M. Lavigne DM1 2019-2020
Exercice 1. [⋆] Dites si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et une base.
1. E=R×C;
2. E= {x+iy∈C,∣x∣ + ∣y∣ ≤1};
3. E=Symn(R) l’ensemble des matrices complexes carrées symétriques ; 4. E l’ensemble des polynômes P∈Rn[X] tels que P′(0) =0, pour n≥1.
Exercice 2. [⋆⋆] On définit l’application :
u ∶ R1[X] → R2[X] P ↦ XP +P′
1. Montrez que u est une application linéaire de R1[X] dans R2[X]. 2. On note C la base canonique dans R1[X] et la famille de vecteurs B′
dans R2[X] suivante :
P1=X2+X, P2=X+1 et P3=1.
Montrez que B′ est une base deR2[X].
3. On définit la matrice M de u dans les bases C et B′. Dans quel espace vit M? Donnez M.
4. Est-ce queu est surjective, injective, bijective ? Exercice 3. [⋆ ⋆ ⋆] On définit l’application :
u ∶ R3[X] → M4(R) aX3+bX2+cX+d ↦ (b c+d d a )
1. Montrez que u est une application linéaire de R3[X] dans M4(R). 2. Donner la matrice M de u dans les bases canoniques de R3[X] et
M4(R).
3. L’application u est-elle injective ? surjective ? bijective ?
2019-2020 M. Lavigne
Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆⋆]
Étudions l’économie d’un pays et plus particulièrement à sa gestion de deux matières premières : l’acier et le blé. On suppose que pour une année n:
◇ les entreprises fabriquent une unité de métal en utilisant1/4d’une unité de blé et 1/2 de métal de l’an passé ;
◇ il faut utiliser1/2d’une unité de blé de l’an passé (pour faire des semis, etc.) et 1/4 de la production de métal (pour créer les machines) pour produire une unité de blé.
On note Xn = (an
bn) un vecteur représentant à l’année n la quantité d’acier (an) et de blé (bn) produits dans le pays.
1. Montrer que :
Xn+1=AXn, avec :
A= 1 4 (3 2
2 3).
2. On poseP = (−1 11 1). Montrer queP est inversible et calculer son inverse.
3. Montrer que :
A=P(
1 4 0 0 54 )P−1. 4. Montrer que pour tout n, on a :
Xn=P(
1 4n 0
0 54nn
)P−1X0.
