Diagonalisation – DM2 PeiP (2018)

M. Lavigne DM2 (facultatif) 2017-2018

On notera par la suite Diag_n(K) l’ensemble des matrices diagonales et Triang⁺_n(K) celui des matrices triangulaires supérieures de Mⁿ(K).

Exercice 1. [⋆] Trouver le supplémentaire de F dans E dans chacun des cas suivants.

1. E=K² etF =Vect((1,1)); 2. E=K³ etF =Vect((1,1,1));

3. E=Kⁿ et F = {x∈Rⁿ, x₁+ ⋯ +x_n=0}; 4. E= Mⁿ(K) et F =Diag_n(K);

5. E= Mⁿ(K) et F =Triang⁺_n(K);

6. E=K2n+1[X] et F=Vect(1, X³, X⁵, . . . , X²ⁿ⁺¹);

7. E=Kn[X]et F =Vect(Xⁿ−Xⁿ⁻¹, Xⁿ−Xⁿ⁻², . . . , Xⁿ−X, Xⁿ−1). Exercice 2. [⋆⋆] Soit A∈ Mn(K). On pose A₁ =^A+₂^tA.

1. Vérifier queA1 ∈Sym_n(K).

2. Trouver le supplémentaire A de Sym_n(K) dans Mn(K). 3. Donner une base adaptée à E= A ⊕Sym_n(K).

4. Exprimer la projection sur A parallèlement à Sym_n(K).

5. Montrer que la symétrie par rapport à Sym_n(K) parallèlement à A est l’application A↦ ^tA.

Exercice 3. [⋆] On définit l’application suivante : f ∶ R³ → R³

(x, y, z) ↦ (−z, x,−y) 1. Vérifier quef est un endomorphisme bijectif.

2. Exprimer la matriceM atC(f).

3. On définit la famille (e1, e2, e3) par e1 = (1,1,−1), e2 = (1,−1,0) et e3= (1,0,1).Montrer qu’il s’agit d’une base qu’on notera B.

4. Donner la matrice de passage deC vers B puis la matriceM atB(f). Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆] Montrer que le déterminant d’une matrice de Triang⁺_n(K) est le produit de ces coefficients diagonaux.

2017-2018 M. Lavigne

Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆⋆]

1. Pour P ∈GL_n(K), montrer que det(P) ≠0.

2. Soit A∈ Mⁿ(K). On définit la comatrice deA par : com(A)^i,j = (−1)^i+j∆i,j.

Montrer alors que (A ^tcom(A))^i,j est le déterminant de la matrice A où on a remplacé la j-ème ligne par lai-ème ligne deA.

3. Montrer queA est inversible si et seulement sidet(A) ≠0, et que dans ce cas :

A⁻¹= 1

det(A) ^tcom(A)

4. Donner l’inverse des matrices suivantes (si elles sont inversibles) :

— A2= (a b

c d), avecad−bc≠0;

— A₃=⎛

⎜⎝ a b c d e f g h i

⎞⎟

⎠, avecaei+dhc+gbf ≠ahf+dbi+gec;

— D∈Diag_n(K) avec ∏ⁿi=1dii≠0; Exercice 6. [⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆]

On étudie la matriceA= (a b

c d). On appelle valeur propre deAun scalaire λ tel qu’il existe un vecteurNON NUL X∈K² tel que AX=λX.

1. Montrer que A²−T r(A)A+det(A)I2 =02. En déduire, dans le cas où detA≠0, la formule :

A⁻¹= T r(A)I₂−A detA .

2. Montrer que si λest valeur propre, alors λ²−T r(A)λ+det(A) =0.

3. On suppose ici que b ≠ 0. Montrer que si λ est racine du polynôme X²−T r(A)X+det(A), alorsλ est une valeur propre de A.

4. On suppose queb=0. Calculer les racines de X²−T r(A)X+det(A) et montrer qu’elles sont encore valeur propre.

5. Conclure.