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On suppose maintenant queA¯est inversible

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Université de Marseille

Licence de Mathématiques, 3eme année, analyse numérique et optimisation Examen du 6 janvier 2016

Le polycopié du cours, les notes de cours et les notes de TD sont autorisés.

L’examen contient 4 exercices. Le barème est sur 31 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20. . . Exercice 1(Une méthode directe particulière, barème 4 points).

Soitn≥1,A∈Mn(IR),B ∈IRn(on rappelle queIRnest identifié àMn,1(IR)),C∈M1,netD ∈IR. On noteA¯ la matrice appartenant àMn+1(IR)définie (par blocs) par :

A¯= A B

C D

On suppose que la matriceAest inversible.

On notexBle vecteur deIRntel queAxB =B.

1. Montrer queA¯est inversible si et seulement siDCxB6= 0.

2. On suppose maintenant queA¯est inversible. Soitb∈IRnetc∈IR.

On notexble vecteur deIRntel queAxb=b.

Montrer que la solution deAx¯ = b

c

est donnée parx= y

z

avecz= cCxb

DCxB

ety=xbzxB. Exercice 2(Convergence d’une méthode itérative, barème 9 points).

SoitAM3(IR)définie parA=IEF avec

I=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

E =−

0 2 0 1 0 0 0 0 0

 etF =−

0 0 0 0 0 0 1 1 0

.

1. Montrer queAest inversible.

2. Soit0< ω <2. Montrer que(IωE)est inversible si et seulement siω6=√ 2/2.

Pour0< ω <2,ω6=√

2/2, on considère (pour trouver la solution deAx=b) la méthode itérative suivante : (I

ωE)x(n+1)= (F+1−ω

ω I)x(n)+b.

On noteBω= (ωIE)−1(F+1ωωI). (De sorte quex(n+1)=Bωx(n)+ (IωE)−1b.) 3. Calculer, en fonction deω, les valeurs propres deBω.

4. Donner l’ensemble des valeurs deωpour lesquelles la méthode est convergente (quelquesoitx(0)).

5. Déterminerω0∈]0,2[t.q.ρ(Bω0) = min{ρ(Bω), ω∈]0,2[,ω6=√ 2/2}.

Pour cette valeurω0, montrer que la méthode donne la solution exacte deAx=baprès un nombre fini d’itérations (quelquesoitx(0)).

Exercice 3([Sur la méthode de Newton, barème 6 points).

On suppose quefC2(IR,IR)et quef est croissante. SoitN ≥1. On s’intéresse au système non linéaire suivant deNéquations àNinconnues (notéesu1, . . . , uN) :

(Au)i+αif(ui) =bii∈ {1, . . . , N},

u= (u1, . . . , uN)t∈IRN, (1)

AMN(IR)est une matrice s.d.p.,αi >0pour touti∈ {1, . . . , N}etbi∈IRpour touti∈ {1, . . . , N}. On admet que (1) admet au moins une solution (ceci peut être démontré mais est difficile).

1

(2)

1. Montrer que (1) admet une unique solution.

2. Soitula solution de (1). Montrer qu’il existea >0tel que la méthode de Newton pour approcher la solution de (1) converge lorsque le point de départ de la méthode, notéu(0), vérifie|uu(0)|< a. (On rappelle que| · |désigne la norme euclidienne dansIRN.)

Exercice 4(Optmisation avec contraintes, barème 12 points).

Soitn≥ 1,J une fonction deIRn dansIR, convexe et de classeC1 etKun ensemble convexe fermé non vide de IRn. On s’intéresse au problème d’optimisation

uK, J(u)J(v)pour toutvK. (2)

1. SoituK. Montrer queuest solution de (2) si seulement si∇J(u)·(v−u)≥0pour toutvK.

[Pour le sens direct, on pourra remarquer queu+t(vu)Kpour toutvKett∈[0,1].]

Soitp≥1,C∈Mp,n(IR)etd∈Im(C). Pour la suite de l’exercice, on prendK={v∈IRn;Cv=d}. 2. Montrer queKest un ensemble convexe fermé non vide.

3. SoituK. Montrer queuest solution de (2) si seulement si∇J(u)·w = 0pour toutw ∈ Ker(C)(c’est-à- dire∇J(u)∈(Ker(C))).

4.(a) Montrer queIm(Ct)⊂(Ker(C))(c’est-à-dire quev·w= 0pour toutv∈Im(Ct)etw∈Ker(C)).

(b) Montrer queIm(Ct) = (Ker(C)).

[On rappelle que siFest un sous espace vectoriel deIRn, on aFF= IRn.]

5. Déduire des deux questions précédentes queuest solution de (2) si seulement si il existeλ∈IRptel que

J(u) +Ctλ= 0, (3)

Cu=d. (4)

6. On suppose maintenant querang(C) = pet queJ(v) = 12Av·vb·vavecA ∈ Mn(IR)symétrique définie positive etb ∈ IRn. Montrer que (3)-(4) est un système linéaire den+péquations àn+pinconnues ayant une unique solution.

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