Université de Marseille
Licence de Mathématiques, 3eme année, analyse numérique et optimisation Examen du 6 janvier 2016
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L’examen contient 4 exercices. Le barème est sur 31 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20. . . Exercice 1(Une méthode directe particulière, barème 4 points).
Soitn≥1,A∈Mn(IR),B ∈IRn(on rappelle queIRnest identifié àMn,1(IR)),C∈M1,netD ∈IR. On noteA¯ la matrice appartenant àMn+1(IR)définie (par blocs) par :
A¯= A B
C D
On suppose que la matriceAest inversible.
On notexBle vecteur deIRntel queAxB =B.
1. Montrer queA¯est inversible si et seulement siD−CxB6= 0.
2. On suppose maintenant queA¯est inversible. Soitb∈IRnetc∈IR.
On notexble vecteur deIRntel queAxb=b.
Montrer que la solution deAx¯ = b
c
est donnée parx= y
z
avecz= c−Cxb
D−CxB
ety=xb−zxB. Exercice 2(Convergence d’une méthode itérative, barème 9 points).
SoitA∈M3(IR)définie parA=I−E−F avec
I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
E =−
0 2 0 1 0 0 0 0 0
etF =−
0 0 0 0 0 0 1 1 0
.
1. Montrer queAest inversible.
2. Soit0< ω <2. Montrer que(Iω−E)est inversible si et seulement siω6=√ 2/2.
Pour0< ω <2,ω6=√
2/2, on considère (pour trouver la solution deAx=b) la méthode itérative suivante : (I
ω −E)x(n+1)= (F+1−ω
ω I)x(n)+b.
On noteBω= (ωI −E)−1(F+1−ωωI). (De sorte quex(n+1)=Bωx(n)+ (Iω−E)−1b.) 3. Calculer, en fonction deω, les valeurs propres deBω.
4. Donner l’ensemble des valeurs deωpour lesquelles la méthode est convergente (quelquesoitx(0)).
5. Déterminerω0∈]0,2[t.q.ρ(Bω0) = min{ρ(Bω), ω∈]0,2[,ω6=√ 2/2}.
Pour cette valeurω0, montrer que la méthode donne la solution exacte deAx=baprès un nombre fini d’itérations (quelquesoitx(0)).
Exercice 3([Sur la méthode de Newton, barème 6 points).
On suppose quef ∈C2(IR,IR)et quef est croissante. SoitN ≥1. On s’intéresse au système non linéaire suivant deNéquations àNinconnues (notéesu1, . . . , uN) :
(Au)i+αif(ui) =bi∀i∈ {1, . . . , N},
u= (u1, . . . , uN)t∈IRN, (1)
oùA∈MN(IR)est une matrice s.d.p.,αi >0pour touti∈ {1, . . . , N}etbi∈IRpour touti∈ {1, . . . , N}. On admet que (1) admet au moins une solution (ceci peut être démontré mais est difficile).
1
1. Montrer que (1) admet une unique solution.
2. Soitula solution de (1). Montrer qu’il existea >0tel que la méthode de Newton pour approcher la solution de (1) converge lorsque le point de départ de la méthode, notéu(0), vérifie|u−u(0)|< a. (On rappelle que| · |désigne la norme euclidienne dansIRN.)
Exercice 4(Optmisation avec contraintes, barème 12 points).
Soitn≥ 1,J une fonction deIRn dansIR, convexe et de classeC1 etKun ensemble convexe fermé non vide de IRn. On s’intéresse au problème d’optimisation
u∈K, J(u)≤J(v)pour toutv∈K. (2)
1. Soitu∈K. Montrer queuest solution de (2) si seulement si∇J(u)·(v−u)≥0pour toutv∈K.
[Pour le sens direct, on pourra remarquer queu+t(v−u)∈Kpour toutv∈Kett∈[0,1].]
Soitp≥1,C∈Mp,n(IR)etd∈Im(C). Pour la suite de l’exercice, on prendK={v∈IRn;Cv=d}. 2. Montrer queKest un ensemble convexe fermé non vide.
3. Soitu ∈ K. Montrer queuest solution de (2) si seulement si∇J(u)·w = 0pour toutw ∈ Ker(C)(c’est-à- dire∇J(u)∈(Ker(C))⊥).
4.(a) Montrer queIm(Ct)⊂(Ker(C))⊥(c’est-à-dire quev·w= 0pour toutv∈Im(Ct)etw∈Ker(C)).
(b) Montrer queIm(Ct) = (Ker(C))⊥.
[On rappelle que siFest un sous espace vectoriel deIRn, on aF⊕F⊥= IRn.]
5. Déduire des deux questions précédentes queuest solution de (2) si seulement si il existeλ∈IRptel que
∇J(u) +Ctλ= 0, (3)
Cu=d. (4)
6. On suppose maintenant querang(C) = pet queJ(v) = 12Av·v−b·vavecA ∈ Mn(IR)symétrique définie positive etb ∈ IRn. Montrer que (3)-(4) est un système linéaire den+péquations àn+pinconnues ayant une unique solution.
2