Les 4 théorèmes à connaître
Théorème 1 : Extrema sur un ensemble fermé borné
Une fonction continue sur une partie
fermée
etbornée
deRnadmet un maximum global et un minimum global.Théorème 2 : Condition nécessaire du premier ordre. Point critique.
Si une fonction f de classeC1sur un
ouvert
O deRnadmet un extremum local en un pointx0deO, alors∇(f)(x0) =0.Les points où le gradient s’annule sont appelés points critiques.
Théorème 3 : Étude locale d’une fonction f de classeC2sur un ouvertO en un point critique.
Soitx0est un point critique de f :
• si Sp(∇2f(x0))⊂R∗+, alors f admet un minimum local enx0,
• si Sp(∇2f(x0))⊂R∗−, alors f admet un maximum local enx0,
• si Sp(∇2f(x0))contient deux réels non nuls de signes distincts, f n’admet pas d’extremum enx0. On dit alors quex0est un point selle (ou un point col).
Théorème 4 : Lien avec le signe de la forme quadratiqueqx0.
•Sp(∇2f(x0))⊂R∗+⇐⇒ ∀h∈Rn\ {0} , qx0(h)>0
•Sp(∇2f(x0))⊂R∗−⇐⇒ ∀h∈Rn\ {0} , qx
0(h)<0
•Sp(∇2f(x0))contient deux réels non nuls de signes distincts⇐⇒ ∃(h,h0)∈Rn×Rn/qx0(h)>0 etqx0(h0)<0
2ECS2 1
