Fonctions de deux variables réelles Champs de vecteurs

Stanislas

Exercices

Fonctions de deux variables réelles Champs de vecteurs

Chapitre XXIX

MPSI 1

I - Régularité

Exercice 1. (-)Étudier la continuité puis l'existence et la continuitié des dérivées partielles des fonctionsf suivantes.

1. f1(x, y) = ^x_x³2^−y+y³², f(0,0) = 0. 2. f2(x, y) =y²sin^x_y, f(x,0) = 0. 3. f₃(x, y) = ^xsin_x^y−y2+y^2sinx, f(0,0) = 0.

4. f₄(x, y) = ^sin(xy)_|x|+|y|, f(0,0) = 0. 5. f₅(x, y) = _x4^x+y^3y2, f(0,0) = 0.

Exercice 2. (♥)Soitf ∈C²(R,R)etg∈F(R²,R)dénie parg(x, y) = ^f(x)−f(y)_x−y , g(x, x) =f⁰(x). Montrer queg est une fonction de classeC¹ sur R².

Exercice 3. (-) Soient f, g ∈ C²(R,R) et F ∈ F(R²,R) dénie par F(x, y) = f(x +g(y)). Calculer ^∂_∂x^2F2

1

∂F

∂x2 −_∂x^∂2F

1∂x2

∂F

∂x1.

Exercice 4.Soitf la fonction dénie parf(x, y) = _x2^x+y^{3 2}, f(0,0) = 0.

1. Montrer quef est continue sur R².

2. Montrer que _∂x^∂f₁ et _∂x^∂f₂ sont bornées surR².

3. Soit u un vecteur unitaire de R². Montrer que la dérivée partielle ∂_uf(0,0) de f en (0,0) suivant le vecteuru existe et est majorée par1 en valeur absolue.

4. Soitγ une application de classe C¹ de RdansR² telle que γ(0) = (0,0),γ(t) = 0 sit6= 0 et kγ⁰(0)k>0. Montrer que la fonctiong=f ◦γ est de classe C¹ surR.

5. Montrer que la fonctionf n'est pas de classeC¹ sur R.

Exercice 5.Montrer que l'existence (et même la continuité) de _∂x^∂₁²_∂x^f₂ n'entraîne pas nécessaire- ment l'existence de _∂x^∂f₁.

Exercice 6. (♥)Soitf la fonction dénie par f(x, y) = ^xy(x_x2+y^2−y22), f(0,0) = 0. Montrer que 1. f, _∂x^∂f

1, _∂x^∂f

2 sont continues surR². 2. _∂x^∂2f

1∂x2 et _∂x^∂₂²_∂x^f₁ sont dénies surR² et sont continues sauf en(0,0).

3. _∂x^∂2f

1∂x2(0,0) = 1et _∂x^∂₂²_∂x^f ₁(0,0) =−1.

II - Équations aux dérivées partielles

Exercice 7. (-) Soit U = {(x, y) ∈ R² ; x 6= 0} et f la fonction dénie sur U par f(x, y) = y+R^y_x

0 e^t

1+t² dt. Montrer que f est solution de l'équation aux dérivées partielles

x²∂²f

∂x² +y²∂²f

∂y² + 2xy ∂²f

∂x∂y = 0.

Fonctions de deux variables réelles

Champs de vecteurs MPSI 1

Exercice 8. (♥)On appelle Laplacien d'une fonctionf deux fois dérivable deR²versRla fonction, notée∆f dénie de R² dansRpar∆f = ^∂_∂x^2f2

1 +^∂_∂x^2f2

2. Soitf une fonction de classeC² deR² vers Ret soit F la fonction de R² dansRdénie par F(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ). Montrer que

∆f(x, y) = ∂²F

∂x²₁ + 1 r²

∂²F

∂x²₂ +1 r

∂F

∂x₁

(r, θ).

Exercice 9.Déterminer l'ensemble des fonctions de classeC¹solutions des équations aux dérivées partielles suivantes.

1. y_∂x^∂f

1 −x_∂x^∂f

2 = 0 (on eectuera le changement de variablesu=x, v =x²+y²).

2. x²+y²− x_∂x^∂f

1 +y_∂x^∂f

2

f = 0 (on utilisera les coordonnées polaires).

III - Calculs d'extremums

Exercice 10.Déterminer les extrema locaux sur D des applications suivantes.

1. f1(x, y) =x²+xy+y²+ 2x+ 3y, D =R². 2. f2(x, y) =x³+y³−3xy,D=R².

3. f3(x, y) =x²+y²+ cos(x²+y²), D =]−¹₂,¹₂[².

Exercice 11.Soit f la fonction dénie parf(x, y) =x²+y²−2x²y−_(x^4x_2+y^6y₂²₎₂, f(0,0) = 0. 1.Prouver que l'on a pour tout(x, y)∈R²,4x⁴y² ≤(x⁴+y²)². En déduire quef est continue.

2. On dénit pour tout θ ∈ [0,2π] et t ∈ R la fonction gθ(t) = f(tcosθ, tsinθ). Montrer que g_θ(0) = 0, g_θ⁰(0) = 0 etg⁰⁰_θ(0) = 2.

Chaque fonctiong_θadmet donc un minimum local strict en(0,0), ce qui siginie que la restriction de f à toute droite passant par(0,0)admet un minimum local strict en (0,0).

3. En calculantf(x, x²), établir que (0,0)n'est pas un minimum local strict pour f.

Exercice 12.Soitf ∈F(R²,R)dénie parf(x, y) = (x²−y)(3x²−y). Montrer que la restriction def à toute droite passant par(0,0)admet un minimum strict en(0,0)mais quef n'admet pas d'extremum en(0,0).

IV - Champs de vecteurs

Exercice 13.Soit f : R+ → R une fonction de classe C¹ telle que f⁰(0) = 0. Montrer que la fonction U dénie pour toutx∈R² parU(x) =f(kxk)est de classe C¹. Déterminer∇U. Exercice 14. Déterminer les fonctions f ∈ C²(R²,R) qui ne dépendent que de l'angle d'une direction donnée avec−−→

OM et dont le laplacien est nul.

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