Diagonalisation – DM4 PeiP (2019)

M. Lavigne DM4(facultatif) 2018-2019

Exercice 1. [⋆]

1. SoitEunR-espace vectoriel de base(e₁, . . . , e_n)etΦun produit scalaire surE.

Montrer que la matrice S = (Φ(e_i, e_j))_i,j est sym´etrique, puis que les valeurs propres deS sont toutes strictement positives.

2. Soit S∈ Mn(R) sym´etrique. Montrer que l’application suivante est une forme bilin´eaire sym´etrique :

∀X, Y ∈Rⁿ, Φ(X, Y) =X^T S Y ∈R.

Exercice 2. [⋆⋆] On consid`ere l’espace vectorielE=R2[X].

1. Montrer que l’application

Φ(P, Q) =P(0)Q(0) +P^′(0)Q^′(0) +P^′′(0)Q^′′(0) est un produit scalaire surE.

2. Calculer l’orthogonal deF =V ect(X)dans(E, Φ).

Exercice 3. [⋆ ⋆ ⋆] (Turn around)

Le but de l’exercice est de trouver tous les points(x, y) ∈R² tels que :

x²+xy+y²+x+y=1. (1)

1. Montrer qu’il existe une matrice S ∈ M2(R) sym´etrique et une application lin´eaireL∶R²→R tels que(x, y)v´erifie (1)si et seulement si

(x y)S( x

y ) +L((x, y)) =1.

2. Trouver les valeurs propres deS.

3. Trouver une base propre orthonormale deS.

4. Mettre S sous la formeS=P DP^T avec P inversible et D= ( 1/2 0

0 3/2).

5. On pose ( s

t) =P^T ( x

y). Montrer que(x, y)v´erifie (1)si et seulement si s²

2 + 3t²

2 +

√ 2t=1.

2018-2019 M. Lavigne

6. On pose u=s/√

2 et v=1/√ 3 + t

√

3/2. Montrer alors qu’il existe un angle θ∈ [−π, π[tel que :

u= 2

√

3cosθ etv= 2

√ 3sinθ.

7. En d´eduire que(x, y)v´erifie (1) si et seulement s’il existeθ∈ [−π, π[tel que

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩ x=√²

3 cosθ+^{2 sinθ−1}₃ , y= − √²

3 cosθ+^{2 sin}₃^θ−1.

8. Dessiner (`a main lev´ee) l’ensemble des points(x, y)qui v´erifient (1).

Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆⋆] (Curioser and curioser)

On appelle homoth´etie positive un endormorphismeude(E,Φ)(espace euclidien) qui v´erifie :

∀x∈E,∀y∈E, d(u(x), u(y)) =λ d(x, y),

pour un certainλappel´e rapport de l’homoth´etie, etdla distance associ´ee `a la norme N (elle-mˆeme associ´ee au produit scalaireΦ).

1. Montrer que siuest une homoth´etie positive de rapportλ, alors λ≥0.

2. Montrer qu’on a ´equivalence entre :

(a) uest une homoth´etie positive de rapportλ; (b) ∀x∈E, N(u(x)) =λ N(x);

(c) Pour toute base orthonorm´eeB, l’image parudeBest une base orthogonale dont chaque vecteur est de norme valantλ.

3. Soituune homoth´etie positive de rapport λ. On d´efinit pour tout x∈E,v(x) = u(x)/√

λ.Montrer que v est une isom´etrie.

4. Montrer que le d´eterminant d’une homoth´etie de rapportλ>0 est±λ^n/2. 5. On poseM= (

6 −2√ 3 2√

3 6 ). Montrer qu’il existe une homoth´etie positivehde rapportλet une rotationrd’angleθtelle queM soit la repr´esentation deh○r.

On pr´ecisera les valeurs de λet deθ.