Fonctions de plusieurs variables - Calcul diérentiel

Stanislas

Exercices

Fonctions de plusieurs variables - Calcul diérentiel

Chapitre XVII

2020-2021PSI

I. Dérivées partielles

Exercice 1. (-)Étudier la continuité puis l'existence et la continuitié des dérivées partielles des fonctionsf suivantes.

1. f(x, y) = ^x_x³2^−y+y³², f(0,0) = 0.

2.f(x, y) =y²sin^x_y, f(x,0) = 0.

3. f(x, y) = ^sin(xy)_|x|+|y|, f(0,0) = 0.

4. f(x, y) = _x4^x+y^3y2, f(0,0) = 0.

Exercice 2. [Mines] L'application H : R² → R dénie par H(x, y) =

x⁴y

x⁴+y² si(x, y)6= (0,0)etH(0,0) = 0est-elle de classe C¹?

Exercice 3. (!)Soitf ∈C¹(R,R)etg∈F(R²,R) dénie parg(x, y) =

f(x)−f(y)

x−y , g(x, x) = f⁰(x). Montrer que g est une fonction continue sur R².

Exercice 4. (-) Soient f et g deux fonctions, de R^p à valeurs réelles, admettant des dérivées partielles surRⁿ.

1.Montrer que ∇(f g) =f∇(g) +g∇(f).

2.Sif ne s'annule pas, montrer que ∇(1/f) =−f⁻²∇(f).

Exercice 5.Soit f la fonction dénie par f(0,0) = 0 etf(x, y) = _x2^x+y^{3 2}

si(x, y)6= (0,0).

1.Montrer que ^∂f_∂x et ^∂f_∂y sont bornées sur R², et quef est continue.

2. Soit u = (u₁, u₂) un vecteur unitaire deR². Montrer que la fonction t7→ ^f(tu1,tu2_t^)−f(0,0) admet une limite, 0.

3. Soit γ une application dérivable de R dans R² telle que γ(0) = 0 et kγ⁰(0)k >0. Montrer que la fonction g=f◦γ est dérivable en0. Exercice 6. (-)Montrer que l'existence (et même la continuité) de _∂x∂y^∂2f n'entraîne pas l'existence de ^∂f_∂x.

II. Diérentielles

Exercice 7. (-) Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3 et a∈E un vecteur unitaire. On posef :w7→ ka∧wk.

1.Déterminer le domaine oùf est de classeC¹ et préciser la diérentielle def.

2.Même question pour la restriction gde f à Vect{a}^⊥. Exercice 8.Soit f la fonction dénie sur R⁴ par f(a, b, c, d) =

a b c d . Montrer que f est de classe C¹ et déterminer sa diérentielle en (a, b, c, d)∈R⁴.

III. Calculs d'extrema

Exercice 9.Soit f(x, y) = (x²−y)(3x²−y). Montrer que la restriction def à toutes les droites passant par(0,0)admet un extremum strict en (0,0)mais que f n'a pas d'extremum en(0,0).

Exercice 10. _[Mines] Déterminer les extrema sur R³ de f : (x, y, z) 7→

x²+y²+z²−2xyz.

Exercice 11. [ENSAM] Soit f : (R+)² → R dénie par f(x, y) =

xy

(x+y)(1+x)(1+y) si (x, y) 6= (0,0) et f(0,0) = 0. Déterminer les extrema def.

Stanislas 45 A. Camanes

Exercices XVII PSI

Exercice 12.Déterminer les extrema sur D (par défautR²) des applica- tions suivantes.

1. f1(x, y) =x²+y²+cos(x²+ y²),

D=]−¹₂,¹₂[². 2. f2(x, y) =p

x²+y²+y²− 1,

D ={(x, y) ∈R² ; x²+y² 6

9}.

3. f₃(x, y) = (y−x)³+ 6xy D=

(x, y)∈R² ; −16x6y61 . 4. f₄(x, y) =xe^y+ye^x.

IV. Autour des dérivées partielles

Exercice 13. (Équations aux dérivées partielles,-)

1. Déterminer les fonctions de classeC² sur ]0,+∞[×Rtelles que x²∂²₁f+ 2xy∂_1,2² f +y²∂₂²f = 0.

On pourra poserx=uety=uv.

2. Déterminer les fonctions de classe C¹ sur]0,+∞[×Rà valeurs dans R+ telles que

(x∂₁f+y∂₂f)·f =x²+y². On pourra utiliser les coordonnées polaires.

Exercice 14. [Centrale]Soitf une applicationC² deR² dansR. On note

∆(f) = ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2. Soitfe: (r, θ)7→f(rcos(θ), rsin(θ).

1.Montrer que feest de classeC². 2.Calculer ^∂_∂r^fe, ^∂_∂θ^fe, ^∂_∂r^2f2^e, ^∂_∂θ^2f2^e.

3.Montrer que ∆f(rcosθ, rsinθ) = ^∂_∂r^2f2^e(r, θ) +_r¹2

∂²fe

∂θ²(r, θ) +¹_r^∂_∂r^fe(r, θ). 4.Soit ml'application dénie sur [0,+∞[parr 7→ _2π¹

Z 2π

0

fe(r, θ)dθ. a)Montrer quem est de classe C².

b) On suppose quef est harmonique, i.e. ∆(f) = 0. Montrer que m est constante et déterminer sa valeur.

Exercice 15. (Laplacien,♥)Le Laplacien d'une fonction f deux fois dé- rivable de R² vers R la fonction, notée ∆f dénie de R² dans R par

∆f = ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2. Soitf une fonction de classeC² deR² versRet soitF la fonction deR² dansRdénie parF(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ). Montrer que

∆f(x, y) = ∂²F

∂x² + 1 r²

∂²F

∂y² +1 r

∂F

∂x

(r, θ).

V. Courbes & Surfaces

Exercice 16.SoitS la surface d'équation xyz= 8etDla droite d'équa- tion

(x = 5z−18

y = 24−6z. Déterminer les points de S en lesquels le plan tangent contientD.

Exercice 17.En quels points de la surface d'équationx²−y²+z² =−8, le plan tangent est-il parallèle au planΠ:x−2y+z= 1?

Exercice 18. Soit (a, b, c) ∈ (R^∗)³. Déterminer les plans tangents à la surface S d'équation ^x_a²2 + ^y_b2² + ^z_c²2 = 1 qui coupent les axes en trois pointsA, B etC tels queOA=OB =OC.

Stanislas 46 A. Camanes