Exercice 1. [⋆] Dites si les ensembles suivants sont desC-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et leur base.
1. E= {z∈C,∣z∣ ≤1}; 2. E=Triang+n(C);
3. E l’ensemble des polynômes P∈Cn[X] tels que P(0) =0.
Correction :
1. L’ensembleEcorrespond au disque fermé. On voit que 1∈E. Cependant, pour λ=2 ∈C, on a λ⋅1=2 ∉E.
DoncE n’est pas unC-espace vectoriel.
2. Remarquons que pour une matrice triangulaire supé- rieure complexeM = (mij)1≤i,j≤n, on a :
M= ∑
i≤j
mijEij.
Réciproquement une telle matrice est clairement une matrice triangulaire complexe.
On sait que 0∈E. De plus, pour M, T ∈E etλ∈R, alors :
(λ⋅M+T) =λ∑
i≤j
mijEij+ ∑
i≤j
tijEij = ∑
i≤j
(λmij+tij)Eij,
où λmij +tij ∈ C pour tout i, j. Donc λ⋅M +T est bien triangulaire supérieure : E est un sous-C-espace vectoriel deMn(C). Il s’agit donc d’unC-espace vec- toriel.
On a déjà vu que (Eij)1≤i≤j≤n générait E. Comme il s’agit d’une sous-famille de la base canonique de Mn(C), elle est libre. Ainsi c’est une base.
Correction :
2. On vient par ailleurs de montrer que E était de di- mension :
d =
n
∑
i=1 n
∑
j=i
1=
n
∑
i=1
(n−i+1) =n(n+1) −
n
∑
i=1
i
=n(n+1) − n(n+1)
2 = n(n+1) 2 .
3. On voit queE contient le polynôme nul. Soitλ∈Cet deux polynômesP etQdeE. Alorsλ⋅P+Q∈Cn[X].
De plus, on a
(λ⋅P+Q)(0) =λP(0) +Q(0) =0.
Donc (λ⋅P +Q) ∈ E implique que E est un sous-C- espace vectoriel deCn[X].
On voit qu’un polynôme de la forme ∑ni=1piXi, avec pi∈Cpour touti, appartient àE. Cela nous incite de prendre la famille(Xi)1≤i≤ncomme base deE. Comme il s’agit d’une sous-famille de la base canonique de Cn[X], elle est libre. Par ailleurs, siP = ∑ni=0piXi est un élément de E, alorsP(0) =p0=0, ce qui donne le fait que cette famille est aussi génératrice : c’est bien une base.
On a donc montré queE est de dimensionn.
Exercice 2. [⋆⋆]Dites si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et leur base.
1. E= {a+b√
2, a∈Q, b∈Q}; 2. E=R∖ {π};
3. E= M2(C);
4. E l’ensemble des polynômes P∈R1[X] tels que P(0) =P(1) =1; 5. E= {a+b√
2, a∈Q, b∈R}.
Correction :
1. On sait que 1 ∈ E. Montrons que √ 3 =
√
3⋅1 ∉ E.
Supposons par l’absurde qu’il existe a, b ∈ Q tel que
√
3=a+b√
2. Dans ce cas, en élevant au carré, on a : 3= (a+b
√
2)2 =a2+2b2+2ab
√ 2.
Siaetbsont non nuls, on aurait alors que
√
2∈Q, ce qui est impossible. Si b=0, on aurait que √
3∈Q, ce qui est aussi impossible. Donc a=0, ce qui implique par la dernière égalité que3=2b2, ce qui là-encore est inconcevable.
Finalement√
3∉E etE n’est pas un R-espace vecto- riel.
2. On sait que 1∈ E. Or π⋅1 ∉E, avec π ∈ R. Donc E n’est pas unR-espace vectoriel.
3. Comme M2(C) est un C-espace vectoriel, on sait queM2(C)est unR-espace vectoriel. On montre que la famille (E11, E12, E21, E22, iE11, iE12, iE21, iE22) est une base deE(laissé au lecteur). DoncE est unR- espace vectoriel de dimension 8 (alors que c’est aussi unC-espace vectoriel mais de dimension 4).
4. On remarque que le polynôme 0n’est pas dans E. Ce n’est pas unR-espace vectoriel.
5. On voit que pour tout x∈R, on a : x=0+ x
√ 2
√ 2, avec a=0∈Qet b=x/
√
2∈R. Donc x∈E. On vient ainsi de montrer queE =R. Donc E est un R-espace vectoriel de dimension 1 (dont une base est donnée par {1}).
Exercice 3. [⋆] On définit l’application :
u ∶ R4 → R3
(x, y, z, t) ↦ (x, y−z, y−t) 1. Montrez que u est une application linéaire de R4 dans R3.
2. On note C la base canonique dans R4 et la famille de vecteurs B′ dans R3 suivante :
e1= (1,1,0), e2= (−1,1,0) ete3= (1,0,1).
Montrez que B′ est une base deR3.
3. On définit la matrice M de u dans les bases C et B′. Dans quel espace vit M? Donnez M.
4. Est-ce queu est surjective, injective, bijective ? Correction :
1. SoitX= (x, y, z, t)etX′= (a, b, c, d) deux éléments de R4. Soitλ∈R. On a alors que :
u(λX+X′) = (λx+a, λy+b− (λz+c), λy+b− (λt+d))
=λ(x, y−z, y−t) + (a, b−c, b−d) =λu(X) +u(X′). On a donc montré queuétait une application linéaire de R4 dansR3.
2. On sait queB′ est de cardinal3=dimR3. Cependant, pour tout (x, y, z) ∈R3, on voit que :
(x, y, z) = x+y−z
2 e1+z+y−x
2 e2+ze3. DoncB′ génèreR3. Par égalité de la cardinalité de B′ avec la dimension deR3, on sait que B′ est une base.
Correction :
3 La matriceMest de taille3×4: elle vit dansM3,4(R).
On voit que
u(ε1) = (1,0,0) = 1
2(e1−e2); u(ε2) = (0,1,1) =e2+e3; u(ε3) = (0,−1,0) = −1
2(e1+e2); u(ε4) = (0,0,−1) = 1
2(e1−e2−2e2). Finalement, on a que :
M =
⎛
⎜
⎝
1/2 0 −1/2 1/2
−1/2 1 −1/2 −1/2
0 1 0 −1
⎞
⎟
⎠
=1 2
⎛
⎜
⎝
1 0 −1 1
−1 2 −1 −1 0 2 0 −2
⎞
⎟
⎠ .
4 Prenons(a, b, c) ∈R3. On voit que : u(a,0,−b,−c) = (a, b, c). Doncu est surjective.
De plus on voit queu(0,1,1,1) =0. Doncun’est pas injective. Finalementu ne peut pas être bijective.
Remarque. Si u était bijective, alors dimR4=dimR3, ce qui est faux. Donc on pouvait déjà dire que u ne pouvait pas être bijective, sans avoir étudié sa surjectivité ou son injectivité.
Exercice 4. [⋆] Parmis les applications suivantes, listez lesquelles sont li- néaires. Dans ce cas, donnez leur matrice et dites si elles sont injectives, sur- jectives ou bijectives. Sinon justifier.
1. u1 ∶R2→R2 ; (x, y) ↦ (−y, x);
2. u2 ∶R2→R ; (x, y) ↦x2y; 3. u3 ∶R→R3 ; x↦ (x, 2x, 3x);
4. u4 ∶R4→R3 ; (x, y, z, t) ↦ (x−t, y−t, z−t).
Correction :
1. L’application u1 est linéaire. En effet, pour tous vec- teurs X = (x, y) etX′ = (a, b) dans R2 et pour tout λ∈R, on a :
u1(λX+X′) = (−λy−b, λx+a)
=λ(−y, x) + (−b, a) =λu(X) +u(X′).
Dans la base canonique, la matrice deu1 est : M = (
0 −1 1 0 ),
vu queu1(1,0) = (0,1) etu1(0,1) = (−1,0).
Comme detM =1≠0, on sait que M est inversible : u1 est bijective.
2. L’applicationu2 n’est pas linéaire. En effet, on a pour X= (1,1) etλ=2 :
u2(λX) =4≠2=λu(X).
3. On voit rapidement que pour x, y∈Retλ∈R: u3(λx+y) =λu3(x) +u3(y).
La matrice deu3 dans les bases canoniques est :
M =
⎛
⎜
⎝ 1 2 3
⎞
⎟
⎠ .
Correction :
On voit que si x∈kerf, alors 0=u3(x) = (x,2x,3x) implique que x = 0 : u3 est injective. Comme on a dimR≠dimR3,u3 ne peut pas être bijective et donc pas surjective.
4. L’applicationu4 est linéaire. En effet, prenons les vec- teursX= (x, y, z, t)etX′= (a, b, c, d)et un scalaire λ∈R. Alors on a :
u4(λX+X′) =
⎛
⎜
⎝
λx+a− (λt+d) λy+b− (λt+d) λz+c− (λt+d)
⎞
⎟
⎠
=λ
⎛
⎜
⎝ x−t y−t z−t
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝ a−d b−d c−d
⎞
⎟
⎠
=λu4(X) +u4(X′).
On a u4(ε1) = (1,0,0), u4(ε2) = (0,1,0), u4(ε3) = (0,0,1) etu4(ε4) = (−1,−1,−1). Ainsi la matrice de u4 dans les bases canoniques est :
M=
⎛
⎜
⎝
1 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 −1
⎞
⎟
⎠ .
Comme dimR4 ≠dimR3, on sait que u4 n’est pas bi- jective (on le voit aussi par le fait que M ne soit pas carré). De plus, si(x, y, z) ∈R3, alors :
u4(x, y, z,0) = (x, y, z),
ce qui donne la surjectivité deu4. Commeu4 n’est pas bijective mais surjective, on sait que u4 ne peut pas être injective.
Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆] On définit l’application : Tr ∶ Mn(R) →R ; M↦
n
∑
i=1
mii.
1. Montrer queL est une application linéaire de Mn(R) dans R.
2. Pour cette question (et seulement cette question) on se place dans le cas n=2. Donner la matrice de Tr dans les bases canoniques.
3. Rappelez les dimensions deMn(R) et de R. 4. Est-ce que Tr est surjective ? injective ? bijective ? 5. Exprimerker(Tr). Donner sa dimension et une base.
Correction :
1. SoitM etN deux matrices etλ∈R. On a alors : Tr(λM +N) =
n
∑
i=1
(λM+N)ii=
n
∑
i=1
λmii+nii
=λ
n
∑
i=1
mii+ ∑
i=1
nii=λTr(M) +Tr(N). Donc l’application Tr est linéaire.
2. On voit que Tr(E11) =1, Tr(E12) =0, Tr(E21) =0 et que Tr(E22) = 1. Donc la matrice de Tr pour n = 2 dans les bases canoniques estM at= (1 0 0 1). 3. On a dimMn(R) =n2 etdimR=1.
4. L’application Tr est surjective. En effet, on voit que pour tout x∈R:
Tr(x nIn) =
n
∑
i=1
x n =x.
Correction :
Cependant elle n’est pas injective. Si on considère une matriceP telle que ses composantes soient toutes nulles sauf en p1n, on a que Tr(P) =0. Donc Tr n’est pas injective.
Elle n’est ainsi pas bijective. En fait comme les deux espaces de départ et d’arrivée n’ont pas même dimen- sion, on peut en conclure que Tr n’est pas bijective (et de surcroît pas injective).
5. Soit M ∈ kerTr. Alors on a Tr(M) = 0, ce qui est équivalent à ce que :
mnn = −
n
∑
i=1
mii.
Cela revient à : M =
n
∑
i,j=1
mijEij =
n−1
∑
i=1 n
∑
j=1
mijEij+
n−1
∑
j=1
mnjEnj−
n
∑
i=1
miiEnn,
ce qu’on peut réécrire comme étant : M =
n
∑
i,j=1
i≠j
mijEij+
n−1
∑
i=1
mii(Eii−Enn).
Ainsi la famille ((Eij)1≤i,j≤n
i≠j
,(Eii−Enn)1≤i≤n−1) est une famille génératrice dekerf.
Montrons qu’elle est libre. Soit (λi,j)1≤i,j≤n
i≠j
et (λii)1≤i≤n−1 des réels tels que :
0=
n
∑
i,j=1
i≠j
λijEij+
n−1
∑
i=1
λi(Eii−Enn).
Correction :
Par identification des coordonnées d’une matrice, on a λij = 0 pour tout i ≠ j. De plus on a λii = 0 et
∑n−1i=1 λii=0 (ce qui est immédiat). Donc tous les λij sont nuls, ce qui donne la liberté de la famille. Il s’agit donc d’une base. On a montré que :
dim(kerTr) =n2−1.
Exercice 6. [⋆ ⋆ ⋆⋆] Soitn∈N. On définit l’application :
L ∶ Rk[X] →Rk+1;P ↦ (P(0), . . . , P(n), P′(0), . . . , P′(n)), avec k=2n+1.
1. Montrer queL est une application linéaire de Rk[X] dans Rk+1. 2. Pour cette question (et seulement cette question) on se place dans le cas
n=0. Donner la matrice de L dans les bases canoniques.
3. Rappelez les dimensions de Rk[X] et de Rk+1. Est-ce que L peut être surjective ?
4. Montrer que si P ∈kerL, alors il existe (r1, . . . , rn) tel que P′(ri) =0 pour tout i∈J1, nK, avecri∈]i−1, i[. Quel est le degré de la dérivée de P? Combien a-t-il de racines ? En déduire queP′ est nul.
5. Est-ce queL est injective ? surjective ? bijective ? Si oui, justifiez le.
On rappelle deux propriétés : Théorème 1. Théorème de Rolle
Si f est continue sur [a, b], dérivable sur]a, b[, avec f(a) =f(b), alors il existe c∈]a, b[ tel que f′(c) =0.
Proposition 2. Soit P ∈R[X] de degré d.
Si P admet d+1 racines, alorsP est le polynôme nul.
Correction :
1. SoitP, Q∈Rk[X]etλ∈R. On a alors :
L(λP+Q)
= (λP(0)+Q(0), . . . , λP(n)+Q(n), λP′(0)+Q′(0), . . . , λP′(n)+Q′(n))
=λ(P(0), . . . , P(n), P′(0), . . . , P′(n)) + (Q(0), . . . , Q(n), Q′(0), . . . , Q′(n))
=λL(P)+L(Q),
ce qui permet de conclure queL est bien une applica- tion linéaire deRk[X] dansRk+1.
2. Si n = 0, alors k = 1. On sait que L(0) = (1,0) et L(X) = (0,1). Donc la matrice de L dans les bases canoniques est(1 00 1).
3. Comme dimRk[X] = dimRk+1 = k+1, L peut être surjective.
4. Sur les segments [i−1, i], avec i ∈J1, nK, on a pour P ∈ kerL que x ↦ P(x) est continue, dérivable sur ]i−1, i[ avec P(i−1) =P(i) =0. Par le théorème de Rolle, on sait qu’il existe un réel ri dans ]i−1, i[ tel queP′(ri) =0. La dérivée deP a pour degrédegP−1 sidegP≠0 et−∞ sinon.
Supposons que P′ est non nul. Alors ce polynôme a un degré maximum valant k−1. Cependant on sait qu’il admet n+1 racines (étant les entiers plus petits que n car P ∈ kerL) ajoutées aux n racines qu’on a trouvées précédemment (qu’on a notées ri). Donc P′ admet au moins 2n+1 = k racines. Ce polynôme admet plus de racines que son degré et est non nul, ce qui est impossible d’après la Proposition rappelée.
DoncP′=0.
5. On a montré que si P ∈ kerL, alors P′ = 0 ce qui revient à dire que P est constant. Comme P ∈kerL, on aP(0) =0, ce qui implique queP=0. L’application Lest injective. Comme dimRk[X] =k+1=dimRk+1, et que L est injective, on sait que L est surjective et bijective.
