ÉCS2
Chapitre 10 . Fonctions réelles de n variables réelles
–Exercice10.1 Exemples polynomiaux Déterminer les extremums de
1. f :R2−→R, (x, y)7−→x2+y2−2xy+ 2x−2y, 2. f :R2−→R, (x, y)7−→2(x−y) +x3+y3.
Exercice10.2 Discontinuité et lignes de niveau
Soitf :R2→R,(x, y)7→
xy
x2+y2 si(x, y)6= (0,0), 0 si(x, y) = (0,0).
Le script suivant function z=f(x,y)
if [x,y]==[0,0] then z=0
else
z=x*y/(x^2+y^2)
end endfunction x=-2:.1:2;
y=-2:.1:2;
fplot3d(x,y,f); contour(x,y,f,10) a généré les deux figures ci-dessous :
1. a)Déterminer lim
x→0f(x, x), lim
x→0f(x,−x)et lim
x→0f(x,0).
b)Faire un lien avec la première figure.
2. a)Quelle conjecture peut-on faire sur les lignes de niveau def? b)Déterminer la ligne de niveau 0def.
c) Soitk6= 0. Montrer quef(x, y) =k⇔ y2−x
ky+x2= 0, x6= 0ety6= 0 . d)En déduire que la ligne de niveaukest non vide si, et seulement si |k|61/2.
Dans ce cas déterminer cette ligne de niveau et expliquer la figure 2.
3. Déduire de cette étude les extrema globaux def.
Exercice 10.3 Un extrait d’ECRICOME 99
SoitndansN∗ et fn:R2−→R, (x, y)7−→(xn−y)ex−y. 1. a)Justifier quefn est une fonction de classeC1 surR2.
b)Calculer les dérivées partielles du premier ordre defn. 2. On se place dans le cas n=1.
a)Montrer qu’il existe une infinité de points critiques pourf1. b)Montrer qu’en ces points la fonctionf1atteint un minimum global.
Exercice 10.4 Fonction bornée
Soitf la fonction définie surR2 par : f(x, y) = sin(x) sin(y).
1. Sans chercher les points critiques def, déterminer son minimum et son maximum globaux surR2en précisant les points où ils sont atteints.
2. a)Déterminer les points critiques def.
b)Correspondent-ils tous aux extrema globaux def? 3. a)Montrer quef n’atteint pas d’extremum local en(0,0).
b)f admet-elle des extrema locaux non globaux ?
Exercice 10.5 Minimum suivant les droites et maximum suivant une parabole Soitf définie par ∀(x, y)∈R2, f(x, y) = 3x4−4x2y+y2.
1. Déterminer l’unique point critique def.
2. a)Soit, pour touta∈R,∆a la droite d’équationy=ax.
Montrer que, pour(x, y)parcourant∆a,f(x, y)atteint un minimum en(0,0).
b)SoitPla parabole d’équationy= 2x2.
Montrer que, lorsque(x, y)parcourtP, f(x, y)atteint un maximum en(0,0).
c) Que peut-on en conclure ?
3. a)Vérifier que : ∀(x, y)∈R2, f(x, y) = (y−3x2)(y−x2).
b) Sur le plan muni d’un repère orthonormé (O,−→ i ,−→
j) (unité 2 cm ou 2 grands carreaux), représenter les ensembles : F+={(x, y)/f(x, y)>0},
F−={(x, y)/f(x, y)<0} etF0={(x, y)/f(x, y) = 0}.
c) Expliquer les constations effectuées à la question2..
Exercice 10.6 Sur une partie deRn
Soit f : (] 0 ; +∞[)n →R,(x1, . . . , xn)7→(x1+· · ·+xn)× 1
x1
+· · ·+ 1 xn
. 1. Déterminer les points critiques def.
2. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que f atteint son minimum global (à préciser) en chacun de ses points critiques.
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
