Diagonalisation – DM1 PeiP (2020) – Correction

Exercice 1. [⋆] Dites si les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels et si oui donnez leur dimension et une base.

1. E=R×C;

2. E= {x+iy∈C,∣x∣ + ∣y∣ ≤1};

3. E=Sym_n(R) l’ensemble des matrices complexes carrées symétriques ; 4. E l’ensemble des polynômes P∈Rn[X] tels que P^′(0) =0, pour n≥1.

Correction :

1. On voit que E est un sous-ensemble de C², dont les éléments sont de la forme :

(r, x+iy) =r(1,0) +x(0,1) +y(0, i).

Il s’agit donc de l’ensemble des combinaisons linéaires réelles de(1,0),(0,1) et(0, i). C’est donc un sous-R- espace vectoriel deC², dont une base est :

B = ((1,0),(0,1),(0, i)).

En effet, cette famille génèreE d’après ce qui précède.

Il nous reste plus qu’à montrer qu’elle est libre. Soit λ,µ etν des réels avec :

0=λ(1,0) +µ(0,1) +ν(0, i) = (λ, µ+iν).

Par unicité de l’écriture en coordonnées, on aλ=0 et µ+iν =0. Cela implique bien que λ=µ =ν =0 : la famille Best libre, ce qui en fait une base deE. Ainsi dimE=3.

2. On sait que1∈E. Supposons queE soit un R-espace vectoriel. Dans ce cas, pour tout réelλ,λ⋅1∈E. Ainsi, pour λ=2, on obtiendrait que 2∈E. Or 2=2+i×0 ne vérifie pas la condition∣x∣ + ∣y∣ ≤1. Donc 2⋅1∉E, ce qui est incohérent. Donc E n’est pas un R-espace vectoriel.

Correction :

3. On rappelle qu’une matrice est symétrique si pour tous indices iet j, on aaij =aji, ce qui peut s’écrire sous la forme A^T =A.

◇ E⊂ M_n(R);

◇ On sait que la matrice nulle est symétrique :E≠ ∅;

◇ SoitA etB deux matrices deE et un réelλ. On a alors que :

(A+λB)_ji=a_ji+λb_ji=a_ij+λb_ij = (A+λB)_ij,

pour tous indices ietj. Donc A+λB∈E.

On a montré que E était un sous-R-espace vectoriel de M_n(R).

On remarque qu’une matrice Asymétrique vérifie :

A=

n

∑

i,j=1aijEij =

n

∑

i=1

⎡

⎢

⎢⎢

⎢⎣

aiiEii+

n

∑

j=i+1aij(Eij+Eji)

⎤

⎥

⎥⎥

⎥⎦ .

Donc la famille B = (Eii)_1≤i≤n⋃ (Eij+Eji)_1≤i<j≤n gé- nèreE. Montrons qu’elle est libre. Considérons desaij

tels que :

0=

n

∑

i=1

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎣

a_iiE_ii+

n

∑

j=i+1a_ij(E_ij+E_ji)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎦ .

Par unicité des coordonnées matricielles, on a a_ij =0 pour tous i et j. Ainsi B est libre, puis est une base de E :dimE=#B =n+ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ .

4. On a E⊂Rn[X] et0∈E. Pour deux polynômes P et Qde E et un réel λ, on a :

(P+λQ)^′(0) =P^′(0) +λQ^′(0) =0.

DoncP+λQ∈E, ce qui implique queE est un sous- R-espace vectoriel deRn[X].

Correction :

4. Un élément P de E s’écrivant sous la forme :

P =

n

∑

i=0p_iXⁱ,

vérifie P^′(0) = p1 =0. Ainsi on montre que la famille B = (1, X², X³, . . . , Xⁿ)génèreE. Il s’agit d’une sous- famille de la base canonique deRn[X] :B est libre. Il s’agit donc d’une base de E. On a alors que :

dimE= (n+1) −1=n.

Exercice 2. [⋆⋆] On définit l’application :

u ∶ R1[X] → R2[X] P ↦ XP +P^′

1. Montrez que u est une application linéaire de R1[X] dans R2[X].

2. On note C la base canonique dans R1[X] et la famille de vecteurs B^′ dans R2[X] suivante :

P₁=X²+X, P₂=X+1 et P₃=1.

Montrez que B^′ est une base deR2[X].

3. On définit la matrice M de u dans les bases C et B^′. Dans quel espace vit M? Donnez M.

4. Est-ce queu est surjective, injective, bijective ? Correction :

1. SoitP, Q∈R1[X]etλ∈R. On a :

u(P+λQ) =X(P+λQ) + (P+λQ)^′,

= (XP+P^′)+λ(XQ+Q^′) =u(P)+λu(Q). On vient de montrer que u était une application li- néaire de R1[X]dans R2[X].

Correction :

2. On sait que#B^′=3=dimR2[X]. Montrons que cette famille est libre. Soit λ, µ et ν trois réels tels que λP₁+µP₂+νP₃=0. Cela est équivalent au fait que :

λX²+ (λ+µ)X+ (µ+ν) =0.

Comme la famille (1, X, X²) est une base de R2[X], on a λ=λ+µ=µ+ν=0, ou encoreλ=µ=ν=0. La familleB^′est libre de cardinal la dimension deR2[X]: c’est une base de R2[X].

3. On a M∈ M_3,2(R). Comme :

u(1) =X=P₂−P₃,

et que :

u(X) =X²+1=P1−P2+2P3,

on a :

M=

⎛

⎜

⎝ 0 1 1 −1

−1 2

⎞

⎟

⎠ .

4. SoitP =aX+b∈keru. Dans ce cas, on a :

0=u(P) =aX²+bX+a.

Par unicité de la décomposition d’un polynôme dans la base canonique, on trouve quea=b=0, puisP =0.

Ainsikeru= {0} donne l’injectivité deu.

Comme dimR1[X] ≠ dimR2[X], u ne peut pas être bijective, et doncu n’est pas surjective.

Exercice 3. [⋆ ⋆ ⋆] On définit l’application :

u ∶ R3[X] → M₄(R)

aX³+bX²+cX+d ↦ (b c+d d a )

1. Montrez que u est une application linéaire de R3[X] dans M₄(R).

2. Donner la matrice M de u dans les bases canoniques de R3[X] et M₄(R).

3. L’application u est-elle injective ? surjective ? bijective ? Correction :

1. Prenons deux polynômes P =aX³+bX²+cX+d et Q=eX³+f X²+gX+h. Dans ce cas, on a :

u(P+Q) = (b+f c+g+d+h d+h a+e ),

u(P+Q)= (

b c+d d a ) + (

f g+h h e ),

=u(P) +u(Q). De plus, pourλ∈R, on a :

u(λP) = (λb λc+λd

λd λa ) =λ(b c+d

d a ) =λu(P).

Donc u est une application linéaire de R3[X] dans M₄(R).

2. On a :

u(1) = (0 1

1 0) =E₁₂+E₂₁, u(X) = (0 1

0 0) =E₁₂,

u(X²) = ( 1 0

0 0) =E11, et u(X³) = ( 0 0

0 1) =E22.

Correction :

2. Ainsi la matrice M est :

M=

⎛

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

⎞

⎟

⎟⎟

⎟

⎠ .

3. En développant le déterminant par rapport à la der- nière colonne, on a :

det(M) = ∣^{0 0 1}1 1 0 1 0 0∣.

En développant par rapport à la première ligne, puis en utilisant la formule du déterminant d’une matrice 2×2, on trouve que :

det(M) = ∣^{1 1}_{1 0}∣ = −1.

Comme det(M) ≠ 0, on sait que u est injective.

Comme dimR3[X] =4= dimM₄(R), l’application u est donc surjective, et bijective.

Exercice 4. [⋆ ⋆ ⋆⋆]

Étudions l’économie d’un pays et plus particulièrement à sa gestion de deux matières premières : l’acier et le blé. On suppose que pour une année n:

◇ les entreprises fabriquent une unité de métal en utilisant1/4d’une unité de blé et 1/2 de métal de l’an passé ;

◇ il faut utiliser1/2d’une unité de blé de l’an passé (pour faire des semis, etc.) et 1/4 de la production de métal (pour créer les machines) pour produire une unité de blé.

On note X_n = ( a_n bn

) un vecteur représentant à l’année n la quantité d’acier (an) et de blé (bn) produits dans le pays.

1. Montrer que :

Xn+1=AXn,

avec :

A= 1 4 (

3 2 2 3).

2. On poseP = (^{−1 1}_{1 1}). Montrer queP est inversible et calculer son inverse.

3. Montrer que :

A=P(

1 4 0 0 ⁵₄ )P⁻¹.

4. Montrer que pour tout n, on a :

Xn=P(

1 4ⁿ 0

0 ⁵₄ⁿn

)P⁻¹X0.

Correction :

1. Sont utilisés entre les annéesnet(n+1),3/4du métal et du blé pour produire de nouvelles ressources : plus précisément ^a₂ⁿ +^b₄ⁿ de métal et ^a₄ⁿ +^b₂ⁿ de blé. Ainsi la quantité d’acier en l’an(n+1)est :

an+1=a_n−3

4a_n+a_n 2 +b_n

4 =3 4a_n+1

2b_n. De la même façon, on a :

bn+1= 1 2an+3

4bn. Ainsi on vérifie queX_n+1 =AX_n.

Correction :

2. On a detP = −2 ≠ 0. Donc P est inversible et son inverse est :

P⁻¹ = 1 2(

−1 1 1 1). 3. On vérifie l’égalité par produit matriciel.

4. Raisonnons par récurrence sur n:

◇ n=0 : Le terme de droite devientP I₂P⁻¹X₀ qui est bien égal à X0.

◇ n→ (n+1) : Supposons l’égalité vraie au rangn.

On a alors :

Xn+1=AXn=P(

1 4 0

0 ⁵₄ )P⁻¹P(

1 4ⁿ 0

0 ⁵₄ⁿn

)P⁻¹X0,

par la question précédente, et par hypothèse de ré- currence. On sait queP P⁻¹=I₂, puis par produit matriciel on obtient que :

X_n+1 =P⎛

⎝

1 4ⁿ⁺¹ 0

0 ⁵₄ⁿ⁺¹n+1

⎞

⎠

P⁻¹X₀.

D’où la propriété par récurrence pour toutn.