Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel _____________

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel _____________

A. Dérivabilité.

1. Limites et continuité.

2. Dérivabilité.

3. Dérivées partielles.

4. Fonctions de classe C¹.

5. Inégalité des accroissements finis.

B. Dérivées d’ordre supérieur à 2.

1. Dérivées partielles, dérivées d’ordre ≥≥≥≥ 2.

2. Fonctions polynomiales, développements limités.

3. Formule de Taylor.

4. Extrema locaux, points critiques.

5. Fonctions homogènes.

6. Fonctions convexes.

7. Exemples d’équations aux dérivées partielles.

C. Fonctions implicites, inversion locale.

1. C^k-difféomorphismes

2. Théorème d’inversion locale.

3. Coordonnées curvilignes.

4. Théorème des fonctions implicites.

5. Démonstrations.

6. Extrema liés.

D. Introduction au calcul des variations.

Pierre-Jean Hormière

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« Tous les mathématiciens savent que le passage de une à plusieurs variables est un « saut » brusque, qui s’accompagne de grandes difficultés et nécessite des méthodes toutes nouvelles. » Jean Dieudonné

Le calcul différentiel et intégral sur les fonctions de plusieurs variables réelles a eu un dévelop- pement plus tardif que celui des fonctions d’une variable. Les dérivées partielles apparaissent en 1755 dans le traité Institutiones calculi differentialis d’Euler, et en 1747, chez Clairaut. La notation ∂ pour désigner les dérivées partielles, par opposition au d de la dérivée ordinaire, fut préconisée par Legendre en 1786, et vulgarisée par Jacobi en 1841. Au XIXème siècle, à la frontière de la physique mathématique, l’analyse vectorielle fut développée par les anglais Stokes, Heaviside et Gibbs, tandis que la géométrie différentielle était fondée et développée par les italiens Ricci et Levi-Civita. Mais il fallut attendre les travaux de Weierstrass, Schwarz et Peano à la fin du XIXème siècle pour que soit pris le tournant de la rigueur : Schwarz justifie en 1873 l’interversion des dérivées partielles, Peano précise ce résultat et d’autres au moyen de contre-exemples. Gateaux et Volterra dégagent la notion de dérivée directionnelle, tandis que Stolz et Fréchet donnent la définition moderne des fonctions

différentiables. Au début du XXème siècle, les concepts fondamentaux sont clairement dégagés, le calcul infinitésimal à plusieurs variables peut alors se développer sur des bases solides : équations aux dérivées partielles, calcul différentiel extérieur et intégration sur les variétés, surfaces minima, topologie différentielle, théorie des singularités de Morse, Whitney et Thom (1925-1958).

On se limite ici aux espaces vectoriels normés de dimension finie, et même aux espaces Rⁿ. Toutes les normes y sont équivalentes, et définissent une seule topologie, la topologie usuelle. L’extension aux espaces de Banach quelconques ne pose guère de problème : voir Cartan.

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A. Dérivabilité 1. Limites et continuité.

Les espaces E = Rⁿ et F = R^p sont rapportés à leurs bases canoniques. Soit U une partie de E. Se donner une fonction vectorielle f de U dans F équivaut à se donner p fonctions numériques sur U.

f : x = (x₁, …, x_n) → y = (y₁, …, y_p) = f(x₁, …, x_n) = ( f₁(x₁, …, x_n) , … , f_p(x₁, …, x_n) ) . Selon les conventions de l’algèbre linéaire, il vaudrait mieux noter les vecteurs en colonne.

Rappelons que si a = (a₁, …, a_n) est un point de E adhérent à U, f admet une limite b en a ssi : (∀ε > 0) (∃α > 0) (∀x ∈ U) || x − a || ≤ α ⇒ || f(x) − b || ≤ ε ,

pour l’une quelconque des normes de E et F, ou encore si, pour toute suite x_k = (x_1k, …, x_nk) de points de U tendant vers a = (a₁, …, a_n), la suite f(x_1k, …, x_nk) tend vers b = (b₁, …, b_n).

Il revient au même de dire que chacune des fonctions f₁, …, f_n a une limite en a.

Si a est un point de U, f est continue en a ssi f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a.

Les exemples suivants montrent qu’il faut bien distinguer continuité globale et continuité séparée.

Exemples :

1) La fonction de Peano (1884) : f(x, y) =

²

² 2

y x

+xy ^{sur R2 −} {(0, 0)}, f(0, 0) = 0.

f est bornée sur R² car |f(x, y)| ≤ 1, et continue R²−{(0, 0)} comme composée de fonctions continues.

Comme f(x, 0) = f(0, y) = 0 pour tous x et y, f est séparément continue en x et en y, en (0, 0).

Mais elle n’est pas continue en ce point car f(1/n , 1/n) = 1.

Plus généralement, pour tout vecteur e = (a, b) ≠ (0, 0), f(λa, λb) =

²

² 2

b a

ab+ ^→ ² ² 2

b a

ab+ ^{quand λ→ 0.}

Une autre façon de présenter cela est de passer en polaires : f(r.cos θ, r.sin θ) = sin(2θ) → sin(2θ) quand r → 0+. f est constante sur chaque droite issue de O.

Ses valeurs d’adhérence en (0, 0) sont tous les réels ∈ [−1, +1].

Géométriquement, la surface d’équation z = f(x, y) est une réunion de droites horizontales pivotant autour du segment vertical { (0, 0, z) ; −1 ≤ z ≤ +1 }. C’est une surface réglée, appelée conoïde de Plücker, que l’on peut représenter avec Maple.

2) Soit f(x, y) = 1 si ( y − 1 )² + x²≤ 1 ou ( y + 1 )² + x²≤ 1 ou y = 0, f(x, y) = 0 sinon.

En quels points f est-elle continue ? discontinue ? f est-elle continue en O ?

Montrer cependant que, pour tout vecteur e = (a, b) ≠ (0, 0), λ→ f(λa, λb) est continue en 0.

Exercices.

Exercice 1 : Soient I et J deux intervalles de R, f : I → R et g : J → R, F(x, y) = f(x) + g(y).

A quelle condition F est-elle majorée ? minorée ? bornée ? continue en (a, b) ∈ I×J ? continue ? Exercice 2 : Soit A une partie de R², f la fonction indicatrice de A. En quels points f de R² est-elle continue ?

Exercice 3 : Soit f(x, y) = x² si |x| ≤ |y| , f(x, y) = y² si |y| > |x|. f est-elle continue ? Exercice 4 : Soit f(x, y) =

x y

e e^{y x}

−

− si x ≠ y , f(x, x) = e^x . Montrer que f est continue sur R².

Exercice 5 : Généralisation. Soit ϕ : I → R une fonction de classe C¹ sur l’intervalle I.

Montrer que ∆(x, y) =

x y

x y)−− ( )

(

ϕ

ϕ

Exercice 6 : Généralisation. Soient ϕ : I → R une fonction définie sur l’intervalle I, a un point de I.

1) Montrer que, pour que ϕ soit dérivable en a, il faut et il suffit que ∆(x, y) =

x y

x y)−− ( )

(

ϕ

ϕ

limite quand (x, y)→ (a, a) de façon que x ≤ a ≤ y, et x < y. Interprétation géométrique ? 2) ϕ est dite strictement dérivable en a, si ∆(x, y) =

x y

x y)−− ( )

(

ϕ

ϕ

a) Montrer que si ϕ est strictement dérivable en a, ϕ est dérivable en a.

b) Examiner la réciproque, en considérant ϕ(x) = x² sin x

1 _{si x ≠ 0 , ϕ(0) = 0.}

c) On suppose ϕ dérivable dans I. Montrer que ϕ est strictement dérivable en a ssi ϕ’ est continue en a.

Exercice 7 : Soit f : Rⁿ→ Rⁿ une fonction continue.

Démontrer que la fonction qui à r ≥ 0 associe M(r) = sup{ || f(x) || ; || x || ≤ r } est continue.

Exercice 8 : Soient I = [a, b], J = [c, d], f : (x, y) ∈ I×J → f(x, y) ∈ R une fonction continue.

1) Montrer que la fonction ϕ(x) = max _y∈J f(x, y) est définie et continue sur I.

2) Montrer que max _y∈J min _x∈I f(x, y) ≤ min _x∈I max _y∈J f(x, y).

3) Soient I = [0, 2] , J = [0, 4] , f(x, y) = [1 − ( x − y + 1 )]². Vérifier les résultats précédents.

4) On suppose ∀(x, y) f(x, y) > 0. Montrer que : a) lim_n→∞ (

b n a

d c

ndy dx

y x f

/ 1 1. ) ) . ) , ( (

(

∫ ∫

b) lim_n→∞

b n a

d c

ndxdy

y x f

/ 1

) . . ) , (

(

∫ ∫

Exercice 9 : Soient n ≥ 2, et f : Rⁿ→ R une fonction continue telle que, pour tout réel a, f⁻¹({a}) est compact. Montrer que f admet un extremum global.

2. Dérivabilité.

Comment généraliser aux applications de Rⁿ dans R^p la bonne vieille dérivée f’(a) = lim_h→0

h a f h a

f( + )− ( )

des fonctions réelles de variable réelle ?

La variable est maintenant un vecteur de Rⁿ : plus question de diviser par h ! Il faut donc modifier la définition. Cela peut se faire de deux façons : soit l’on garde la variable vectorielle, et c’est le point de vue le plus fécond ; soit l’on se ramène à la variable réelle, et l’on est conduit aux dérivées partielles et directionnelles. Le lien entre les deux approches sera élucidé ensuite.

2.1. Dérivabilité.

Définition (Stolz, 1887, Fréchet, 1906)¹ : Soient E et F deux espaces normés de dimensions finies, U un ouvert de E, a un point de U. L’application f : U → F est dite dérivable ou différentiable en a s’il existe une application linéaire L ∈ LLLL(E, F) telle que :

(D1) f(a + h) = f(a) + L(h) + R(h) , où le reste R(h) est un o(||h||) lorsque h tend vers 0 dans E.

Rappelons que, U étant ouvert, est un voisinage de a, donc a + h ∈ U pour ||h|| assez petit.

La condition (D1) équivaut encore à l’une des conditions : (D2) lim_h→0

h

h L a f h a

f( + )− ( )− ( ) = 0 .

(D3) (∀ε > 0) (∃α > 0) ∀h ∈ E ||h|| ≤α ⇒ a + h ∈ U et || f(a + h) − f(a) − L(h) || ≤ε.||h|| . Enfin, f est dite dérivable ou différentiable dans U si elle est dérivable en tout point de U.

En termes imagés, une fonction f est différentiable en a si, au voisinage de a, elle se comporte à peu près comme une application affine, à savoir x → f(a) + L(x − a).

Remarque : La définition précédente s’étend sans peine au cas où E et F sont des espaces normés de dimension quelconque, souvent des espaces de Banach. On supposera alors L linéaire et continue de E dans F, et l’on n’oubliera pas qu’alors les normes ne sont plus équivalentes. En dimension finie, les normes sont équivalentes, et toute application linéaire est automatiquement continue.

Proposition 1 : Si f est dérivable en a, l’application L est unique.

On la nomme dérivée ou différentielle de f en a, et on la note f’(a), df(a) ou Df(a).

On note f’(a).h , plutôt que [ f’(a) ](h) , l’image de h par f’(a).

Dans le cas particulier où F = R et où E est euclidien, f’(a) est une forme linéaire sur E, donc il existe un vecteur, appelé gradient de f en a et noté gradf(a) ou ∇ f(a), tel que :

(∀h ∈ E) f’(a).h = (gradf(a)| h ) .

Remarque : Il importe d’observer que f(a) et f’(a) n’appartiennent pas aux mêmes espaces : f’(a) n’est pas un vecteur de F, mais un élément de LLLL(E, F). Lorsque E = F = R, ou lorsque E = R, cette distinction s’efface : f’(a) une homothétie de R, que l’on confond avec son rapport d’homothétie h → f‘(a).h ; de même, LLLL(R, F) s’identifie naturellement à F.

Proposition 2 : Si f est dérivable en a, f est continue en a.

Proposition 3 : Soient U un ouvert de E, a un point de U.

1) Si f et g : U → F sont dérivables en a, λ f + g l’est aussi, et (λ f + g)’(a) = λ f’(a) + g’(a) . 2) Si f : U → F et g : U → G sont dérivables en a, et si B est une forme bilinéaire de F×Gdans H, alors h : x → B( f(x), g(x)) est dérivable en a, et :

1 La différence des dates souligne cruellement l’écart entre les mathématiques françaises et allemandes à la fin du XIXème siècle, mais selon Ivan Marin, cet écart n’était pas si grand que cela.

h’(a) : u → B( f’(a).u, g(a)) + B( f(a), g’(a).u) .

Preuve de 2) : h(a + u) = B( f(a + u), g(a + u)) = B( f(a) + f’(a).u + o( ||u|| ) , g(a) + g’(a).u + o( ||u|| ) = B( f(a), g(a)) + B( f’(a).u, g(a)) + B( f(a), g’(a).u) + o( ||u|| ),

car les 6 termes restants sont o(||u||) en vertu de la continuité de B (en dimension finie), et de l’existence d’une constante K telle que ∀(x, y) || B(x, y) || ≤ K.||x||.||y||.

Proposition 4 : Soient E, F, G trois evn de dim finie, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f : U → V et g : V → G. Si f est dérivable en a, et g dérivable en b = f(a), h = g ^o f est dérivable en a, et : ( g o f )’(a) = g’( f(a) ) o f’(a) .

Preuve : Cela se démontre par composition des développements limités.

On a : f(a + h) = f(a) + f’(a).h + o( ||h|| ) g(b + k) = g(b) + g’(b).k + o( ||k|| )

D’où (g o f )(a + h) = g( f(a) + f’(a).h + o( ||h|| )) = g(b + k) , où k = f’(a).h + o( ||h|| ).

= g(b) + g’(b).[ f’(a).h + o( ||h|| ) ] + o( ||k|| ) .

Or ||k|| = O( ||h|| ), donc ( g o f )(a + h) = g(b) + [g’(b) o f’(a)].h + o( ||h|| )]. Cqfd.

La prop 3, 2) découle de ce résultat, car B(f, g) est composée de x → (f(x), g(x)) par B.

Il découle de ce résultat que les ouverts d’espaces normés de dimension finie sont les objets d’une catégorie dont les flèches sont les applications différentiables f : U → V.

Exemples d’applications dérivables.

1) Soit f une application affine : E → F ; f est dérivable en tout point a, et f’(a) est constante et égale à L, partie linéaire de f.

2) Soit q une forme quadratique : E → R, de forme polaire B. On a :

q(a + h) = q(a) + 2.B(a, h) + q(h) ; comme q(h) = O(||h||²), on a q’(a) : h → 2.B(a, h).

3) Soient E un espace euclidien, f : x → ||x|| la norme euclidienne. f est différentiable sauf en 0, et pour tout x ≠ 0, gradf(x) =

x x _.

4) Soit f l’application : M → M² de M_n(R) dans lui-même. On a (A + H)² = A² + A.H + H.A + H². Comme H → A.H + H.A est linéaire et H² = o( ||H|| ), on a f’(A) : H → A.H + H.A.

Exercice 1 : Soient c un vecteur de E, L une forme linéaire, B une forme bilinéaire symétrique, T une forme trilinéaire symétrique sur E. Etudier la fonction f(x) = x + L(x) + B(x, x) + T(x, x, x).

Généraliser.

Exercice 2 : Etudier les applications M → M^k de M_n(R) dans lui-même.

Exercice 3 : Montrer que l’application A → det A est différentiable de Mn(R) dans R.

Quelle est sa différentielle en I ? en A ?

Exercice 4 : Montrer que l’application A → A⁻¹ est différentiable de Gl_n(R) dans M_n(R).

Quelle est sa différentielle en I ? en A ?

Exercice 5 : Montrer que l’application A → com A est différentiable de Mn(R) dans M_n(R).

Quelle est sa différentielle en I ? Montrer qu’elle est inversible.

Exercice 6 : Montrer que l’application A → exp A est différentiable de Mn(R) dans M_n(R).

Quelle est sa différentielle en O ? En A ?

Exercice 7 : Montrer que l’application (A, B) → A.B est différentiable Rm[X]×Rn[X] → Rm+n[X].

Matrice jacobienne ?

3. Dérivées partielles.

3.1. Dérivées partielles, dérivées directionnelles.

Définition : Soient U un ouvert de E, a un point de U, v un vecteur ≠ 0. On dit que la fonction f : U

→ F a une dérivée en a selon le vecteur v si la fonction de variable réelle t → f(a + t.v) est dérivable en 0, autrement dit si lim_t→0

t a f v t a

f( +. )− ( )

existe. On la note D_v f (a).

En particulier, si E = Rⁿ, les dérivées de f dans la direction des vecteurs de la base canonique s’appellent, si elles existent, dérivées partielles de f :

xi

f

∂∂

(a₁, …, a_n) ≡ ∂i^f(a1, …, a_n) ≡ Di f(a₁, …, a_n) = lim_t→0

t

a a a f a t a a

f( 1,..., i+ ,..., n)− ( 1,..., i,..., n)

Les dérivées partielles sont les dérivées des applications partielles associées à f. Pour les calculer, il suffit de fixer toutes les variables sauf une et de dériver f par rapport celle-ci.

Dérivées directionnelles et dérivées partielles possèdent des propriétés de linéarité et de produit faciles à énoncer et à établir.

Attention, la notation xi

f

∂∂

, d’usage courant, présente des inconvénients. Tout d’abord, xi

f

∂∂

n’est pas un quotient. De plus, que signifie

y f

∂∂

(y, x) ? Est-ce la dérivée partielle de f par rapport à sa première variable, que, par fantaisie, l’on note y, ou la dérivée partielle de f par rapport à sa seconde variable, dans laquelle on a échangé ensuite y et x ? Les notations∂i^f(a1, …, a_n) et D_i f(a₁, …, a_n) n’ont pas ces inconvénients : D₂ f (y, x) ≠ D1 f (y, x).

> f:=(x,y)->x*exp(y)+y*sin(x+y);

:=

f (x y, ) → x eeee^y + ysin(x + y)

> diff(f(x,y),x);diff(f(x,y),y);deriveedir:=proc(h,k) h*diff(f(x,y),x)+k*diff(f(x,y),y);end;deriveedir(h,k);

+ e ee

e^y ycos(x + y)

+ +

x eeee^y sin(x + y) ycos(x + y) :=

deriveedir procprocprocproc(h k, )h×diff(f ,(x y),x) + k×diff(f ,(x y),y)end procend procend procend proc +

h (eeee^y + ycos(x + y)) k (x eeee^y + sin(x + y) + ycos(x + y)) 3.2. Dérivabilité et dérivées partielles.

Proposition : Si f est dérivable en a, f a toutes ses dérivées directionnelles, données par : ∀v _≠ 0 D_v f(a) = D f (a)(v) = f’(a).v ,

et en particulier toutes ses dérivées partielles.

Preuve : Il suffit d’écrire : f(a + t.v) = f(a) + f’(a).(t.v) + o(||tv||) = f(a) + t.f’(a).v + o(t).

Traductions :

1) Cas d’une fonction à valeurs réelles.

Soit U un ouvert de Rⁿ et a = (a₁, …, a_n) ∈ U, si f : U → R est différentiable en a, alors f a en a toutes ses dérivées partielles

xi

f

∂∂

(a₁, …, a_n), pour 1 ≤ i ≤ n, et : (∀h ∈ Rⁿ) f’(a).h =

x1

f

∂∂

(a₁, …, a_n).h₁ + … + xn

f

∂∂

(a₁, …, a_n).h_n .

Si Rⁿ est muni de sa structure euclidienne standard, gradf(a)= ( x1

f

∂∂ , … ,

xn

f

∂∂

)(a₁, …, a_n).

2) Cas d’une fonction vectorielle.

Soient U un ouvert de Rⁿ et f : U → R^p donnée par :

f(x₁, …, x_n) = ( f₁(x₁, … , x_n), … , f_p(x₁, …, x_n) ) f est différentiable en a = (a₁, …, a_n) ∈ U , ssi chaque fi l’est, et alors :

f’(a) est l’application linéaire Rⁿ→ R^p de matrice : ( J f )(a) =





















∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

) ( ...

) (

...

...

...

) ( ...

) (

1

1 1

1

x a a f x f

x a a f x f

n p p

n

.

Cette matrice est appelée matrice jacobienne de f en a.

La réciproque de la proposition précédente est fausse, comme le montrent les exemples suivants : • f(x, y) =

²

² 2

y x

+xy si (x, y) ≠ (0, 0), 0 sinon.

• f(x, y) = 1 si x² + ( y ± 1 )² ≤ 1, 0 sinon.

Ces exemples montrent que les implications :

f dérivable en a ⇒ f a une dérivée en a selon tout vecteur ⇒ f a ses dérivées partielles en a ⇓ ⇓ ⇓

f continue en a ⇒ f est continue en a dans toute direction ⇒ f est séparément continue en a sont sans réciproque.

Un exemple de jacobienne, avec Maple :

> with(linalg):

> f:=(x,y,z)->(x^2+2*y*z,x*sin(y)+ln(z),exp(x+2*y)*z);

:=

f (x y z, , ) → (x² + 2 y z,xsin y( ) + ln z( ),eeee^{(x + 2 y)}z)

> jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]);

















2 x 2 z 2 y

( )

sin y xcos y( ) 1 z eee

e^{(x + 2 y)}z 2 eeee^{(x + 2 y)}z eeee^{(x + 2 y)} 3.3. Comment montrer qu’une fonction f est différentiable en a ?

• Si l’on est en un point litigieux, on examinera d’abord si f est continue, et admet toutes ses dérivées partielles en a.

Ensuite, on pourra se demander si f admet des dérivées dans toutes les directions : si ce n’est pas le cas, ou si l’application v → Dv f (a) n’est pas linéaire, f n’est pas différentiable.

Mais mieux vaut se demander si on a, quand h tend vers 0 : f(a₁ + h₁ , … , a_n + h_n) = f(a₁ , … , a_n)

+ x1

f

∂∂

(a₁, …, a_n).h₁ + … + xi

f

∂∂

(a₁, …, a_n).h_n + o( ||(h₁, …, h_n)|| ).

Toutes les normes étant équivalentes, on choisira la plus adaptée au problème. Si oui, alors f est différentiable, sinon, elle ne l’est pas.

• Si l’on est en un point ordinaire, on fera apparaître f comme somme, produit, composée de fonctions différentiables, ou on aura recours au critère suivant :

Théorème : Si f : U → R^p a toutes ses dérivées partielles xi

f

∂∂

(x₁, …, x_n), pour 1 ≤ i ≤ n, en tout point x de U, et si ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est différentiable en a.

Démonstration : Supposons p = 1. Le cas général s’y ramène aussitôt.

• Si n = 2, écrivons f(a + h, b + k) − f(a, b) = f(a + h, b + k) − f(a, b + k) + f(a, b + k) − f(a, b) = h

x

∂f

∂ (a + θ.h, b + k) + k y

∂f

∂ (a, b + θ’.k) , où θ et θ’ ∈ [0, 1], en vertu du théorème des accroissements finis. Par continuité, on a : f(a + h, b + k) − f(a, b) = h

[

x

∂f

∂ (a, b) + ε(h, k)

]

[

y

∂f

∂ (a, b) + ε’(h, k)

]

• Si n est quelconque, écrivons de même : f(a₁ + h₁, …, a_n + h_n) − f(a1, …, a_n) =

∑

=¹ − + + − ++ + +

1

1 1 1

1

1,..., , ,..., ) ( ,..., , ,..., )

(

n

i

n i n

i n i

i n i

i a h a h f a a a h a h

a a f

Appliquons la formule des accroissements finis à chacune des fonctions d’une variable : x → f(a1, …, a_i−1, x, a_i+1 + h_i+1, …,a_n + h_n). Il vient :

∃θi ∈ [0, 1] f(a₁, …, a_i−1, a_i + h_i, …, a_n + h_n) − f(a₁, …, a_i, a_i+1 + h_i+1, …, a_n + h_n) = h_i

xi

f

∂∂

(a₁, …, a_i−1 , a_i + θi.h_i , a_{i +1} + h_i+1 , … , a_n + h_n) . Les dérivées partielles sont continues en a. On peut donc écrire :

xi

f

∂∂

(a₁, …, a_i−1 , a_i + θi.h_i , a_{i +1} + h_i+1 , …, a_n + h_n) = xi

f

∂∂

(a₁, …, a_n) + εi(h).

Par suite, f(a + h) = f(a) +

∑

= ∂∂

n

i

i i

h x a

f

1

).

( +

∑

= n

i

i

i h h

1

).

ε ( ^{. Cqfd.}

Remarque : Ceci n’est qu’une condition suffisante, comme le montre la fonction f(x, y) = x² + y² si (x, y) ∈ A, 0 si (x, y) ∈ B, où A et B sont deux parties complémentaires denses de R².

f est différentiable en (0, 0), de différentielle nulle, car f(x, y) = o(||(x, y)||) mais ses dérivées partielles n’existent pas ailleurs.

Au fond, ce théorème est l’analogue du théorème de la limite de la dérivée.

Exemple : étudions la différentiabilité de f(x, y) =

²

²

3 3

y x

y x

+

− si (x, y) ≠ (0, 0) , f(0, 0) = 0.

♣ f a des dérivées partielles définies et continues en tout (x, y) ≠ (0, 0).

En anticipant un peu, f est même C^∞ sur R²− {(0, 0)}, car rationnelle.

♦ f est continue en (0, 0), car si l’on passe en polaires |f(r cosθ , r sin θ)| = |r (cos³θ − sin³θ)| ≤ 2r.

♥ f(x, 0) = x, f(0, y) = − y, de sorte que x

∂f

∂ (0, 0) = 1, y

∂f

∂ (0, 0) = −1.

f a même des dérivées selon tout vecteur.

♠ Si f était différentiable en (0, 0), on aurait au V(0, 0) : f(h, k) = f(0, 0) +

x f

∂∂

(0, 0).h + y f

∂∂

(0, 0).k + o(||(h, k)||) , c’est-à-dire f(h, k) = h − k + o(||(h, k)||).

Prenons la norme euclidienne : a-t-on f(h, k) − h + k = r.cosθ.sinθ.(cosθ − sinθ) = o(r) quand r → 0 ? Non, car cos θ.sin θ.(cos θ − sin θ) ne tend pas vers 0 quand r tend vers 0.

> with(plots):

> f:=(x,y)->2*x*y/(x^2+y^2);

g:=(x,y)->sqrt(x^2+y^2);

h:=(x,y)->sqrt(abs(x*y));

> plot3d(f(x,y),x=-4..4,y=-4..4,color=x,numpoints=3000,axes=boxed);

> plot3d(g(x,y),x=-4..4,y=-4..4,color=x,numpoints=4000,axes=boxed);

> plot3d(h(x,y),x=-4..4,y=-4..4,color=x,numpoints=4000,axes=boxed);

Exemples de surfaces associées à des fonctions non partout dérivables ²

Exercice 1 : Soit P un polynôme à deux variables, f(x, y) =

²

² ) , (

y x

y x

P+ si (x, y) ) ≠ (0, 0) , f(0, 0) = 0.

Etudier f en (0, 0), en discutant : continuité séparée, continuité, dérivées partielles, dérivabilité.

Exercice 2 : Etudier les propriétés en (0, 0) des fonctions : f(x, y) =

x

y² si x ≠ 0, 0 sinon ; f(x, y) = ₆

5

²)²

(y x x

x +

− si (x, y) ≠ (0, 0), 0 sinon.

2 Tirées de l’excellent livre Surprenantes images des mathématiques, de Georg Glaeser et Konrad Polthier (Belin, 2013), p. 71. Livre traduit de l’allemand ; les mathématiques françaises sont fâchées avec les images...

Exercice 3 : Soit f(x, y) =

²

² 2

y x

+xy si (x, y) ≠ (0, 0), f(0, 0) = 0, n → (an, b_n) une bijection de N sur Q².

Etudier la fonction F(x, y) =

∑

=

−

−

0

) , ( 2 .

1

n

n

n f x an y b : définition, continuités globale et séparée, dérivées partielles et différentiabilité.

3.3. Règle de la chaîne et applications.

Comment se traduit la formule (g o f)’(a) = g’(f(a)) o f’(a) en termes de dérivées partielles ? 1) Soit I un intervalle de R, U un ouvert de Rⁿ, t → g(t) = (x₁(t), …, x_n(t)) une fonction dérivable de I dans U, et f : U → R une fonction dérivable.

Alors h : t → ( f ^o g )(t) = f(x₁(t), …, x_n(t)) est dérivable de I dans R, et : h(t)=

dt d

dt d _f(x

1(t), …, x_n(t)) = x1

f

∂∂

(x₁(t), …, x_n(t)). ¹(t) dt

dx + … +

xn

f

∂∂

(x₁(t), …, x_n(t)). (t) dt dxn

C’est la règle de la chaîne.

Avec des notations géométriques et euclidiennes : dt

d f(M(t))) = (gradf (M(t)) | dt dM ₎ 2) Soient U un ouvert de Rⁿ, f : U → R^p une fonction dérivable, notée f(x) = (f₁(x), …, f_p(x)), I un intervalle de R, t → g(t) = (x₁(t), …, x_n(t)) une fonction dérivable de I dans U.

Alors h : t → (f o g)(t) = f(x₁(t), …, x_n(t)) = (h₁(t), …, h_p(t)) est dérivable de I dans R, et : h(t)

dt

d _{= Jf (x}

1(t), …, x_n(t)).^t( ¹(t) dt

dx , … , (t) dt dxn )

ou encore

















dt t dh

dt t dh

p() ...

)

1(

=





















∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

)) ( ( ...

)) ( (

...

...

...

)) ( ( ...

)) ( (

1

1 1

1

t x x t f x x f

t x x t f x x f

n p p

n

.

















dt t dx

dt t dx

p() ...

)

1(

3) Soient U un ouvert de R^p, f : U → R^q une fonction dérivable, notée f(y) = (f₁(y), …, f_q(y)), V un ouvert de Rⁿ, g : V → R^p une fonction dérivable, notée g(x) = (g₁(x), …, g_p(x)), On suppose f(U) ⊂ V, et on note h = f o g : x ∈ U → (h₁(x), …, h_q(x)) ∈ R^q . Si g(a) = b, on a :

















∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

) ( ...

) (

...

...

...

) ( ...

) (

1

1 1

1

x a a h x h

x a a h x h

n q q

n

=





















∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

) ( ...

) (

...

...

...

) ( ...

) (

1

1 1

1

y b b f y f

y b b f y f

p q q

p

.





















∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

) ( ...

) (

...

...

...

) ( ...

) (

1

1 1

1

x a a g x g

x a a g x g

n p p

n

Application aux courbes et aux surfaces.

1) Soit U un ouvert de R², F une fonction dérivable U → R. C = {(x, y) ∈ U ; F(x, y) = c} une courbe de niveau de F. Supposons qu’un arc paramétré dérivable t ∈ I → (x(t), y(t)) ∈ U soit tracé dans C. On a (∀t ∈ I) F(x(t), y(t)) = c. Dérivons :

dt

d F(x(t), y(t)) = x

∂F

∂ (x(t), y(t)).

dt dx_{(t) +}

y

∂F

∂ (x(t), y(t)).

dt

dy (t) = 0 Le vecteur tangent à l’arc est normal, en chacun de ses points, au gradient de F.

2) Soit U un ouvert de R³, F une fonction dérivable U → R. S = { (x, y, z) ∈ U ; F(x, y, z) = c } une surface de niveau de F. Supposons qu’un arc paramétré dérivable t ∈ I → (x(t), y(t), z(t)) ∈ U soit tracé dans C. On a (∀t ∈ I) F(x(t), y(t), z(t)) = c. Dérivons :

dt

d F(x(t), y(t), z(t)) =

x

∂F

∂ (x(t), y(t), z(t)).

dt dx_{(t) +}

y

∂F

∂ (x(t), y(t), z(t)).

dt dy (t) +

z

∂F

∂ (x(t), y(t), z(t)).

dt

dz_{(t) = 0.}

Le vecteur tangent à l’arc est normal, en chacun de ses points, au gradient de F.

3) Soit U un ouvert de R², M : (x, y) ∈ U → M(x, y) = (X, Y) ∈ R² une application dérivable, donnée par X = f(x, y), Y = g(x, y).

Pour visualiser cette application, il pourra être utile de quadriller U par les verticales x = cte, et les horizontales y = cte, puis dessiner l’ensemble image et le quadriller par les arcs paramétrés

X = f(x₀, y), Y = g(x₀, y) et X = f(x, y₀), Y = g(x, y₀).

Le vecteur tangent au premier arc est ( y

∂f

∂ (x₀, y), y

∂g

∂ (x₀, y)).

Le vecteur tangent au second arc est ( x

∂f

∂ (x, y₀), x

∂g

∂ (x, y₀)).

Si I est un intervalle de R, t ∈ I → (x(t), y(t)) ∈ U une fonction dérivable. On a : (∀t ∈ I)

dt

dM (x(t), y(t)) = x

∂M

∂ (x(t), y(t)).

dt dx ₊

y

∂M

∂ (x(t), y(t)).

dt dy . Exemple : Etudions M : (x, y) → M(x, y) = (X, Y), où X = e^x.cos y , Y = e^x.sin y . Les verticales x = cte sont envoyées sur les cercles r = e^x .

Les horizontales y = cte sont envoyées sur les demi-droites d’origine O.

Au fond, OM = e^x.u(y) ; et x

∂M

∂ _{= OM ,} y

∂M

∂ _{= e}^x_.v(y) .

Exercice 4 : Etudier M : (x, y) → M(x, y) = (X, Y), où X = x²− y² , Y = 2xy.

Exercice 5 : Etudier M : (x, y) → M(x, y) = (X, Y), où X = x 2+ sin(x + y), Y = y 2+ cos(x − y).

4) Soit U un ouvert de R², M : (u, v) ∈ U → M(u, v) ∈ R³ une application dérivable, I un intervalle de R, t ∈ I → (u(t), v(t)) ∈ U une fonction dérivable. On a :

(∀t ∈ I) dt

dM (u(t), v(t)) = u

∂M

∂ (u(t), v(t)).

dt du ₊

v

∂M

∂ (u(t), v(t)).

dt dv_.

Géométriquement, l’arc paramétré t → M(u(t), v(t)) est tracé sur la surface ou nappe paramétrée Σ = (U, M, S), où S = M(U). Son vecteur tangent est combinaison linéaire des vecteurs

u

∂M

∂ _et v

∂M

∂ _{. Si}

ces vecteurs sont indépendants, le plan affine M + Vect( u

∂M

∂ _, v

∂M

∂ ₎ est appelé plan tangent à la surface Σ en M.

Exercice 6 : Soient X et I deux intervalles de R, f : X×I → E une fonction continue admettant une dérivée partielle en x continue. Si α et β sont de classe C¹ : X → I , alors :

F(x) =

∫

∫

[ Indication : Considérer la fonction de trois variables Φ(u, v, x) =

∫

Une remarque importante pour finir : en l’absence d’une hypothèse de différentiabilité, les dérivées partielles ne se composent pas en général. Autrement dit, la règle de la chaîne est une conséquence de la différentiabiltié, et non de la seule existence de dérivées partielles.

Par exemple, soient f(x, y) = (x² + y² , x² + y²) et g(u, v) = 0 si u.v = 0, 1 sinon.

f(0, 0) = (0, 0), et f et g ont leurs dérivées partielles en (0, 0).

Mais (g o f)(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) , 1 sinon ; g o f n’est même pas séparément continue en (0, 0) ! Cela signifie que la définition de la différentiabilité de Stolz-Fréchet est pertinente.

4. Fonctions de classe C¹.

Définition : Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert de E. L’application f : U → F est dite de classe C¹ si f est différentiable dans U et si l’application f’ : x ∈ U → f’(x) ∈ LLLL(E, F) est continue.

Proposition : Lorsque E = Rⁿ et F = R^p, f est de classe C¹ ssi f a toutes ses dérivées partielles xi

f

∂∂ _(x

1, …, x_n), 1 ≤ i ≤ n, définies et continues dans U.

Preuve : Si f est C¹, x → f’(x) est continue de U dans L(E, F), donc x → Jf(x) est continue de U dans M_R(p, n). Par suite, chaque fonction

j i

x f

∂

∂ est continue. Réciproquement, si f a des dérivées partielles continues dans U, f est dérivable dans U (th précédent) et x → Jf(x) est continue, x → f’(x) aussi.

Propriétés des fonctions de classe C¹.

1) On a les inclusions d’espaces vectoriels : C¹(U, F) ⊂ D(U, F) ⊂ C(U, F).

2) Si F = F₁×…×Fp , f : x ∈ U → f(x) = (f1(x),…, f_p(x)) ∈ F est C¹ ssi chaque f_i l’est.

3) Si B : F₁×F2 → G est bilinéaire (continue) et si fi ∈ C¹(U, F_i), alors B(f₁, f₂) ∈ C¹(U, G) 4) Une composée de fonctions de classe C¹ est de classe C¹.

Définition : Un C¹-difféomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de F est une bijection de classe C¹ ainsi que sa réciproque.

Exercice 1 : Montrer que F(x, y) =

∑

= − +

1

²))

² ( exp(

². 1

n

y x

n n est définie et de classe C¹ sur R². Exercice 2 : Soit F(x, y) =

∑

=₀1+ ²

n

n n

y

x . Domaine de définition et propriétés de F.

Remarque sur les fonctions de variable complexe.

Soit U un ouvert de C, f : U → C une fonction de variable complexe.

Nous dirons que f est C¹-holomorphe si, pour tout z ∈ U, f’(z) = lim_u→0

u z f u z

f( + )− ( )

existe, où u tend vers 0 par valeurs complexes, et si la fonction f’(z) est continue dans U.

Etudions le lien entre cette notion et les notions précédentes. Si l‘on identifie C et R², et si l’on pose z = x + iy = (x, y) et f(z) = P(x, y) + i.Q(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), f devient une fonction d’un ouvert U de R², à valeurs dans R².

La formule : f(z + u) = f(z) + f’(z).u + o(u) s’écrit aussi, en posant u = h + ik , et f’(z) = a + ib :

P(x + h, y + k) = P(x, y) + a.h − b.k + o(||(h, k)||) Q(x + h, y + k) = Q(x, y) + b.h + a.k + o(||(h, k)||)

Cela montre que f est R-différentiable, et même de classe C¹, de jacobienne 

 − a b

b a =

















∂∂

∂∂ ∂∂

∂∂ y Q x Q

y P x P

.

On en déduit les formules de Cauchy-Riemann : x

∂P

∂ ₌ y

∂Q

∂ et y

∂P

∂ _{= −} x

∂Q

∂ .

Vues sous cet angle, les fonctions C¹-holomorphes sont des fonctions C¹ particulières.

Exercice 3 : 1) On conserve les notations précédentes, montrer l’équivalence : a) f est C¹-holomorphe dans U ;

b) f est C¹ dans U et vérifie les conditions de Cauchy-Riemann x

∂P

∂ ₌ y

∂Q

∂ et y

∂P

∂ _{= −} x

∂Q

∂ . 2) On suppose f de classe C¹ dans U, et de matrices jacobiennes inversibles en tout point.

Montrer l’équivalence : a) f est C¹-holomorphe ;

b) f est conforme, i.e. conserve les angles orientés des courbes : si deux arcs réguliers de classe C¹ sont tracés dans U et se coupent sous l’angle α, leurs images par f également.

5. Inégalités des accroissements finis.

Les inégalités des accroissements finis forment un vaste sujet. Pour des raisons d’exhaustivité, nous avons traité le sujet sous trois aspects différents. Les résultats du § 5.3. découlent de ceux du § 5.2.

mais sont établis par des méthodes intégrales, tandis que ceux du § 5.2. sont établis par des méthodes différentielles (davantage dans l’esprit du chapitre, mais hors programme de taupe). Aussi, le lecteur pressé d’arriver à l’essentiel étudiera les § 5.1 et 5.3.

On prendra soin de ne pas confondre les hypothèses de convexité et connexité.

Théorème : Soit E un evn, U un ouvert de E ; les propriétés suivantes sont équivalentes : i) U est connexe ;

ii) U est connexe par arcs ;

iii) Deux points a et b de U peuvent être joints par une ligne polygonale ;

iv) (Si E est de dim finie rapporté à des axes) Deux points a et b de U peuvent être joints par une ligne brisée formée de segments parallèles aux axes.

v) Deux points a et b de U peuvent être joints par un arc de classe C¹ ; vi) Deux points a et b de U peuvent être joints par un arc de classe C^∞. 5.1. Cas des fonctions à valeurs numériques.

Proposition 1 : Soit U un ouvert convexe de E, f différentiable U → R. Si (a, b) ∈ U² , b = a + h, alors : ∃θ∈ ]0, 1[ f(a + h) − f(a) = f’(a + θ.h).h = i i

n

i i

h h x a

f ( .. ).

1

∑

Corollaire 1 : On a : | f(b) − f(a) | ≤ || b − a ||.sup_x∈[a,b] ||| f’(x) ||| ,

||.|| étant une norme choisie sur E et |||.||| la norme associée sur son dual.

Corollaire 2 : Soit U un ouvert convexe, f différentiable U → R.

Si (∀x ∈ U) ||| f’(x) ||| ≤ k, alors f est k-lipschitzienne. En particulier, si f’ = 0, f est constante.

Corollaire 3 : Soit U un ouvert de E, f : U → R une application de classe C¹ ; f est localement lipschitzienne.

Proposition 2 : Soit U un ouvert connexe, f : U → R. Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) f admet dans U des dérivées partielles nulles : (∀i) (∀x ∈ U) xi

f

∂∂

(x) = 0 ; ii) f est différentiable de différentielle nulle : (∀x ∈ U) f’(x) = 0 ;

iii) f est constante.

5.2. Cas des fonctions à valeurs vectorielles.

La prop. 1 ne s’étend pas, car le θ dépend de chaque fonction coordonnée f_i (1≤ i ≤ p) de f . Théorème 3 : Soient I = [a, b] un segment de R, F un espace de Banach, f : I → F une fonction vectorielle et g : I → R une fonction numérique, continues dans I, dérivables dans ]a, b[, et telles que (∀x ∈ I) || f'(x) || ≤ g'(x). Alors : || f(b) − f(a) || ≤ g(b) − g(a).

Indication de preuve : Pour tout ε > 0, soit

Jε = { x ∈ I ; ∀t ∈ [a, x] || f(t) − f(a) || ≤ g(t) − g(a) + ε.(t − a) } Montrer que c’est un ouvert-et-fermé ≠∅ de I. On pourra aussi montrer que : Kε = { x ∈ I ; || f(x) − f(a) || ≤ g(x) − g(a) + ε.(x − a) } a pour borne supérieure b.

L’idée est que la majoration || f(t) − f(a) || ≤ g(t) − g(a) + ε.( t − a ) se propage de a à b.

Corollaire 1 : Si f est continue dans I, dérivable dans ]a, b[ et telle que ∀x ∈ ]a, b[ || f'(x) || ≤ M . Alors || f(b) − f(a) || ≤ M.(b − a).

Corollaire 2 : Si f est continue dans I, dérivable dans ]a, b[ et si f' = 0, alors f est constante.

Théorème 4 : Soit U un ouvert convexe de E, f différentiable U → F.

Si (a, b)∈U², alors : || f(b) − f(a) || ≤ || b − a ||.supx∈[a,b] ||| f’(x) ||| ,

|| . || étant une norme choisie sur E et ||| . ||| la norme subordonnée dans L_{(E, F).}

Corollaire : Soit U un ouvert convexe, f différentiable U → F.

Si (∀x ∈ U) ||| f’(x) ||| ≤ k, alors f est k-lipschitzienne.

En particulier, si f’ = 0, f est constante.

Proposition 5 : Soit U un ouvert connexe, f différentiable U → F. Si f’ = 0, f est constante.

Exercice : Soient E un espace normé, U un ouvert connexe de E, d la distance induite sur U.

On appelle longueur d’une ligne brisée de E la somme des longueurs des segments qui la composent.

Si a et b sont deux points de U, on note d_U(a, b) la borne inférieure des longueurs des lignes brisées d’origine a et d’extrémité b contenues dans U.

1) Montrer que d_U est une distance dans U, dite distance géodésique, équivalente à d.

2) Soit f : U → F une application différentiable telle que (∀x ∈ U) ||| f’(x) ||| ≤ k. Montrer qu’alors : ∀(a, b) ∈ U² || f(b) − f(a) || ≤ k.d_U(a, b).

5.3. Cas des fonctions de classe C¹.

Dans les énoncés svts, on suppose f de classe C¹ afin de pouvoir utiliser des méthodes intégrales.

Théorème 5 : Soit U un ouvert convexe de E, f de classe C¹ : U → F (dim E = n, dim F = p).

Ayant choisi des normes sur E et F, si l’on munit L(E, F) de la norme subordonnée, on a : || f(b) − f(a) || ≤ || b − a ||.sup_x∈[a,b] ||| f’(x) ||| .

Preuve : Considérons la fonction ϕ : t ∈ [0, 1] → ϕ(t) = f((1 − t).a + t.b) ∈ F.

Elle est de classe C¹, et vérifie ϕ’(t) = f’((1 − t).a + t.b).(b − a).

D’où : f(b) − f(a) = ϕ(1) −ϕ(0) =

∫

^ϕ

∫

Il reste à prendre la norme et majorer.

Corollaire 1 : Soit U un ouvert convexe, f de classe C¹ : U → F.

Si ∀x ∈ U ||| f’(x) ||| ≤ k, alors f est k-lipschitzienne. En particulier, si f’ = 0, f est constante.

Corollaire 2 : Soit U un ouvert de E . Toute application f : U → F de classe C¹ est localement lipschitzienne.

Proposition 6 : Soit U un ouvert connexe, f de classe C¹ : U → F. Les prop svtes sont équivalentes : i) f admet dans U des dérivées partielles nulles : (∀i) (∀x ∈ U)

xi

f

∂∂

(x) = 0 ; ii) f est différentiable de différentielle nulle : (∀x ∈ U) f’(x) = 0 ;

iii) f est constante.

Le résultat suivant, laissé en exercice, généralise le théorème 5 :

Théorème 7 : Soient U un ouvert de E, f : U → F une fonction de classe C¹, γ : [0, 1] → U un arc de classe C¹, de longueur L(γ) = ¹ '(t .) dt

∫

^γ

__________

Exercices et problèmes

Exercice 1 : M_n,p(R) est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire (M | N) = tr(^tM.N).

Soit B ∈ Sp(R). On définit f , g : M_n,p(R)→ R par f(A) = tr(A.B.^tA) et g(A) = det(A.B.^tA) . Déterminer les différentielles et les gradients de f et de g en tout A ∈ M_n,p(R).

Exercice 2 : Soit C un convexe fermé de l’espace euclidien standard Rⁿ.

1) Montrer que f(x) = d(x, C)² est une fonction de classe C¹ sur Rⁿ et que ∇f(x) = 2 (x − pC(x)), où p_C(x) est la projection convexe de x sur C.

[ Indication : Noter que f(x + h) − f(x) ≥ ||h||² + 2.(x − p_C(x + h) | h). ] 2) Quel est le gradient de g(x) =

2

1_{[ ||x||}² _{− d(x, C)}² _{] ?} Exercice 3 : Deux réciproques.

Soient E et F deux evn de dim finie, U un ouvert de E, a un point de U, f une fonction U → F.

1) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : i) f est continue en a ;

ii) Pour tout intervalle I contenant 0 et toute fonction γ : I → U continue en 0 et telle que γ(0) = a, f o γ est continue en 0.

2) On suppose f continue et l’on se donne L ∈ LLLL(E, F) ; montrer l’équivalence des propriétés suivantes :

i) f est dérivable en a et f’(a) = L ;

ii) Pour tout intervalle I contenant 0 et toute fonction continue γ : I → U dérivable en 0 et telle que γ(0) = a, f ^o γ est dérivable en 0 et ( f ^o γ )’(0) = L(γ’(0)) .

[ Indications : Pour ii) ⇒ i), on raisonnera par l’absurde, et l’on montrera qu’alors (∃α > 0) (∀n) ∃hn

||h_n|| ≤ 1/n et || f(a + h_n) − f(a) − L(h_n) || > α.||h_n||. On montrera qu’on peut extraire de (h_n) une suite (h_ϕ(n)) telle que ||h_ϕ(n)|| soit strictement décroissante et h_ϕ(n)/||h_ϕ(n)|| → u. On définira alors un chemin γ tel que γ(0) = a, γ(||h_ϕ(n)||) = a + h_ϕ(n) (∀n) , et que (f oγ)’(0) ≠ L(γ’(0)). ]