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Soit u l’application linéaire (admis) de R

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Academic year: 2022

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(1)

UNIVERSITÉ DE BORDEAUX 2

ème

année Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2019/2020

Épisode III : Matrices

Soit u l’application linéaire (admis) de R

3

dans R

4

définie par

u(x, y, z) = ( − x + y, x − y, − x + z, − y + z).

1. Soient {E

1

, E

2

, E

3

} la base canonique de R

3

et {F

1

, F

2

, F

3

, F

4

} la base canonique de R

4

. Calculer u( E

1

), u( E

2

) et u( E

3

) en fonction de F

1

, F

2

, F

3

et F

4

.

2. Écrire la matrice de u dans les bases canoniques.

3. Montrer que {F

1

, F

2

, u( E

1

), u( E

2

) } est une base de R

4

.

4. Écrire la matrice de u dans les bases {E

1

, E

2

, E

3

} et {F

1

, F

2

, u( E

1

), u( E

2

) }.

Exercice 1

On considère l’application linéaire f de R

3

dans R

4

définie par

f (x, y, z) = (x + z, y − x, z + y, x + y + 2z).

1. Déterminer une base de Im(f ) et de ker(f ).

2. L’application f est-elle injective ? surjective ?

Exercice 2

Soit S l’ensemble des solutions du système :

 

x + y + z = 0 x + 52y + 37z = 0 31x + 1287y + 389z = 0

.

S est-il un sev de R

3

? En est-il de même pour l’ensemble des solutions de n’importe quel système linéaire ?

Exercice 3

On considère les deux matrices suivantes :

A =

 

2 3 − 4 1

5 2 1 0

3 1 − 6 7

2 4 0 1

 

B =

 

3 − 1 − 3 7

4 0 2 1

2 3 0 − 5

1 6 6 1

 

1. Calculer AB.

2. Calculer BA.

3. Calculer A

2

− B

2

. Que remarque-t-on ?

Exercice 4

Soit A =

 0 1 1 1 0 1 1 1 0

. Montrer que A

2

= A + 2I

3

. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

Exercice 5

(2)

Soit A =

 2 − 1 2 5 − 3 3

− 1 0 − 2

. Calculer (A + I

3

)

3

. En déduire que A est inversible puis déterminer A

−1

.

Exercice 6

Les systèmes suivants forment-ils des bases de R

3

? 1. S

1

= { (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) } .

2. S

2

= { (1, − 1, 0), (2, − 1, 2), (1, 0, a) } avec a réel (on discutera suivant la valeur de a).

Exercice 7

Déterminer le rang et le déterminant des matrices suivantes :

A =

 3 1 1

1 0 2

− 1 2 − 12

B =

 2 4 2 0 1 1 2 2 − 1

C =

 1 2 1

− 1 0 1 3 2 2

D =

 

2 1 3 − 1 3 − 1 2 0 1 3 4 − 2 4 − 3 1 1

 

Exercice 8

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

A =

( 7 11

− 8 4 )

B =

 1 0 6 3 4 15 5 6 21

C =

 1 0 2 3 4 5 5 6 7

D =

 1 0 − 1 2 3 5 4 1 3

E =

 

0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2

 

F =

 

0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

 

G =

 

1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 0 6 1 1 1 7

 

H =

 

a a b 0 a a 0 b c 0 a a 0 c a a

 

Exercice 9

On appelle polynôme caractéristique d’une matrice A ∈ M

n

( R ), le polynôme P

A

(X ) = det(A − XI

n

)

Déterminez le polynôme caractéristique des matrices suivantes puis en déduire leurs racines.

A =

( 2 1 1 2

)

B =

( 1 2 2 4

)

C =

( 2 1

− 1 2 )

D =

 3/2 1 1/2

0 3 0

1/2 1 3/2

E =

 3 0 1

− 1 2 − 1

1 0 3

F =

 1 − 1 0

1 1 2

− 1 1 0

Exercice 10

Références

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dydx dydx P R R P u u u u v u u u f f a r " r " " r " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

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() # # Sx 4x 12 & & yx xx () " S 1r. " " fr " r r " r " S # # # & & & ' ru " r u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u " " " OM " " " " r r r fr x + y y y y y x x x x % % ( ( % % % & ( ( ( ) $ ' " x " " " r x r "#$ " y " r y $ $ $ % ' ' ' ( + + y y y $ '

◊ remarque : en traçant plusieurs courbes “iso-surfaciques”, on peut aussi préciser que la “mesure algébrique” du gradient est d'autant plus grande que ces

du du u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u a u u u OH OM v OM v r " r r r r r r r r r r " z x y " " x y " z z " z " z d d " " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

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