Diagonalisation – DM1 PeiP (2019)

M. Lavigne DM1 2018-2019

Exercice 1. [⋆] Dites si les ensembles suivants sont desC-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et leur base.

1. E= {z∈C,∣z∣ ≤1}; 2. E=Triang⁺_n(C);

3. E l’ensemble des polynômes P∈Cn[X] tels que P(0) =0.

Exercice 2. [⋆⋆]Dites si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et leur base.

1. E= {a+b√

2, a∈Q, b∈Q}; 2. E=R∖ {π};

3. E= M2(C);

4. E l’ensemble des polynômes P∈R1[X] tels que P(0) =P(1) =1; 5. E= {a+b√

2, a∈Q, b∈R}.

Exercice 3. [⋆] On définit l’application :

u ∶ R⁴ → R³

(x, y, z, t) ↦ (x, y−z, y−t) 1. Montrez que u est une application linéaire de R⁴ dans R³.

2. On note C la base canonique dans R⁴ et la famille de vecteurs B^′ dans R³ suivante :

e1= (1,1,0), e2= (−1,1,0) ete3= (1,0,1). Montrez que B^′ est une base deR³.

3. On définit la matrice M de u dans les bases C et B^′. Dans quel espace vit M? Donnez M.

4. Est-ce queu est surjective, injective, bijective ?

Exercice 4. [⋆] Parmis les applications suivantes, listez lesquelles sont li- néaires. Dans ce cas, donnez leur matrice et dites si elles sont injectives, sur- jectives ou bijectives. Sinon justifier.

1. u₁ ∶R²→R² ; (x, y) ↦ (−y, x);

2018-2019 M. Lavigne

2. u2 ∶R²→R ; (x, y) ↦x²y; 3. u3 ∶R→R³ ; x↦ (x, 2x, 3x);

4. u₄ ∶R⁴→R³ ; (x, y, z, t) ↦ (x−t, y−t, z−t). Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆] On définit l’application :

Tr ∶ Mn(R) →R ; M↦∑ⁿ

i=1

m_ii.

1. Montrer queL est une application linéaire de Mn(R) dans R.

2. Pour cette question (et seulement cette question) on se place dans le cas n=2. Donner la matrice de Tr dans les bases canoniques.

3. Rappelez les dimensions deMⁿ(R) et de R. 4. Est-ce que Tr est surjective ? injective ? bijective ? 5. Exprimerker(Tr). Donner sa dimension et une base.

Exercice 6. [⋆ ⋆ ⋆⋆] Soitn∈N. On définit l’application :

L ∶ Rk[X] →R^k+1;P ↦ (P(0), . . . , P(n), P^′(0), . . . , P^′(n)), avec k=2n+1.

1. Montrer queL est une application linéaire de Rk[X] dans R^k+1. 2. Pour cette question (et seulement cette question) on se place dans le cas

n=0. Donner la matrice de L dans les bases canoniques.

3. Rappelez les dimensions de Rk[X] et de R^k+1. Est-ce que L peut être surjective ?

4. Montrer que si P ∈kerL, alors il existe (r1, . . . , rn) tel que P^′(ri) =0 pour tout i∈J1, nK, avecri∈]i−1, i[. Quel est le degré de la dérivée de P? Combien a-t-il de racines ? En déduire queP^′ est nul.

5. Est-ce queL est injective ? surjective ? bijective ? Si oui, justifiez le.

On rappelle deux propriétés : Théorème 1. Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a, b], dérivable sur]a, b[, avec f(a) =f(b), alors il existe c∈]a, b[ tel que f^′(c) =0.

Proposition 2. Soit P ∈R[X] de degré d.

Si P admet d+1 racines, alorsP est le polynôme nul.