M. Lavigne DM3 2018-2019
Exercice 1. [⋆] Calculer les valeurs propres des applications lin´eaires suiv- antes, si cela a un sens :
1. f ∶R2 →R ; (x, y) ↦x−y ;
2. f ∶R2 →R2 ; (x, y) ↦ (x+y, x−y) ; 3. f ∶R3 →R3 ; (x, y, z) ↦ (z, y, x). Exercice 2. [⋆]
Trouver les valeurs propres (r´eelles et complexes) des matrices suivantes :
A= (1 2
2 1); B = ( 0 1
−1 0); C=⎛
⎜⎝ 0 1 0 0 0 1 2 0 0
⎞⎟
⎠; D=⎛
⎜⎝
1 2 3 2 0 4 3 4 −1
⎞⎟
⎠. Exercice 3. [⋆⋆] (Compter les lapins avant de s’endormir)
On ´etudie dans cet exercice une population de lapins. Au tempsn=0, nous avons un unique couple de lapins. On suppose que la maturit´e sexuelle du lapin est atteinte apr`es un mois et que la p´eriode de gestation est aussi de un mois:
chaque couple engendre un nouveau couple tous les mois d`es le troisi`eme mois de vie. Par ailleurs on suppose que les lapins ne meurent jamais.
On note un le nombre de couple de lapins au mois n.
1. Exprimer u0, u1 et pour tout n≥2, donner une relation entre un, un−1
et un−2.
2. On d´efinit pour tout n le vecteur Xn= (un+1
un ).Montrer que pour tout n, on a Xn+1=AXn avec :
A= (1 1 1 0). 3. Diagonaliser A.
4. En d´eduire Xn et un en fonction de n.
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5. Il y a fort longtemps, les marins apportaient des lapins sur leur navires pour se nourrir. Est-ce que cela est int´eressant : si on ne les mangeait pas et qu’ils ne mourraient pas, pendant une longue p´eriode, y aurait-il suffisamment de lapins pour nourrir tout l’´equipage ? Maintenant, en se rappelant que le bateau a un espace limit´e, est-ce une r´eelle bonne id´ee ? (En fait, suite `a des nauvrages caus´es par des lapins qui ont rong´e le bois des navires, en amener un `a bord, et mˆeme en parler, porte malheur.) Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆⋆] (Matrices et circuit R/L/C/RC)
Le but de cet exercice est d’´etudier l’´evolution de la tension U :
R i1
L i2
C
i3 C
i
R U
On rappelle les relations suivantes pour les composants ´electriques pr´esents dans ce circuit :
◇ R´esistance : UR=R iR ;
◇ Condensateur : iC =CdUdtC ;
◇ Bobine : UL=LdidtL.
R iR
UR
C iC
UC
L iL
UL
1. V´erifier que la tension U est solution de l’´equation diff´erentielle : d3U
dt3 +ad2U
dt2 +bdU
dt +c U =0,
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avec a= RC3 , b= LC1 +R21C2 etc=RLC1 2. 2. On d´efinit le vecteur U→= ( dUU/dt
d2U/dt2). Montrer que d
→
U
dt =AU→, avec
A=⎛
⎜⎝
0 1 0 0 0 1
−c −b −a
⎞⎟
⎠.
3. Calculer le polynˆome caract´eristique de A.
4. On suppose ici que R2 = 2L/C. Factoriser χA en fonction de R et de C. La matrice Aest-elle diagonalisable dans R? L’est-elle dans C? Si oui, diagonalisez-la.
NB: On a 1=e−iπ/3+eiπ/3.
5. Exprimer U en fonction du temps `a l’aide de fonctions complexes, puis
`
a l’aide de fonctions r´eelles, dans le cas o`u U(0) = 3K, dUdt(0) = 0 et
d2U
dt2(0) = R6K2C2, avecK∈R. Le circuit se charge-t-il ? Se d´echarge-t-il ? Exercice 5. [⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆] (Th´eor`eme de Cayley-Hamilton — Version faible)
1. Nous allons montrer dans cette question le th´eor`eme de Cayley-Hamilton (affaibli) qui dit que pour tout matrice diagonalisable :
χM(M) =0.
En fait ce r´esultat est vrai pour toute matrice M ∈ Mn(K), mais la preuve n’est pas imm´ediate.
(a) On consid`ere une matrice D ∈ Mn(K) diagonale. Rappelez le polynˆome caract´eristique χD de D. Montrer que χD(D) =0.
(b) Soit A∈ Mn(K) une matrice diagonalisable. Montrer que χA=χD si D est la matrice diagonale des valeurs propres de A, puis le th´eor`eme de Cayley-Hamilton (affaibli).
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2. Dans la suite de l’exercice, nous allons ´etudier un autre polynˆome pour illustrer que la preuve du th´eor`eme de Cayley-Hamilton n’est pas triviale.
Pour cela, nous allons d´efinir le permanent d’une matrice A∈ Mn(K). Si n=1, la d´efinition est identique au d´eterminant `a savoirP er(A) =A pour A∈K. Dans le cas n=2, on pose :
P er(a b
c d) =ad+cd.
Enfin pour unnquelconque, on utilise une formule de d´eveloppement par rapport `a une ligne (ou une colonne) similaire `a celle du d´eterminant.
Par exemple, si on souhaite d´evelopper le permanent deA∈ M3(K) par rapport `a la premi`ere ligne, nous avons :
P er⎛
⎜⎝ a b c d e f g h i
⎞⎟
⎠=aP er( e f
h i ) +bP er(d f
g i ) +cP er(d e g h). La seule diff´erence est la disparition des (−1)i+j par rapport `a la formule pour le d´eterminant. Ce changement semble sans cons´equence impor- tante ... Pourtant ...
(a) Montrer que le permanent d’une matrice diagonaleD∈ Mn(K)est
´
egal au produit des termes diagonaux (et donc `a son d´eterminant).
(b) Calculer le permanent de la matrice A= (0 11 0).
(c) Pour une matrice M∈ Mn(K), on d´efinit le polynˆome : κM =P er(M−XIn).
Montrer que si D est diagonale, alorsκD(D) =0. Calculer pour la matrice A de la question pr´ec´edente, la valeur de κA(A).
(d) Peut-on ´enoncer un r´esultat similaire au th´eor`eme de Cayley - Hamilton pour le polynˆome κM d’une matrice M diagonalisable ?
