Diagonalisation – DM1 PeiP (2018)

M. Lavigne DM1 (facultatif) 2017-2018

Exercice 1. [⋆] Notons E_i,j la matrice coordonnée (i, j) dans M_n,m(K).

Montrez que la famille (E_i,j)_1≤i≤n

1≤j≤m est une base de M_n,m(K). En déduire sa dimension.

Exercice 2. [⋆⋆]Dites si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels et si oui donnez sa dimension et une base.

1. E=Q; 2. E= [−1; 1]; 3. E=R⁺; 4. E=R;

5. E=Diag_n(R)l’ensemble des matrices carrés de taille n×ndiagonales ; 6. E l’ensemble des polynômes P∈Rn[X] avec P(0) =P(1) =0.

Exercice 3. [⋆] On définit l’application :

u ∶ R⁴ → R²

(x, y, z, t) ↦ (x+y+t, x−y+z) 1. Montrez que u est une application linéaire de R⁴ dans R².

2. On note C la base canonique dans R⁴ et la famille de vecteurs B^′ dans R² suivante :

e₁= (1,1) ete₂= (−1,1).

Montrez que B^′ est une base deR².

3. On définit la matrice M de u dans les bases C et B^′. Quelles sont les dimensions de M? Donnez M.

4. Est-ce queu est surjective, injective, bijective ?

Exercice 4. [⋆] Parmis les applications suivantes, listez lesquelles sont li- néaires. Dans ce cas, donnez leur matrice et dites si elles sont injectives, sur- jectives ou bijectives.

1. u₁ ∶R²→R² ; (x, y) ↦ (y, x); 2. u₂ ∶R²→R ; (x, y) ↦e^xy;

2017-2018 M. Lavigne

3. u3 ∶R→R³ ; x↦ (x, 2x, −x);

4. u4 ∶R⁴→R³ ; (x, y, z, t) ↦ (x−t, y−x, z−y).

Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆] On définit l’application :

L∶Rn[X] →Rⁿ⁺¹ ; P(X) ↦ (P(0), P(1), . . . , P(n)) 1. Montrer queL est une application linéaire de Rn[X] dans Rⁿ⁺¹. 2. Rappelez les dimensions deRn[X] et de Rⁿ⁺¹.

3. Montrez que le noyau deL est réduit au singleton{0}.

4. En déduire que u est injective puis bijective.

Exercice 6. [⋆ ⋆ ⋆⋆] En vous inspirant de l’exercice 5, montrez que l’applica- tion suivante est linéaire, puis qu’elle est bijective.

J ∶ Rn[X] → Rⁿ⁺¹

P ↦ (P(0), P⁽¹⁾(0), . . . , P⁽ⁿ⁾(0))