EPFL 8 décembre 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 12
L'exercice 4 est à rendre le 15 décembre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit E unF-espace vectoriel de dimensionn,F unF-espace vectoriel de dimensionmet h:E →F une application linéaire de rang r. On rappelle ici que le rang de l'application linéaireh est égal à la dimension de son image,rang(h) := dim im(h).
1. Préciser comment obtenir une base(ei)ni=1 deE, et une base (fj)mj=1 de F, telles que h(ek) =fk
pour k = 1, . . . , r et h(ek) = 0 pour k > r. Quelle est la matrice de h dans un tel couple de bases ? Que peut-on en déduire sih est une application linéaire inversible ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l'application linéaire deF4dansF3 dénie (dans les bases canoniques) par : h(x1, x2, x3, x4) = (−x1+x2−x3+x4,−2x1+ 2x2 +x3−x4,−3x1+ 3x2+ 2x3−2x4).
Exercice 2. SoitA= (1 10 1)∈Mat(2,2;F). 1. CalculerAn pour n∈N.
2. SoitL∈ L(F2)l'application linéaire telle [L]B,B =A, oùBest la base canonique deF2. Dessiner l'ensembleQ={(x1, x2)∈R2|0≤x1 ≤1, 0≤x2 ≤1} et ses images L(Q) etL2(Q).
Exercice 3. Soit A =
0 1 . . . 0 ... ... ... ...
... ... 1
0 . . . 0
∈ Mat(n, n,F). En utilisant l'application linéaire associée
de L(Fn,Fn), calculer Ap pour p∈N.
Exercice 4. Soientf etg les applications de Mat(2,2,R)dans lui-même dénies par f
a b c d
=
a−d c b a−d
etg
a b c d
=
a −c
−b d
1. Montrer quef etgsont linéaires.
2. Déterminer les matrices def etg dans la base canonique de Mat(2,2,R).
3. Déterminer le noyau et l'image de f.
4. Montrer queg est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 5. 1. SoitP une matrice inversible deMat(n, n,F) etAune matrice de Mat(n, n,F). A t'onP−1AP =A? Calculer(P−1AP)p pour p∈N.
2. Soient A et B deux matrices de Mat(n, n,F) telles que I−AB soit inversible (où I désigne la matrice identité de Mat(n, n,F)). Montrer que I−BAest inversible.
(Indication : Calculer(I−BA)(I+B(I−AB)−1A).)
Exercice 6. Déterminer le nombre de solutions de chacun des systèmes suivants (sans les résoudre).
(a)
x + y + z = −1
x + 2y + 3z = 7
x + 4y + 9z = 9
(b)
2x + y + 3z = 6
x + y + 2z = 4
3x + 2y + 5z = 10 (c)
x − 3y − 2z = −2
x + 2y + 3z = 3
3x + y + 4z = 5
