M. Lavigne DM2(correction) 2017-2018
Exercice 1. [⋆] Calculer les valeurs propres des applications linéaires sui- vantes, si cela a un sens :
1. f ∶R2 →R ; (x, y) ↦x+y; 2. f ∶R2 →R2 ; (x, y) ↦ (x, x−y); 3. f ∶R3 →R ; (x, y, z) ↦y+x−2z; 4. f ∶R3 →R3 ; (x, y, z) ↦ (y, z, x).
Exercice 2. [⋆] Calculer les valeurs propres des matrices suivantes, si cela a un sens :
1. A= (1 0 3 0 1 2); 2. B=⎛
⎜⎝ 1 2 3 1 2 0 0 0 3
⎞⎟
⎠; 3. C=
⎛⎜⎜
⎜⎜⎝
1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
⎞⎟⎟
⎟⎟⎠ .
Exercice 3. [⋆⋆] Montrer que si A∈ M3(C), alors son polynôme caractéris- tique est :
χA(X) = −X3+Tr(A) X2−Tr(A)2−Tr(A2)
2 X+det(A).
Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆] On considère un entier n≥1 et un polynôme P ∈Rn[X] qu’on écrit :
P =Xn−an−1Xn−1− ⋯ −a1X−a0. On définit la matrice dite de compagnon de P :
Comp(P) =
⎛⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝
0 1 0 ⋯ ⋯ 0
... . .. ... ... ... ... . .. ... ... ...
0 ⋯ ⋯ 0 1 0
0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1
a0 ⋯ ⋯ ⋯ an−2 an−1
⎞⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠ .
2017-2018 M. Lavigne
Montrer que le polynôme caractéristique de Comp(P) est (−1)nP. [Faire un raisonnement par récurrence sur la dimensionn]
Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆⋆] On considère un entier impairn≥3.
1. Montrer qu’un polynômeP ∈R[X] de degré nadmet une racine réelle.
2. Montrer que toute matrice A∈ Mn(R) admet une valeur propre réelle.
3. Cas n=3 : On considère ici A∈ Mn(R).
(a) Montrer que soitA n’admet que des valeurs propres réelles, soit une valeur propre réelle et deux valeurs propres conjuguées complexes.
(b) Montrer que siA admet deux valeurs propres complexes, alorsA est diagonalisable dansC (et pas dans R).
(c) Pensez-vous que si toutes les valeurs propres deA sont réelles,A est forcément diagonalisable dansC. Si oui, montrez-le, et sinon donnez un contre-exemple.
Exercice 6. [⋆⋆] On étudie l’équation différentielle
x(4)(t) =a x′′(t) +b x′(t) +c x(t). (1) On pose y(t) =x′(t), z(t) =x′′(t) etw(t) =x′′′(t).
1. Montrer que(x, y, z , w) vérifie un système différentiel d’ordre 1.
2. On définie le vecteur V(t) =
⎛⎜⎜
⎜⎜⎝ x(t) y(t) z(t) w(t)
⎞⎟⎟
⎟⎟⎠
. Montrer qu’il existe A∈ M4(C)
telle que V′(t) =A⋅V(t). Exprimer A.
3. Dans cette question, on suppose quea=b=0 et c=1.
(a) Est-ce que A est diagonalisable dans C?
(b) En déduire les solutions de l’équation (1), dans ce cas, en les expri- mant avec des fonctions REELLES.
4. Dans cette question, on suppose que a > 0 et b = c = 0. Montrer que A n’est alors pas diagonalisable dans C. Cependant, peut-on dans ce cas résoudre facilement (1)? Si oui, résolvez-la, sinon justifiez votre réponse.
