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Déterminer un nombre de trois chiffres sachant que


Academic year: 2022

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ISCID-CO - Prépa 2 ULCO - Dunkerque MATHÉMATIQUES Janvier 2013 - Contrôle Terminal, Semestre 1, Session 2 Durée de l’épreuve : 2h00 Documents interdits - Calculatrice autorisée.

(Les cinq exercices sont indépendants. Un soin tout particulier sera apporté à la rédaction des réponses)

Exercice 1 Un nombre de trois chiffres a, b et c peut s’écrire : abc = a×100 +b×10 + c. Par exemple,358 = 3×100 + 5×10 + 8.

Déterminer un nombre de trois chiffres sachant que : – La somme de ses chiffres est égale à 18.

– Si l’on permute le chiffre des dizaines et celui des centaines, le nombre augmente de 180.

– Si l’on permute le chiffre des unités et celui des centaines, le nombre diminue de 495.

Exercice 2 Résoudre le système suivant :

2x+y+z = 3 x+ 3y−z = −4 4x+y+ 2z = 7 1. à l’aide de la méthode du pivot de Gauss,

2. à l’aide de la méthode de Cramer,

3. en inversant la matrice du système par la méthode des cofacteurs.

Exercice 3 Déterminer le rang des matrices suivantes A=

1 −1 0 4

, B =

3 −6

−4 8



1 −1 5

−2 3 −13 3 −3 15

, D=

0 −1 0 1

−5 2 4 2

0 1 1 0

4 −1 −1 0

 .

Exercice 4 On considère les matrices :


2 0 −1 1 1 0 2 0 1

 etI =

1 0 0 0 1 0 0 0 1


1. CalculerA2 etA3.

2. Déterminer trois nombres entiersa,betc tels que :A3+aA2+bA+cI = 0.

3. En déduire que Aest inversible, et écrire son inverseA−1.

Exercice 5 SoientA etB deux matrices carrées de même ordre vérifiant les deux conditions : AB6= 0 etBA= 0. Soit également C =AB.

1. CalculerC2.

2. Est-ce queA etB sont inversibles ? 3. Si on fixe A =

1 2 2 4

, trouver toutes les matrices B vérifiant les deux conditions : AB 6= 0, et BA= 0.



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