR²lorsque f est continue en tout point deR².

Propriétés 8.2.

1. Toute fonction polynomiale deR²dansRest continue surR². 2. Les fonctions coordonnées sont continues surR².

3. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.

8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies surR² ECE 2ème année

Propriétés 8.3(Opérations et continuité).

1. La somme,les combinaisons linéaires, le produit, le quotient (quand le dénominateur est non nul) de deux fonctions continues surR²sont continus surR².

2. La composée d’une fonction continue surR²à valeurs dans un intervalle I deRpar une fonc- tion continue sur I à valeur dansRest continue surR².

EXERCICE8.3.

Montrer que la fonctionf définie parf(x,y)=ln(1+x²+e^y) est continue surR².

8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies sur R

8.4.1 Dérivées partielles d’ordre 1

Définition 8.8.

Si pour tout y fixé dansD, l’application partielle fx est dérivable, alors on dit que f admet une dérivée partielle par rapport àxet on note∂₁(f) cette dérivée.

On définit de la même manière la dérivée partielle par rapport ày(lorsque pourxfixé, l’applica- tion partiellefy est dérivable), et on la note∂2(f).

Exemples 8.5.

1. Soitf définie surR²parf(x,y)=3x+y.

Considérons l’application partielle enx, f₁:t→3t+yoùyest un réel fixé.

f₁est un polynôme en la variabletdonc est définie et dérivable surR, et∀t∈R,f₁^′(t)=3. Et ce pour tout réely. Donc f admet une dérivée partielle par rapport àxen tout point (x,y)∈R² et∂₁(f)(x,y)=3.

De même, pour toutx∈Rfixé,f₂:t→3x+t est dérivable surRde dérivéef₂^′(t)=1. Donc f admet une dérivée partielle par rapport à y en tout point (x,y)∈R²et∂₂(f)(x,y)=1.

2. Soitf la fonction définie surR²parf(x,y)=2x³−x²y+x y²−3x y+5x−y+7.

On a∂₁(f)(x,y)=6x²−2x y+y²−3y+5 et∂₂(f)(x,y)= −x²+2x y−3x−1.

3. Sig(x,y)=e^x2+y2, on a∂₁(g)(x,y)=2xe^x2+y2et∂₂(g)(x,y)=2ye^x2+y2. Remarques.

1. −→Plus généralement, il est facile de montrer que si f est un polynôme en les variables x ety, f admet des dérivées partielles d’ordre 1 en tout point (x,y)∈R², De même, dès que f est un produit, quotient, composée de fonctions usuelles... L’existence des dérivées partielles sera donc justifiée à l’aide d’une phrase.

2. −→Pour calculer la dérivée partielle par rapport à une variable, il suffit de considérer l’autre variable comme uneconstanteet de dériver à l’aide des formules connues pour les fonctions d’une variable.

Exemple 8.6.

Soit f définie surR²par f(x,y)=x²y³−x y⁵+x⁴+2y+1. f est une fonction polynôme en les va- riablesxetydoncf admet des dérivées partielles d’ordre 1 par rapport àxetyen tout point deR².

∀(x,y)∈R²,∂₁(f)(x,y)=2x y³−y⁵+4x³et∂₂(f)(x,y)=x²(3y²)−x(5y⁴)+2.

ECE 2ème année 8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies surR²

Définition 8.9(Gradient).

On appelle gradient de f en (x,y) le vecteur deM_{2,1(R), noté∇(f)(x,}y), ce que l’on lit "nabla de f en (x,y) ", défini par :

∇(f)(x,y)=

µ∂₁(f)(x,y)

∂₂(f)(x,y)

¶ .

EXERCICE8.4.

Calculer si elles existent les dérivées partielles d’ordre 1 de la fonctionf définie surR², parf(x,y)= x²y²+x²+y²+4x y.

8.4.2 Classe C

Définition 8.10(Fonction de classeC¹).

On dit que f est de classeC¹ surR² si f admet des dérivées partielles d’ordre 1 surR² et que chacune de ces dérivées partielles est continue surR².

Propriété 8.4.

Toute fonction de classe C¹surR²est continue surR².

Propriétés 8.5(Opérations).

1. La somme,les combinaisons linéaires, le produit, le quotient (quand le dénominateur est non nul) de deux fonctions de classe C¹surR²sont de classe C¹surR².

2. La composée d’une fonction de classe C¹surR²à valeurs dans un intervalle I deRpar une fonction de classe C¹sur I à valeur dansRest de classe C¹surR².

Propriétés 8.6.

1. Toute fonction polynomiale deR²dansRest de classe C¹surR². 2. Les fonctions coordonnées sont de classe C¹surR².

3. Les fonctions rationnelles sont de classe C¹sur leur ensemble de définition.

Théorème 8.7(Développement limité d’ordre 1).

Soit(x,y)∈R², si f est de classe C¹surR², alors pour tout couple de réels(h,k), on a : f(x+h,y+k)=f(x,y)+∂₁(f)(x,y)×h+∂₂(f)(x,y)×k+p

h²+k²ǫ(h,k) oùǫdésigne une fonction continue en(0,0)et telle queǫ(0,0)=0.

Cette égalité est le développement limité à l’ordre1de f en(x,y)et il est unique.

On peut l’écrire également sous la forme suivante : f(x+h,y+k)=f(x,y)+^t∇(f)(x,y).

µh k

¶ +p

h²+k²ǫ(h,k).

8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies surR² ECE 2ème année

8.4.3 Classe C

Définition 8.11(Dérivées partielles d’ordre 2).

Soitf admettant des dérivées partielles d’ordre 1 surR².

1. Si∂₁(f) admet elle-même une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la première variable surR², alors on dit que f possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la première variable surR², et on la note∂²_1,1(f), où∂²_1,1(f)(x,y)=∂₁(∂₁(f))(x,y).

2. Si∂₁(f) admet elle-même une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la seconde variable surR², alors on dit que f possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la première variable puis par rapport à la seconde variable surR², et on la note∂²_2,1(f), où∂²_2,1(f)(x,y)=

∂₂(∂₁(f))(x,y).

3. Si∂₂(f) admet elle-même une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la première variable surR², alors on dit que f possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la seconde variable puis par rapport à la première variable surR², et on la note∂²_1,2(f), où∂²_1,2(f)(x,y)=

∂₁(∂₂(f))(x,y).

4. Si∂₂(f) admet elle-même une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la seconde variable surR², alors on dit que f possède une dérivée partielle d’ordre 2 par rapport à la seconde variable surR², et on la note∂²_2,2(f), où∂²_2,2(f)(x,y)=∂₂(∂2(f))(x,y).

Exemples 8.7. 1. Soit f la fonction définie surR²par : f(x,y)=2x³−x²y−3x y+5x−y+7.

On a :

∂²_1,1(f)(x,y)=12x−2y.

∂²_2,1(f)(x,y)= −2x+2y−3.

∂²_1,2(f)(x,y)= −2x+2y−3.

∂²_2,2(f)(x,y)=2x.

2. Soitg la fonction définie surR²par :g(x,y)=e^x2+y2. On a :

∂²_1,1(g)(x,y)=(2+4x²)e^x2+y2.

∂²_2,1(g)(x,y)=4x ye^x2+y2.

∂²_1,2(g)(x,y)=4x ye^x2+y2.

∂²_2,2(g)(x,y)=(2+4y²)e^x2+y2. Définition 8.12(Matrice Hessienne).

On appelle matrice hessienne ou hessienne def en (x,y) la matrice deM_{2,2(R), noté∇}²_(f)(x,y), ce que l’on lit "nabla deux de f en (x,y) ", définie par :

∇²(f)(x,y)=

µ∂²_1,1(f)(x,y) ∂²_1,2(f)(x,y)

∂²_2,1(f)(x,y) ∂²_2,2(f)(x,y)

¶ .

EXERCICE8.5.

Calculer si elles existent, les dérivées partielles d’ordre 2 de la fonctionf définie surR²parf(x,y)= x²y²+x²+y²+4x y.

Donner la hessienne def si elle existe.

Définition 8.13(Fonction de classeC²).

On dit que f est de classeC² surR² si f admet des dérivées partielles d’ordre 2 sur R² et que chacune de ces quatre dérivées partielles est continue surR².

ECE 2ème année 8.4 Calcul différentiel pour les fonctions définies surR²

Propriété 8.8.

Toute fonction de classe C²surR²est de classe C¹surR².

Propriétés 8.9(Opérations).

1. La somme,les combinaisons linéaires, le produit, le quotient (quand le dénominateur est non nul) de deux fonctions de classe C²surR²sont de classe C²surR².

2. La composée d’une fonction de classe C²surR²à valeurs dans un intervalle I deRpar une fonction de classe C²sur I à valeur dansRest de classe C²surR².

Propriétés 8.10.

1. Toute fonction polynomiale deR²dansRest de classe C²surR². 2. Les fonctions coordonnées sont de classe C²surR².

3. Les fonctions rationnelles sont de classe C²sur leur ensemble de définition.

EXERCICE8.6.

Montrer que la fonctionf définie surR²par :f(x,y)=x²−3x y²+xe^x+3yest de classeC²surR². Remarque.

Attention les dérivées partielles∂²_2,1(f) et∂²_1,2(f) ne sont pas toujours égales !

Théorème 8.11(de Schwartz).

Si f est de classe C²surR², alors∀(x,y)∈R²,∂²_2,1(f)=∂²_1,2(f).

Remarque(Très importante).

Si f est de classeC²surR², alors sa hessienne est une matrice symétrique !

Théorème 8.12(Développement limité d’ordre 2).

Soit(x,y)∈R², si f est de classe C²surR², alors pour tout couple de réels(h,k), on a : f(x+h,y+k)=f(x,y)+∂₁(f)(x,y)×h+∂₂(f)(x,y)×k+1

2(∂²_1,1(f)(x,y)h²+ 2∂²_1,2(f)(x,y)hk+∂²_2,2(f)(x,y)k²)+(h²+k²)ǫ(h,k)

oùǫdésigne une fonction continue en(0,0)et telle queǫ(0,0)=0.

Cette égalité est le développement limité à l’ordre2de f en(x,y)et il est unique.

On peut l’écrire également sous la forme suivante : f(x+h,y+k)=f(x,y)+^t∇(f)(x,y).

µh k

¶ +1

2

¡h k¢

.∇²(f)(x,y).

µh k

¶

+(h²+k²)ǫ(h,k).

EXERCICE8.7.

Donner le développement limité d’ordre 2 de :

f : (x,y)7→2x²e^x−2y au point (2,1), ainsi que sa hessienne en ce point.

8.5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles ECE 2ème année

8.5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles

8.5.1 Topologie de R

Définition 8.14(Boules deR²).

SoitAun point deR²et un réelr strictement positif. On appelle boule ouverte de centre Aet de rayonr, l’ensemble notéB(A,r) des pointsM deR²tels qued(A,M)<r.

La boule est dite fermée et est notéeB_f(A,r), sid(A,M)≤r.

Définitions 8.15(Ouverts et fermés).

Une partieUdeR²est dite ouverte lorsque pour tout point de AdeU, il existe une boule ouverte de centreA, entièrement incluse dansU.

Une partieU deR²est dite fermée lorsque son complémentaire est ouvert.

Exemples 8.8.

L’ensembleR², toute boule ouverte et tout ensemble de la forme ]a,b[×]c,d[ (oùa,b,c,d sont des réels) sont des ouverts deR².

Toute boule fermée et tout ensemble de la forme [a,b]×[c,d] (oùa,b,c,d sont des réels) sont des fermés deR².

Définition 8.16(Bornés).

Une partieU deR²est dite bornée lorsqu’il existe un réelK strictement positif tel que, pour tout point (x,y) deU, on a :x²+y²≤K. Autrement ditU est bornée si elle est incluse dans une boule fermée de centre (0,0).

Exemples 8.9.

Tout ensemble de la forme ]a,b[×]c,d[ (où a,b,c,d sont des réels) et tout ensemble de la forme [a,b]×[c,d] (oùa,b,c,d sont des réels) sont des bornés deR².

Remarque(Importante).

Les définitions de la continuité, de la classeC¹,C²s’adaptent à des fonctions définies seulement sur une partieU deR².

8.5.2 Extremums

Définitions 8.17(extrema locaux-globaux).

On dit que f admet unmaximum localen (x₀,y₀) lorsqu’il existe une bouleB centrée en (x₀,y₀) telle que, pour tout point (x,y)∈B∩U, on a : f(x,y)≤f(x0,y₀).

Le maximum estgloballorsque l’inégalité est vraie sur toutU.

On dit que f admet unminimum localen (x₀,y₀) lorsqu’il existe une bouleB centrée en (x₀,y₀) telle que, pour tout point (x,y)∈B∩U, on a : f(x,y)≥f(x0,y₀).

Le minimum estgloballorsque l’inégalité est vraie sur toutU. Théorème 8.13.

Une fonction continue sur une partie fermée et bornée deR², est bornée et atteint ses bornes sur cette partie. (ie qu’elle y admet un maximum global et un minimum global)

EXERCICE8.8.

On admet que l’ensembleU ={(x,y)/x≥0,y≥0,x+y ≤1} est un fermé deR²et que l’ensemble

ECE 2ème année 8.5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles

V ={(x,y)/x>0,y>0,x+y<1} est un ouvert deR². Soitf la fonction définie par :

f : (x,y)7→3x²+2y²−4x−3y+4x y+3.

Montrer que f admet un maximum et un minimum surUet préciser leurs valeurs.

Définition 8.18(Point critique).

Soit f une fonction de deux variables surU une partie deR², admettant des dérivées partielles d’ordre 1 surU. On appelle point critique de f tout point (x,y)∈U tel que∇(f)(x,y)=0.

Remarque.

Tout comme on a pu définir la notion de tangente à une courbe pour des fonctions d’une variable, on pourrait définir la notion de plan tangent. L’équation du plan tangent à la surface définie par f au point (a,b) est :z=∂₁(f)(a,b)(x−a)+∂₂(f)(a,b))(y−b)+f(a,b). Si (a,b) est un point cri- tique, l’équation devientz=f(a,b) : plan horizontal. C’est donc en ces points critiques, que l’on va chercher des extrêmums.

Théorème 8.14(Condition nécessaire d’existence d’un extremum local).

Soit une fonction f de classe C¹sur unouvertU deR². Si f admet un extremum local en un point (x0,y₀)de U alors(x0,y₀)est un point critique de f ou encore :∇(f)(x0,y₀)=0.

Remarques.

ATTENTION la réciproque de ce théorème est fausse ! Contre-exemple : f(x,y)=x y,C¹surR²car fonction polynôme et∂₁(f)(x,y)=y,∂₂(f)(x,y)=x. La fonction n’a qu’un seul point critique (0,0) mais ce point n’est pas un extremum local. Et siU n’est pas ouvert alors f peut avoir un extremum local en un point autre qu’un point critique.

EXERCICE8.9.

Soit f définie surR² par f(x,y)=x²y²+x²+y²+4x y. En quels points f peut-elle présenter un extremum ?

EXERCICE8.10.

Soithdéfinie surR²parh(x,y)=x³+y³−9x y+10. En quels pointshpeut-elle présenter des extre- mums ?

Théorème 8.15(Condition suffisante d’existence d’un extremum local).

Soit une fonction f de classe C²sur unouvertU deR².

1. Si (x0,y₀)∈U est un point critique de f et si les valeurs propres de la matrice hessienne de f au point(x0,y₀)sont strictement positives (resp. strictement négatives) alors f admet un minimum (resp. un maximum) local en(x₀,y₀).

2. Si(x₀,y₀)∈U est un point critique de f et si les valeurs propres de la matrice hessienne de f au point(x0,y0)sont non nulles et de signes opposés, alors f n’admet pas d’extremum local en(x0,y₀)et(x0,y₀)est unpoint col ou point sellepour f .

3. Si(x0,y₀)∈U est un point critique de f et si une des valeurs propres de la matrice hessienne de f au point(x₀,y₀)est nulle, on ne peut rien conclure par l’étude de la hessienne.

Remarque.

Ce théorème énonce des conditions suffisantes pour quef ait un extremumlocalen un point cri- tique, il ne prouve pas que cet extremum (s’il existe) estglobal!

8.5 Extrema d’une fonction de deux variables réelles ECE 2ème année

EXERCICE8.11.

Soitf définie surR²parf(x,y)=x²y²+x²+y²+4x y.f a-t-elle des extrema locaux surR²? EXERCICE8.12.

Soitf définie surR²parf(x,y)=x²y²+x²+y²+4x y.f a-t-elle des extrema globaux surR²? EXERCICE8.13.

Soitg définie surR²par f(x,y)=x y³−x²−3y²+2x y+1.g a-t-elle des extrema globaux surR²?

ECE 2ème année 8.6 Application en micro-économie

8.6 Application en micro-économie

Contexte : on effectue une opération consistant à utiliser des facteurs de production (biens ou ser- vices comme les matières premières, l’énergie ou le travail) pour créer d’autres biens ou services.

Lafonction de productiondécrit la relation entre la quantité produite d’un bien quelconque et les quantités des différents facteurs de production nécessaires à sa fabrication.

Lorsqu’il y a deux facteurs de production (cf exemple ultérieur où les facteurs de production sont la terre et le travail dans l’opération de récolte), la fonction de production est une fonction numérique de 2 variables réelles : à titre illustratif, on peut envisager des fonctions du typeQ(x,y)=ax+by, ouQ(x,y)=Ax y ou encoreQ(x,y)=upx y=ux^1/2y^1/2,aveca,b,A,udes paramètres, ou plus gé- néralement

Q(x,y)=ux^αy^β, avecα,β>0 qui est la fonction de Cobb-Douglas.

EXERCICE8.14.

Calculer les dérivées partielles par rapport aux deux variables de ces fonctionsQ. Exemple :

On s’intéresse à la récolte totale obtenueQ en un an d’une certaine exploitation, avec comme fac- teurs de production la terre et le travail. Autrement dit, on étudieQ =Q(T,L), oùT représente la surface de terre occupée par l’exploitation, etL le nombre de travailleurs (ou le nombre d’heures travaillées).

Considérons l’application partielleQ_T oùT varie maisLreste fixe.

On définit la productivité marginale de la terre comme le supplément de production découlant de l’utilisation d’une unité supplémentaire de terre dans le processus de production, l’utilisation des autres facteurs de production (ici le facteurL) restant inchangé : ^Q(T2,L)_T2⁻₋^Q(T_T1 ^1,L) : si l’accroisse- mentT₂−T₁est infiniment petit, la limite quandT₂tend versT₁est justement la dérivée partielle Q^′_T(T₁,L)=∂Q

∂T(T₁,L).

−→dessinerQ_T.

Quand la courbeQT =QT(T,L) présente un point d’inflexion I pour T =T₁, il en découle que la productivité marginale présente un maximum pour cette même valeur, puisque avant ce point d’in- flexion, la dérivéeQ_T^′ est croissante, et après ce point, elle décroit.

Laproductivité moyennede la terreq_T est quant à elle définie parq_T =^Q(T,L)T (L fixé). Elle croit jusqu’à son intersection avec la courbe deQ_T^′ et décroît ensuite.

Montrons que l’intersection des courbesT→Q_T^′ etT →q_T correspond effectivement au maximum deq_T : on sait que le maximum deq_T vérifie∂q_T

∂T =0.

Or∂q_T

∂T = ∂

∂T(Q

T)=T Q_T^′ −Q T² = T

T²(Q_T^′ −Q T)= 1

T(Q^′_T−q_T). Donc ∂q_T

∂T =0⇔Q^′_T =q_T.

De manière analogue, on peut étudier l’évolution de la récolte avec une surface d’exploitation fixe, mais un nombre de travailleurs variable,en étudiant la deuxième application partielleQL oùT est fixe etLest variable. On définit la productivité marginale du travail comme le supplément de pro- duction découlant de l’utilisation d’une unité supplémentaire de travail dans le processus de pro- duction, l’utilisation des autres facteurs (ici le facteur terre T) restant inchangée : ^Q(T,L_L²₂⁾⁻₋^Q(T,L_L1 ¹⁾. Si

8.6 Application en micro-économie ECE 2ème année

on peut supposer la parfaite divisibilité du facteur travail (il faut alors raisonner en heures de travail et non sur les travailleurs), on peut considérer des accroissements très petits deLet comme précé- demment, en passant à la limite, on obtient la dérivée partielle par rapport àL Q_L^′(T,L₁)=∂Q

∂L(T,L₁).

Dans le cas de deux facteurs de production, on peut représenter dans l’espace la surface de produc- tion c’est-à-dire la surface définie parz=Q(T,L).

En général, la fonction de production est croissante de l’utilisation de chacun des facteurs qui sont représentés sur les deux axes (T etL) ; il y a donc apparition d’une surface qui ressemble à une colline. On peut "gravir" la colline (en partant de l’origine), en suivant différentes directions, c’est- à-dire que l’on peut augmenter la production en accroissant l’utilisation de l’un, de l’autre ou des 2 facteurs.

Pour préciser la forme de la surface, on a recours aux lignes de niveau appelées également courbes isoquantes ou courbes d’égale production (i.e. de production Q=c constante ).

Une isoquante ou courbe d’égale production est l’ensemble des combinaisons des facteurs de pro- duction permettant d’obtenir le même niveau de production : {(T,L) tels queQ(T,L)=c=cste }.

Remarque. Il existe une infinité d’isoquantes, chacune des courbes correspondant à un niveau de production donné. Si l’on représente sur un même graphique (dans le plan (T,L)), différentes iso- quantes, le niveau de production est d’autant plus élevé que l’on se dirige vers le "nord-est " du graphique.

Remarquons qu’il est impossible que deux isoquantes se coupent puisque chacune d’entre elles correspond à un niveau de production différent.

En général (c’est-à-dire dans tous les modèles un minimum réalistes), les isoquantes seront convexes et décroissantes.

Les isoquantes seront utilisées afin de déterminer quel est le niveau maximal de production pour un coût donné : la répartitionT etLsera alors imposée au producteur. Il suffit de tracer la droite du coût et de choisir l’isoquante qui est tangente à cette droite. Le point de tangence est la répartition (T,L) adéquate.

Autre point de vue : les rendements d’échelle et non les rendements factoriels. Dans le cas des ren- dements factoriels, on envisage les conséquences sur le niveau de production d’un accroissement d’un seul facteur. Dans le cas des rendements d’échelles, on étudie les conséquences sur le niveau de production d’un accroissement simultané et dans la même proportion des facteurs de produc- tion.

Dans le cas de deux facteurs de production on s’intéresse au comportement deQ(mT,mL) par rap- port à (T,L). Pour étudier ces rendements d’échelle, on introduit la notion de fonctions homo-

ECE 2ème année 8.6 Application en micro-économie

gènes :

Définition 8.19. Un fonction Q(T,L) est dite homogène de degré k si ∀m >0, Q(mT,mL)= m^kQ(T,L).

En supposantm>1, on trouve 3 cas :

k=1 Q(mT,mL)=mQ(T,L) les rendements sont constants k>1 Q(mT,mL)=m^kQ(T,L)>mQ(T,L) les rendements sont croissants k<1 Q(mT,mL)=m^kQ(T,L)<mQ(T,L) les rendements sont décroissants.

EXERCICE8.15.

Trouver le degré d’homogénéité de la fonction de Cobb-DouglasQ(T,L)=AT^αL^β, en fonction des paramètresαetβ, et en déduire la nature des rendements d’échelle.

Représentation graphique

Selon le degré d’homogénéité, des augmentations de production d’un montant égal demanderont des quantités croissantes, constantes ou décroissantes des deux facteurs. Dans le premier cas, les rendements d’échelle seront décroissants (attention !), constants ou croissants.

8.6 Application en micro-économie ECE 2ème année

EXERCICE8.16.

Soit la fonction de production micro-économique d’une entreprise :Q(K,L)=2K^1/5L^3/5oùK est le capital etLle travail.

1. Donner le nom de cette fonction de production. Que représente le facteur multiplicatif 2 ? 2. Calculer les productivités marginales du capital et du travail.

3. Montrer que ces productivités sont décroissantes. Est-ce une nécessité économique ? 4. Trouver le rendement d’échelle de cette fonction de production. Signification ?