Fonctions réelles de n variables ; recherche d’extrema

Fonctions réelles de n variables ; recherche d’extrema

Table des matières

1 Notions de topologie deRⁿ 2

1.1 „Boules. . . 2

1.2 „Parties ouvertes, fermées, bornées. . . 2

2 Extension de la notion de fonction réelle denvariables 2 2.1 „Extension de la notion de continuité aux fonctions définies sur un sous-ensemble deRⁿ. . . 3

2.2 „Extension de la notion de fonctionsC¹aux fonctions définies sur un ouvert deRⁿ. . . 3

3 Fonctions de classeC² 5 3.1 Dérivées partielles d’ordre 2. . . 5

3.2 Fonctions de classeC²sur un ouvertO deRⁿ. . . 5

3.3 Opérations sur les fonctions de classeC². . . 5

3.4 Théorème de Schwarz. . . 5

3.5 Matrice hessienne en un pointx. . . . 6

3.6 Forme quadratique définie surRⁿassociée à une matrice symétrique réelleA. . . . 6

3.7 Développement limité d’ordre 2. . . 7

3.8 Sif est de classeC², dérivée seconde de la fonctiongdéfinie parg(t) = f(x+th). . . 8

3.9 Dérivée seconde directionnelle def au pointxdans la directionh. . . . 8

4 Recherche d’extrema 8 4.1 Définitions . . . 8

4.2 Extrema sur un ensemble fermé borné . . . 9

4.3 Condition d’ordre 1 . . . 9

4.4 Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque . . . 9

4.5 Condition d’ordre 2 . . . 10

4.6 Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires . . . 11

5 Compléments hors programme 11

1 Notions de topologie de R

1.1 „ Boules.

Soita∈Rⁿ

On appelle boule ouverte de centre a et de rayonr(r∈R^∗₊), l’ensemble B_o(a,r) ={x∈Rⁿ/ka−xk<r} On appelle boule fermée de centre a et de rayonr(r∈R⁺), l’ensemble

B_f(a,r) ={x∈Rⁿ/ka−xk¶r} Exemple

La boule fermée de centreO= (0, . . . , 0)de rayon 1 est l’ensemble{(x₁,x₂, ....,x_n)∈Rⁿ/x²₁+....+x²_n¶1}.

1.2 „ Parties ouvertes, fermées, bornées.

SoitΩune partie deRⁿ

•Ωest une partie ouverte ( ou un ouvert ) deRⁿsi tout point deΩest le centre d’une boule ouverte contenue dansΩc’est-à-dire :

∀a∈Ω, ∃r∈R^∗₊, B_o(a,r)⊂Ω.

•Ωest une partie fermée ( ou un fermé ) deRⁿsi son complémentaire dansRⁿest un ouvert deRⁿ.

•Ωest une partie bornée deRⁿsi :

∃M∈R⁺, ∀x∈Ω, kxk¶M.

Exemples:

Rⁿet;sont à la fois ouverts et fermés.

Soienta,bdeux réels tels quea<b.]a,+∞[, ]− ∞,a[, ]a,b[sont des ouverts deR. [a,+∞[, ]− ∞,a], [a,b]sont des fermés deR.

Théorème

•Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert,

•Toute union d’ouverts est un ouvert,

•Toute intersection de fermés est un fermé,

•Toute union finie de fermés est un fermé.

Théorème

Soit a un réel. Si f est est une application deRⁿdansR,continue, alors

•{x∈Rⁿ/f(x)>a}est un ouvert deRⁿ.

•{x∈Rⁿ/f(x)<a}est un ouvert deRⁿ.

•{x∈Rⁿ/f(x)¾a}est un fermé deRⁿ.

•{x∈Rⁿ/f(x)¶a}est un fermé deRⁿ.

•{x∈Rⁿ/f(x) =a}est un fermé deRⁿ.

2 Extension de la notion de fonction réelle de n variables

Les fonctions réelles denvariables réelles ne sont pas toujours définies surRⁿmais simplement sur une partie deRⁿ. On sera donc amené à déterminer l’ensemble de définition d’une fonctionf

2.1 „ Extension de la notion de continuité aux fonctions définies sur un sous-ensemble de R

.

Définition

SoientΩune partie deRⁿ, f une application deΩdansReta∈Ω, f est dite continue enalorsque

∀ε >0 , ∃r>0 , ∀x∈Ω,kx−ak<r⇒ |f(x)−f(a)|< ε

Définition

SoientΩune partie deRⁿ, f une application deΩdansR. f est continue surΩsi elle est continue en tout point deΩ. Théorème de composition

Ω⊂Rⁿ

−→f I⊂R−→^ϕ R x7−→f(x)7−→ϕ(f(x))

Si f est en continue surΩet siϕest continue sur l’intervalleI deRalorsϕo f est continue surΩ.

Théorème SoitΩune partie deRⁿ. La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions continues surΩsont continues surΩ.

2.2 „ Extension de la notion de fonctions C

aux fonctions définies sur un ouvert de R

.

Définition

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR. Soitx∈ O, x= (x₁, ...,x_n).

On dit que f admet unei-ième dérivée partielle en x( ou une dérivée par rapport à lai-ième variable) si la fonction (définie sur un intervalle deRde la forme]x_i−α,x_i+α[avecα >0 ) :t7→f(x₁, ...,x_i−1,t,x_i+1, ...,x_n) est dérivable enx_i. Dans ce cas, on note

∂i(f)(x) =lim

t→0

1

t f(x₁, ...,x_i−1,x_i+t,x_i+1, ...,x_n)−f(x₁, ...,x_i−1,x_i,x_i+1, ...,x_n) ou encore(e₁, . . . ,e_n)étant la base canonique deRⁿ

∂i(f)(x) =lim

t→0

1

t f(x+t e_i)−f(x)

Remarque

Lai-ième dérivée partielle s’obtient en considérant lesx_kpourk6=icomme des paramètres etx_icomme variable par rapport à laquelle on dérive.

Remarque

∂i(f)(x) =g⁰(0)oùgest la fonctiont∈]−α,+α[7→f(x+t e_i). Définition

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR.

Si f admet unei-ième dérivée partielle en tout point deO , on désigne alors par∂i(f), l’application deO dansR:x7−→∂i(f)(x).

Définition

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR. Soitx∈ O. On suppose que lesndérivées partielles de f existent enx.

On appelle gradient de f en x, l’élément deRⁿnoté∇(f)(x)ou∇f(x)et défini par :

∇(f)(x) = (∂1(f)(x), . . . ,∂n(f)(x)) = ∂1(f)(x)

1¶i¶n

Définition d’une application de classeC¹:

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR.

f est de classeC¹surO si pour touti∈[[1,n]], f admet unei^èmedérivée partielle d’ordre 1 continue surO. Théorème

La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions de classeC¹sur un ouvertO deRⁿà valeurs dansRsont de classeC¹surO.

Théorème de composition

La composition d’une fonction f de classeC¹sur unouvertO deRⁿà valeurs dans un intervalleI deRpar une fonctionϕde classeC¹surI à valeurs dansRest de classeC¹.

En d’autres termes : O ⊂Rⁿ

−→f I⊂R−→^ϕ R x7−→f(x)7−→ϕ(f(x))

Si f est en de classeC¹sur l’ouvertO deRⁿet siϕest de classeC¹sur l’intervalleI alors ϕo f est de classeC¹surO.

Théorème

Si f est une fonction de classeC¹sur unouvertO deRⁿ, alors f admet en tout point x∈ O un développement limité d’ordre 1. Ce développement limité est unique. Il est donné par la formule :

f(x+h) = f(x) +〈∇(f)(x),h〉+||h||"(h) où"(0) =0 et"continue en 0.

Cette égalité est vraie pour les h deRⁿvérifiant||h||< αoùα >0. On dit que l’égalité est vraie pour h voisin de 0.

Théorème : Dérivée d’ordre 1 de la fonction gdéfinie parg(t) =f(x+th). Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR, de classeC¹. Soitx∈ O eth= (h₁, . . . ,h_n)∈Rⁿ.

On considère la fonction gdéfinie au voisinage de 0 (c’est-à-dire sur un intervalle]−α,α[⊂Ravecα >0) par g(t) = f(x+th).

Alors gest dérivable surRet sa dérivée est donnée par :

∀t∈]−α,α[, , g⁰(t) =〈∇(f)(x+th),h〉=

n

X

i=1

∂i(f)(x+th)·h_i.

Définition de la dérivée directionnelle de f au pointxdans la directionh.

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR.

Soientx∈ O eth∈Rⁿ. On appelle dérivée directionnelle de f en xdans la directionh, la dérivée en 0 de g:t7−→f(x+th)si cette dérivée existe. Il s’agit donc de

g⁰(0) =lim

t→0

1

t f(x+th)−f(x) si cette limite existe.

Théorème

Soit f une fonction définie surO à valeurs dansR, de classeC¹. Soientx∈ O eth∈Rⁿ. Alors f admet enxune dérivée directionnelle dans la directionhqui est :g⁰(0) =〈∇(f)(x),h〉. oùg:t7−→f(x+th).

3 Fonctions de classe C

3.1 Dérivées partielles d’ordre 2.

Définition

Soit f est une fonction définie surO, ouvert deRⁿ. Soit(i,j)∈[[1,n]]². On suppose que f possède en tout point deO une dérivée partielle par rapport à la j-ième variable, alors on définit une fonction∂j(f))deO dansR, qui peut à son tour posséder une dérivée partielle par rapport à lai-ième variable au pointadeO. On dit alorsf possède une dérivée partielle d’ordre 2 ena, (par rapport à laj-ième variable puis lai-ième variable) et on écrit :

∂_i,j²(f)(a) =∂i(∂j(f))(a).

Si∂_i,j²(f)(x)existe en tout pointx∈ O, on peut donc définir l’application∂_i,j²(f)deO dansR: x∈ O 7→∂_i,j²(f)(x).

Remarque: On peut éventuellement définirn²dérivées partielles d’ordre 2 de f ena∈ O.

3.2 Fonctions de classe C

sur un ouvert O de R

.

Définition

Soit f une fonction définie surO, ouvert deRⁿ. f est dite de classeC²surO si toutes les dérivées partielles d’ordre 2 existent et sont continues surO.

Théorème

Les fonctions polynomiales denvariables sont de classeC²surRⁿ.

3.3 Opérations sur les fonctions de classe C

.

Théorème

La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions de classeC²sur un ouvertO deRⁿà valeurs dansRsont de classeC²surO.

Théorème de composition

La composition d’une fonction f de classeC²sur unouvertO deRⁿà valeurs dans un intervalleI deRpar une fonctionϕde classeC²surI à valeurs dansRest de classeC².

En d’autres termes : O ⊂Rⁿ

−→f I⊂R−→^ϕ R x7−→f(x)7−→ϕ(f(x))

Si f est en de classeC²sur l’ouvertO deRⁿet siϕest de classeC²sur l’intervalleI alors ϕo f est de classeC²surO.

3.4 Théorème de Schwarz.

Théorème

Si f est de classeC²sur un ouvertO deRⁿ, alors pour tout pointxdeO et pour tout couple(i,j)d’entiers compris entre 1 etn:

∂_i,j²(f)(x) =∂_j,i²(f)(x).

3.5 Matrice hessienne en un point x .

Définition

Soit f une fonction définie surO, ouvert deRⁿ.

On appelle matrice hessienne de f au pointx∈ O, la matrice notée∇²(f)(x)définie par :

∇²(f)(x) =

∂_i,j²(f)(x)

1¶i,j¶n∈ Mn(R) si cette matrice existe.

Exemple :

Soit f l’application définie surR²par : ∀(x,y)∈R², f(x,y) =x²y, alors

∀(x,y)∈R², ∇²(f)(x,y) =

2y 2x

2x 0

. Théorème

Si f est de classeC²sur un ouvertO, alors la matrice hessienne est symétrique en tout point deO.

3.6 Forme quadratique définie sur R

associée à une matrice symétrique réelle A.

Définition

Soitn∈N^?. SoitA∈ Sn(R).

On appelleforme quadratique associée àAl’application :

q : Rⁿ −→ R

h 7−→ q(h) =^tHAH hdésigne un vecteur deRⁿetH la colonne coordonnée correspondante.

En d’autres termesh= (h₁, . . . ,h_n)∈RⁿetH=







 h₁

... h_n







∈ Mn,1(R)

Expression analytique de la forme quadratiqueqassociée à la matriceA∈ Sn(R) SoitA= (a_i,j)1¶i,j¶n∈ Sn(R). On a :

∀h∈Rⁿ, q(h) =^tHAH=

n

X

i=1 n

X

j=1

a_i,jh_ih_j=

n

X

i=1

a_i,ih²_i+2 X

1¶i<j¶n

a_i,jh_ih_j

Théorème : Signe de la forme quadratiqueq associée à la matriceA∈ Sn(R)

∀h∈Rⁿ , q(h)¾0⇐⇒SpA⊂[0,+∞[

∀h∈Rⁿ\ {0} , q(h)>0⇐⇒SpA⊂]0,+∞[

∀h∈Rⁿ , q(h)¶0⇐⇒SpA⊂]− ∞, 0]

∀h∈Rⁿ\ {0} , q(h)<0⇐⇒SpA⊂]− ∞, 0[

∃(h,h⁰)∈Rⁿ×Rⁿ/q(h)>0 etq(h⁰)<0⇐⇒ ∃(λ,β)∈SpA×SpA / λ >0 etβ <0

3.7 Développement limité d’ordre 2.

Définition d’un développement limité d’ordre 2

On dit qu’une fonction f, définie sur un ouvertO ⊂Rⁿet à valeurs dansR, admet un développement limité d’ordre 2 ena∈ O s’il existe un réelr>0, une applicationε : B_o(0,r)−→R vérifiantε(0) =0 et continue en 0, des réelsα0,β1. . . ,βnet(γi,j)1¶i,j¶ntels que :

∀h∈B_o(0,r), f(a+h) =α0+

n

X

i=1

βih_i+

n

X

i=1 n

X

j=1

γi,jh_ih_j+khk²ε(h)

Théorème

Existence et unicité d’un développement limité d’ordre 2 d’une fonction de classeC²sur un ouvertO. Si f est une fonction de classeC²sur unouvertO deRⁿ, alors f admet en tout point x∈ O un développement limité d’ordre 2. Ce développement limité est unique. Il est donné par la formule :

f(x+h) = f(x) +〈∇(f)(x),h〉+1

2q_x(h) +||h||²"(h)

où"(0) =0,"continue en 0 etq_x est la forme quadratique associée à la matrice hessienne∇²(f)(x). Cette égalité est vérifiée pourhvoisin de 0.

Remarque q_x(h) =

n

X

i=1 n

X

j=1

∂_i,j²(f)(x)h_ih_j Cas particulier où n=2

Soit f :O −→RoùO est un ouvert deR². Soit(x₀,y₀)∈ O. On suppose que f est de classeC²surO. On peut définir les notations de Monge :

p=∂1(f)(x₀,y₀), q=∂2(f)(x₀,y₀)

r=∂1,1(f)(x₀,y₀), s=∂1,2(f)(x₀,y₀) =∂1,2(f)(x₀,y₀), t=∂2,2(f)(x₀,y₀). Par suite,

∇²(f)(x₀,y₀) =

r s s t

et la forme quadratique associée à la hessienne en(x₀,y₀)est définie par :

∀(h₁,h₂)∈R² , q(h₁,h₂) =rh²₁+2sh₁h₂+th²₂. on a pour(h₁,h₂)voisin de(0, 0):

f(x₀+h₁,y₀+h₂) = f(x₀,y₀) + (ph₁+qh₂) +1 2

€rh²₁+2sh₁h₂+th²₂Š

+ (h²₁+h²₂)ε(h₁,h₂) oùεest continue en(0, 0)et vérifieε(0, 0) =0.

Exercice 1 Soit f l’application définie surR²par : ∀(x,y)∈R², f(x,y) = Z y

x

e^−t2d t 1. Montrer que f est de classe C²surR².

2. Ecrire le développement limité d’ordre 2 de f au voisinage de(0, 0)puis au voisinage de(1, 1).

3.8 Si f est de classe C

, dérivée seconde de la fonction g définie par g ( t ) = f ( x + th ).

Théorème

Soit f une fonction définie sur unouvertO deRⁿà valeurs dansR, de classeC². Soitx∈ O eth= (h₁, . . . ,h_n)∈Rⁿ.

On considère la fonction gdéfinie au voisinage de 0 (c’est-à-dire sur un intervalle]−α,α[⊂Ravecα >0) par g(t) = f(x+th).

Alors gadmet une dérivée seconde sur]−α,α[et sa dérivée seconde est donnée par :

∀t∈]−α,α[, , g⁰⁰(t) =q_x+th(h). et donc en particulier :g⁰⁰(0) =q_x(h).

Remarque q_x+th(h) =

n

X

i=1 n

X

j=1

∂_i,j²(f)(x+th)h_ih_j.

3.9 Dérivée seconde directionnelle de f au point x dans la direction h.

Définition

Soit f est une fonction de classeC²sur unouvertO deRⁿ

La dérivée seconde directionnelle de f au pointxdans la directionhestq_x(h), oùq_x est la forme quadratique associée à la matrice hessienne∇²(f)(x). Remarque

La dérivée seconde directionnelle de f au pointxdans la directionhestg⁰⁰(0). oùgest définie pour tréel voisin de 0 parg(t) = f(x+th)

4 Recherche d’extrema

4.1 Définitions

SoientΩun sous-ensemble deRⁿ, f une application deΩdansRetx₀∈Ω.

„On dit que f présente un minimum global enx₀lorsque

∀x∈Ω, f(x)¾ f(x₀).

„On dit que f présente un maximum global enx₀lorsque

∀x∈Ω, f(x)¶ f(x₀).

„On dit que f présente un extremum global enx₀lorsque f présente enx₀un maximum global ou un minimum global .

„On dit que f présente un minimum local enx₀lorsqu’il existeα >0 tel que

∀x∈B₀(x₀,α)∩Ω, f(x)¾ f(x₀).

„On dit que f présente un maximum local enx₀lorsqu’il existeα >0 tel que

∀x∈B₀(x₀,α)∩Ω, f(x)¶ f(x₀).

„On dit que f présente un extremum local enx₀lorsquef présente enx₀un maximum local ou un minimum local.

4.2 Extrema sur un ensemble fermé borné

Théorème

Une fonction continue sur une partie

fermée

bornée

Application à l’encadrement d’une forme quadratique surRⁿ. Théorème Démonstration à connaître

Siqest une forme quadratique associée à une matrice symétriqueA∈ Sn(R), alorsqadmet un maximum global et un minimum global sur le fermé borné{x∈Rⁿ/||x||=1}.

Il existe alors deux réelsαetβ tels que pour tout élémenthdeRⁿ: α||h||²¶ q(h) ¶β||h||².

4.3 Condition d’ordre 1

Théorème : Condition nécessaire du premier ordre. Point critique.

Si une fonction f de classeC¹sur un

ouvert

Les points où le gradient s’annule sont appelés points critiques.

Toutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles.

4.4 Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque

Dans tout ce paragraphe,O désigne un ouvert deRⁿetϕdésigne une fonction de classeC¹surO. On note alorsC ={x∈ O/ϕ(x) =c}l’ensemble des points vérifiant la contrainteϕ(x) =c.

Définition d’un extremum local ou global sous la contrainteϕ(x) =cd’une fonction f définie surO. SoientO un ouvert deRⁿ,f une application deO dansRetx₀∈ O ∩ C.

„On dit que f présente un minimum global enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsque

∀x∈ O ∩ C , f(x)¾ f(x₀).

„On dit que f présente un maximum global enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsque

∀x∈ O ∩ C , f(x)¶ f(x₀).

„On dit que f présente un extremum global enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsque f présente en x₀un maximum global sous la contrainteϕ(x) =cou un minimum global sous la contrainteϕ(x) =c.

„On dit que f présente un minimum local enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsqu’il existeα >0 tel que

∀x∈B₀(x₀,α)∩ C, f(x)¾f(x₀).

„On dit que f présente un maximum local enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsqu’il existeα >0 tel que

∀x∈B₀(x₀,α)∩ C, f(x)¶f(x₀).

„On dit que f présente un extremum local enx₀sous la contrainteϕ(x) =clorsque f présente enx₀un maximum local sous la contrainteϕ(x) =cou un minimum local sous la contrainteϕ(x) =c.

Condition nécessaire du premier ordre pour un extremum sous la contrainte non critiqueC. Définition

Lorsque∇(ϕ)(x)est non nul pour tout élémentxdeC, on dira que la contrainte est non critique.

Théorème

Si f est une fonction de classeC¹surO, pour que f atteigne un extremum local enx₀sous la contrainte non critiqueC, il faut qu’il existe un réelλtel que :

¨ϕ(x₀) =c

∇(f)(x₀) =λ∇(ϕ)(x₀)

Application à l’encadrement d’une forme quadratique : cas d’égalité.

Théorème

Siqest une forme quadratique associée à une matrice symétriqueA, alorsqadmet un maximum global

(respectivement un minimum global ) sous la contrainte||x||=1, en un point correspondant à un vecteur propre de la matriceAassocié à la plus grande valeur propre (respectivement la plus petite).

Application : Étude d’une fonction le long de la frontière son ensemble de définition

4.5 Condition d’ordre 2

Théorème : Étude locale d’une fonction f de classeC²sur un ouvertO en un point critique.

Si x₀est un point critique de f :

• si Sp(∇²f(x₀))⊂R^∗₊, alors f admet un minimum local enx₀,

• si Sp(∇²f(x₀))⊂R^∗₋, alors f admet un maximum local enx₀,

• si Sp(∇²f(x₀))contient deux réels non nuls de signes distincts, f n’admet pas d’extremum enx₀. On dit alors quex₀est un point selle (ou un point col).

Théorème : Lien avec le signe de la forme quadratiqueq_x

0.

•Sp(∇²f(x₀))⊂R^∗₊⇐⇒ ∀h∈Rⁿ\ {0} , q_x

0(h)>0

•Sp(∇²f(x₀))⊂R^∗₋⇐⇒ ∀h∈Rⁿ\ {0} , q_x0(h)<0

•Sp(∇²f(x₀))contient deux réels non nuls de signes distincts⇐⇒ ∃(h,h⁰)∈Rⁿ×Rⁿ/q_x

0(h)>0 etq_x

0(h⁰)<0

Exercice 2 : Étude du cas particulier oùn=2

Soit f une application deO (ouvert deR²) dansRde classe C². Soit(x₀,y₀)∈ O un point critique de f (c’est-à-dire p=0et q=0).

On note∇²(f)(x₀,y₀) =

r s s t

la matrice hessienne de f en(x₀,y₀). Montrer les propriétés suivantes :

ÆSi r t−s²>0f présente en(x₀,y₀)un extremum local . ÆSi r>0il s’agit d’un minimum local .

ÆSi r<0il s’agit d’un maximum local .

ÆSi r t−s²<0f ne présente pas en(x₀,y₀)d’extremum local.(x₀,y₀)est un point col.

ÆSi r t−s²=0on ne peut pas conclure.

Exemples de recherche d’extrema globaux.

Pour montrer que f présente en un pointx₀un extremum global, on peut faire une étude directe du signe surO de f(x)−f(x₀). Il s’agit de montrer que ce signe est constant.

Dans le cas particulier où pour toutx deO,q_x est positive (ou négative), on pourra appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction gdéfinie parg(t) =f(x₀+th).

4.6 Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires

Dans tout ce paragrapheC désigne l’ensemble des solutions d’un système linéaire







g₁(x) =b₁ ... ...

g_p(x) =b_p etH l’ensemble des solutions du système homogène associé :







g₁(x) = 0 ... ... ... g_p(x) = 0

oùx∈Rⁿ.

On suppose queC 6=;. Six₀est une solution particulière du système linéaire (c’est-à-dire six₀∈ C) alors :C =x₀+H =x₀+h/h∈ H .

„Propriété

∀x∈Rⁿ , H^⊥=Vect(∇(g₁)(x), . . . ,∇(g_p)(x)).

„Théorème : Condition nécessaire du premier ordre sous la contrainteC.

Si f est une fonction de classeC¹sur un ouvertO, et si la restriction def àC admet un extremum local en un pointx₀(en d’autres termes sif présente enx₀un extremum local sous la contrainteC), alors :

∀h∈ H , 〈∇(f)(x₀), h〉=0.

ce qui est équivalent à :

∇(f)(x₀)∈ H^⊥ ou encore à :

∇(f)(x₀)∈Vect(∇(g₁)(x₀), . . . ,∇(g_p)(x₀)).

„Définition d’un point critique pour l’optimisation sous contrainte.

SoientO un ouvert deRⁿ,f une application de classeC¹deO dansRetx₀∈ O ∩ C. On dit que x₀est un point critique de f pour l’optimisation sous la contrainteC lorsque

∀h∈ H , 〈∇(f)(x₀), h〉=0.

ce qui est équivalent à :

∇(f)(x₀)∈ H^⊥ ou encore à :

∇(f)(x₀)∈Vect(∇(g₁)(x₀), . . . ,∇(g_p)(x₀)).

5 Compléments hors programme

Parties convexes

Soit(a,b)∈(Rⁿ)²On appelle segment d’extrémitésaetbl’ensemble :

[a,b] ={a+t(b−a), t∈[0, 1]}={(1−t)a+t b, t∈[0, 1]}

SoitΩune partie deRⁿ.Ωest une partie convexe ( ou un convexe ) deRⁿsi :

∀(a,b)∈Ω², [a,b]⊂Ω.

Exemples:Rⁿ,(R⁺)ⁿ, la boule fermée de centre O de rayon 1 i.e{(x₁,x₂, ....,x_n)∈Rⁿ/x₁²+....+x²_n¶1} sont des convexes deRⁿ.