Notes du cours de Mathématiques

LA REUNION

LYCEE ROLAND GARROS Classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques

2019-2020

Math Sup Bio: BCPST1

Notes du cours de Mathématiques

semestre 1

laurentgautret.sitew.fr

Sources non exhaustives:

Lyc. Le Fresne S. Amri 2017, Lycée Leconte de Lisle LG 2017, Sesamath, Exo7, Cycles préparatoires aux INP

2020-2021

La place des mathématiques dans la formation scientifique en BCPST (extrait des programmes 2013)

L’objectifdel’enseignementdesmathématiques enBCPSTestdouble.

D’une part il contribue à l’approfondissement de la culture scientifique générale en donnant aux étudiants un accès à quelques domaines fondamentaux (algèbre linéaire, analyse, probabilités). La pratique du raisonnement mathématique concourt ici comme ailleursà laformation del’espritd’un futurscientifique; larigueurduraisonnement,l’es- prit critique, le contrôle et l’analyse des hypothèses, le sens de l’observation et celui de la déduction trouvent en mathématiques un champd’action où ils seront cultivés de manière spécifique.

D’autre part, il contribue à fournir des représentations et un langage dont les autres disciplines scientifiques étudiées dans ces classes et au-delà sont demandeuses ou uti- lisatrices. De là l’importance d’une cohérence et d’une coordination aussi bonnes que possible entre les diverses disciplines : il importe d’éviter les redondances tout en souli- gnant les points communs, de limiter les divergences ou ambigüités dues à la diversité des points de vue possibles sur unmême objet tout en enrichissant l’enseignement par cettemêmediversité.

L’objectif n’est pas de former des professionnels des mathématiques, mais des per- sonnes capables d’utiliser des outils mathématiques dans diverses situations, et éven- tuellement capables de dialoguer avec des mathématiciens dans le cadre de leur futur métier.

Les travaux dirigés sont le moment privilégié de la mise en œuvre, et de la prise en main par les élèves des techniques classiques et bien délimitées inscrites dans le corpsdu programme.Cette maitrises’acquiert notamment grâce àdes exercices variés.

Le temps des travaux dirigés se prête également à l’expérimentation numérique, à la découverte et à lapratiquedes algorithmes,soit au moyendes calculatricessoit en lien avecl’enseignementd’informatique.

Lacoopérationdesenseignantsd’unemêmeclasseoud’une mêmedisciplineet,plus largement, celledel’ensembledesenseignantsd’uncursus donné,doitcontribuer de fa- çon efficace et cohérente à laqualité de cesinteractions, notamment dans le cadredes travauxd’initiativepersonnelleencadrés(TIPE).Ilimporteaussiquelecontenuculturelet historiquedesmathématiquesnesoitpassacrifiéauprofitdelaseuletechnicité.Enparti- culier,ilpourras’avérerpertinentd’analyserl’interactionentreunproblèmespécifiqueet laconstruction,pourlerésoudre,d’outilsconceptuelsqui,prisensuiteparlesmathémati- ciens comme objetsd’étude,ont puultérieurementservir au traitementd’autres classes de problèmes.

2

Pourquoi des études scientifiques ?

« La Nature est un livre écrit en langage Mathématique¹ ». Galilée

Actuellement nos connaissances, par exemple celles concernant la matière et l’Univers, sont fondées sur des théories, c’est-à-dire des modèles qui nous permettent d’expliquer ce que nous observons (on parle d’ «observables »). Les théories nouvelles permettent parfois de prédire ce que nous n’avons encore jamais observé voire ce qui nous paraissait impossible d’après notre

« conscience collective» basée sur les théories antérieures. Par exemple le fait que la trajectoire de la lumière puisse être courbée par la présence de matière ne peut être compris par la théorie Newtonienne de la gravitation. C’est la théorie de la Relativité Générale qui a offert un nouveau cadre théorique permettant de comprendre ce phénomène (Théorie formulée par Einstein en 1916 et mise en évidence par Eddington lors de l’éclipse solaire de 1919). Elle a aussi permis de prévoir l’existence des ondes gravitationnelles qui viennent d’être découvertes en 2015, 100 ans après leur prédiction par Einstein !

Cette nouvelle théorie ne signifie pas que l’ancienne (la théorie Newtonienne) est fausse, mais plutôt que son domaine d’application est restreint : on continuera à utiliser la théorie Newtonienne pour modéliser la dynamique de la matière qui nous entoure. Par contre dès lors que la technologie moderne nécessite un niveau de précision « fin » (par exemple systèmes de positionnement GPS par satellite) ou que le domaine d’investigation est propre à la nouvelle théorie (par exemple le déchiffrage à venir des signaux portés par les ondes gravitationnelles pour comprendre on l’espère les phénomènes physiques propres aux trous noirs, ou aux tous premiers instants de notre Univers), seule l’utilisation de la théorie de la Relativité Générale est efficiente…

… Avant qu’on se rende compte de son incapacité à expliquer certains nouveaux phénomènes physiques et qu’elle doive à son tour être remplacée par une nouvelle théorie qui sera confrontée à de nouvelles observables…et ainsi de suite…

Notre « conscience collective scientifique » progresse ainsi, pas seulement dans le domaine de l’astronomie, mais dans tous les domaines scientifiques. Depuis Descartes au moins, c’est cette démarche scientifique qui définit le mieux la spécificité de notre civilisation contemporaine. Les grandes réalisations technologiques induites par ces théories successives et les changements qu’elles opèrent sur notre mode de vie sont des vecteurs de démocratisation de la conscience scientifique acquise par nos sociétés. Actuellement par exemple, près de 50% du PIB des pays industrialisés est dû aux technologies basées sur la théorie de la physique quantique (semi-conducteurs, puces, ordinateurs, téléphones, technologie du nucléaire, lasers, applications médicales …).

1 Citation in extenso de Galilée : "La philosophie est écrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux (je veux dire l'Univers), et on ne peut le comprendre si d'abord on n'apprend pas à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquelles il est humainement impossible d'en comprendre un seul mot, sans lesquels on erre vraiment dans un labyrinthe obscur".

Et pourtant qui connaît ne serait-ce que les principes fondateurs de la physique quantique, qui datent de plus d’un siècle ? Certainement moins de 0,1% de la population de ces mêmes pays industrialisés. Dans ce domaine des sciences comme dans beaucoup d’autres, la démocratisation des technologies est beaucoup plus rapide que la démocratisation des connaissances, qui nécessite une formation scientifique supérieure de qualité et une maîtrise du langage mathématique, a minima celui qui est enseigné en Classes Préparatoires scientifiques.

Sciences de la nature et du vivant : pourquoi des Maths ?

Comprendre les formes et la dynamique du vivant nécessite des outils mathématiques élaborés. Les exemples sont innombrables : structure de l’ADN, arbres phylogénétiques et combinatoire génétique, topologie des molécules complexes et des virus, morphogénèse et équations de Turing pour expliquer les formes et les couleurs du vivant (rayures sur les coquillages, taches du léopard, forme de nos doigts, …) , fractales, suite de Fibonacci et nombre d’or pour modéliser la croissance de certaines plantes (phyllotaxie et biologie végétale), équations différentielles (par exemple modèle de Lotka-Volterra) pour simuler la dynamique des populations et des écosystèmes, intelligence artificielle (algorithmes génétiques, réseaux de neurones) pour reproduire des mécanismes d’adaptation, de création de complexité et d’intelligence …

Plus que jamais les passerelles entre les différentes sciences (Biologie, Mathématiques, Physique, Chimie, Informatique...) créent de la connaissance nouvelle indispensable pour aborder les défis systémiques propres au XXIème siècle: Adaptation de l’humain à la nature (changements climatiques, préservation de l’équilibre environnemental, gestions des ressources eau-alimentation- énergie-déchets aux échelles locales et planétaires) et révolution technologique et culturelle en cours impulsée par l’intelligence artificielle qui combine les savoirs des algorithmes, des réseaux, des neurosciences et de la biologie .

La formation multidisciplinaire BCPST est en ce sens ultra-pertinente et moderne !

Parmi ces passerelles, celles entre mathématiques/informatique, physique théorique et biologie sont particulièrement intéressantes et contemporaines, y compris dans la recherche fondamentale. Elles ont tendance à élargir les champs des « sciences du vivant » voire à redéfinir la notion de « vie ».

Depuis une cinquantaine d’années et en particulier dans les domaines fondamentaux de la Physique des particules et de la Cosmologie, le langage mathématique dont parlait Galilée a pris une place structurante. D’un outil d’écriture de la théorie physique il est petit à petit devenu un outil « porteur de sens ». Ainsi, la découverte et même la prédiction des particules élémentaires qui composent la matière reposent sur des théories quantiques formulant mathématiquement ce qu’est la matière : pour faire « simple », la réalité se définit comme étant ce qui est invariant par des symétries élémentaires de l’espace-temps. Le concept de Symétrie et d’invariance est au cœur des mathématiques, comme il est au cœur de la description contemporaine du réel.

En parallèle des avancées de la Cosmologie par la passerelle Mathématiques/Physique théorique, Alan Turing lançait les bases d’un rapprochement fécond entre informatique et biologie. Ses travaux sur la morphogénèse (moins connus que ceux sur le décryptage des codes nazis) sont les précurseurs

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de nombreux axes de recherche contemporains: les automates cellulaires (dont le fameux jeu de la vie) ou comment un « code simple » permet de créer des mécanismes capables de complexité, de mouvement, d’auto-organisation voire d'auto-reproduction et d’adaptation, la théorie de l’information intégrée (cf les travaux de G. Tononi sur l’IIT) ou comment modéliser une forme de

« structure de conscience » par des réseaux de portes logiques. Ces deux exemples tendent à un élargissement des concepts de vie et de conscience bien au-delà du « monde du vivant » tels que nous les représentons aujourd’hui. Les concepts de « conscience », de « mesure observable » et d’interaction entre « observateur et phénomène observé » sont des fondements admis de la physique quantique. Leur compréhension, à l’interface entre mathématique, physique théorique et neurosciences, sera probablement un pilier des connaissances de demain (voire après-demain !).

D’autre part les modélisations mathématiques de type graphe ou réseaux de neurones (ou de spins, ou de portes logiques) sont en train de prendre une place prépondérante dans de nombreuses disciplines théoriques : citons par exemple les tentatives récentes de grande unification des lois de la nature par la théorie des boucles qui ont des similitudes avec les approches de modélisation du réel abordées par les neurosciences, l’intelligence artificielle et l’IIT.

A notre époque nous ne connaissons qu’environ 10% des espèces vivantes de notre planète et sans doute moins en considérant la diversité du phytoplancton. D’autre part nous découvrons chaque semaine de nouveaux mondes extrasolaires qui vont probablement tôt ou tard révéler d’autres formes de vie (leur étude a priori s’appelle l’exobiologie) . D’autre part la xénobiologie est une sous- discipline naissante de la biologie synthétique qui vise la mise au point de formes de vie étrangères, du point de vue métabolique, à celles qui sont connues sur Terre. Bref la vie possède et possédera bien des formes nouvelles. Cependant il se peut que ce soit le concept même de vie qui doive être élargi : par exemple à des processus de types réseaux ou autres capables de générer de la complexité, de l’interaction, de l’intelligence, de la reproduction, de l’adaptation, voire des

« concepts conscients ». Citons deux exemples probablement un peu précurseurs et donc controversés:

L'hypothèse Gaïa, appelée également hypothèse biogéochimique, est une hypothèse scientifique initialement avancée par l'écologue anglais James Lovelock en 1970, mais également évoquée par d'autres scientifiques avant lui, selon laquelle la Terre serait « un système physiologique dynamique qui inclut la biosphère et maintient notre planète depuis plus de trois milliards d'années en harmonie avec la vie ».

L’hypothèse des Bio-Univers : dans son livre The Life of the Cosmos, Lee Smolin propose d'appliquer la sélection naturelle à la cosmologie, de sorte que l'univers que nous connaissons serait le résultat de l'évolution par mutation d'univers plus anciens. C'est la théorie des univers féconds. Les graines d’Univers étant les trous noirs. Les Univers les plus féconds seraient ceux capables de produire de nombreux trous noirs et par là-même la matière que nous connaissons et la vie.

Et la prépa dans tout ça !

En conclusion, Mathématiques et sciences du vivant sont au cœur d’un processus de développement de la conscience collective qui est le sens même de notre civilisation scientifique. Il se pourrait même que dans les décennies à venir le phénomène de la conscience puisse être lui-même modélisé en langage mathématique. S’engager dans une formation scientifique dans le Supérieur cela revient à croire et à participer à cette aventure de la Conscience portée par notre civilisation : c’est donc un engagement à la fois scientifique et humaniste. C’est accepter de s’investir dans les moyens technologiques innovants permettant l’adaptation durable de nos sociétés humaines à la Nature au sens large et au vivre ensemble. C’est participer à l’Exploration au sens noble et historique du terme : l’horizon à franchir étant celui de notre conscience collective.

La CPGE n’est donc pas seulement un temps de préparation aux concours. C’est le lieu pour renforcer ou acquérir les valeurs propres à cet engagement dans un projet de société : honnêteté, rigueur et défis intellectuels, coopération (j’insiste sur le fait que le travail en groupe en CPGE est un élément déterminant d’efficacité et de « soupape ») et bien sûr travail, détermination, travail ….

Bon courage …

Laurent Gautret

Alan Turing (1912-1954) et la morphogenèse : précurseur de l’informatique et des passerelles contemporaines entre

Mathématiques, Biologie et Intelligence artificielle.

1953 : Les photos de diffraction par rayon X réalisées par Rosalind Franklin et Maurice Wilkins ont permis à James Watson et Francis Crick de découvrir la structure en double hélide de l’ADN.

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SOMMAIRE

819 2939 5060 6162 6975 7778 8185 98115 116123 125 1) Logique et ensembles

2) Nombres réels 3) Trigonométrie 4) Nombres complexes 5) Sommes et produits

Formulaire sur les coefficients binomiaux Formulaire sur les sommes

6) Généralités sur les fonctions numériques Fiche sur les fonctions usuelles

Formulaire de dérivées usuelles 7) Outils pour la physique

Rappels sur les primitives

Equations différentielles linéaires à coefficients constants 8) Vocabulaire des applications

9) Suites réelles usuelles Formulaire sur les suites 10)Systèmes d'équations linéaires

Exemple d'application du Pivot de Gauss 11) Matrices

12) Statistiques 141

13) Dénombrement 151

Formulaire sur le dénombrement 170

14) Introduction aux probabilités 171

15) Polynômes 183

16) Limites d'une fonction 191

17) Continuité des fonctions numériques 205

Outils

Chapitre 1 : Vocabulaire de la logique et des ensembles

1 Logique

1.1 Notion de propriété

Définition 1. Une propriété est un énoncé mathématique dont on peut dire sans ambiguité s’il est vrai ou faux.

En mathématiques, on travaille tout le temps avec des propriétés qui peuvent être vraies ou fausses.

Exemples :

P1 : ln est strictement croissante sur R^+?. P₂ : 2 < 1.

P3: est un entier.

P₄: sin est une fonction paire.

Une propriété peut dépendre de paramètres, on parle alors de prédicat.

Exemples : P1(x) : x 1. P₂(z) : jzj = 1.

Remarque : Paradoxe du menteur. L’énoncé suivant : «P : (P est fausse) » n’est pas une propriété, car on ne peut affirmer si elle est vraie ou fausse (si elle vraie, alors elle est fausse, et vice-versa). On impose donc qu’une propriété ne peut pas parler d’elle-même.

1.2 Opérateurs logiques

Il existe 5 opérateurs logiques qui permettent de créer de nouvelles propriétés.

NON P qui se note : P¯

P OU Q

P ET Q

P =) Q qui se litP implique Q. P () Q qui se litP équivaut àQ.

¶

SiP est vraie alorsP est fausse.

SiP est fausse alorsP est vraie.

P P

V F

F V

Exemples :

NON (x = 1) : (x 6= 1) NON (x > 0) : (x 0)

NON (f est croissante) : . . . .

Page 1/11 ⁸

·

P OUQest vraie si P est vraie ou Qest vraie.

Sinon elle est fausse.

P Q P OUQ

V V

F V

V F

F F

Exemples :

(la fonction ln est croissante) ou (la fonctionsin est paire) est vraie.

(3<0) ou ( est un entier) est . . . . (la fonction sin est impaire) ou (la fonction cos est paire) est . . . .

¸

P ETQest vraie si P est vraie etQ est vraie.

Sinon elle est fausse.

P Q P ETQ

V V

F V

V F

F F

Exemples :

(la fonction ln est croissante) et (la fonctionsin est paire) est fausse.

(la fonction exp est croissante) et (2>1) est . . . . (x < 1) et(x 3) est . . . .

¹

P =) Qest vraie si Qest vraie dès queP est vraie.

Sinon elle est fausse.

P Q P =) Q

V V

F V

V F

F F

Remarque : Lorsque P =) Q, on dit que P est une condition suffisante pour Q, ou que Q est une condition nécessaire pour P.

Exemples :

(a = b) =) (a²= b²) est vraie.

(a² = b²) =) (a = b) est fausse (preuve : . . . ) (jxj = jyj) =) (x = y) . . . . (x y) =) (x² y²) . . . .

º

P () Qest vraie siP implique Qet si Qimplique P. Sinon elle est fausse.

P Q P () Q

V V

F V

V F

F F

Remarque : Lorsque P () Q, on dit que P est une condition nécessaire et suffisante pour Q (et inversement).

Exemples :

(x = 1) () (x²= 1) est fausse (preuve : . . . ) (x = y) () (e^x= e^y) est vraie (preuve : . . . ) (cos (x) = cos (y)) () (x = y) est fausse (preuve : . . . ) (x² = 1) () jxj = 1 est . . . . 1.3 Règles de composition

Propriété 1. Avec les opérateurs ET et OU : NON (P OU Q) = (P ET Q)

NON (P ET Q) = (P OU Q)

P ET (Q OU R) = (P ET Q) OU (P ET R) P OU (Q ET R) = (P OU Q) ET (P OU R)

Exemple : Donner la négation de l’affirmation « Fromage OU Dessert ».

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2 Méthodes de démonstration

2.1 Méthodes pour montrer une implication : P =) Q Méthode directe

On suppose que P est vraie.

On fait un raisonnement afin de montrer qu’alorsQest vraie.

On conclut : P ) Q.

Supposons queP est vérifiée.

. . . . . . . . . . . . DoncQest aussi vérifiée.

Conclusion : On a bien démontréP ) Q.

Exemple : Montrer que8n 2N^?;

n 2 ) n + 1 n 2

.

Méthode par contraposée

On suppose que nonQest vérifiée.

On fait un raisonnement afin de montrer qu’alors nonP est vraie.

Montrons par contraposée queP ) Q. Supposons queQ est vérifiée.

. . . . . . . . . . . . DoncP est aussi vérifiée.

Conclusion : Par contraposée, on a ainsi démontré queP ) Q. Exemple : Montrer que :8n 2N; n² pair) n pair.

Méthode par l’absurde

On part volontairement de l’hypothèse fausse P etQ sont vraies.

On déroule le raisonnement jusqu’à abou- tir à une contradiction qui remet alors en cause l’hypothèse initiale, d’oùP implique Q.

Montrons par l’absurde queP ) Q. Supposons queP et Q sont vérifiées.

. . . . . . . . . . . . Contradiction.

Conclusion : Par l’absurde, on a ainsi démontré queP ) Q.

Exemple : Montrer que :8x 2R;

x 2Z) x +1 2 =2Z

.

Contre-exemple pour montrer qu’une implication est fausse On cherche un élément

qui vérifie P sans vérifierQ,

ainsiQn’étant pas vraie dès queP l’est, on a montré que P 6) Q.

Montrons quex vérifieP : . . . . Montrons quex vérifie nonQ : . . . . Conclusion : Grâce à ce contre-exemple, on a démon- tré queP 6) Q.

Exemple : A-t-on pour toutx réel, (e^2ix= 1) ) (x = )?

2.2 Méthodes pour montrer une équivalence : P () Q

Directement

Par le calcul en procédant par équivalence grâce à des opérations qui conservent l’équivalence (composition par ln, exp, division par un réel non nul,...).

Exemple : Montrer que(4x(x 1) = 1) () (x = ¹₂).

Par double implication

On utilise les méthodes sur l’implication pour montrer : On prouve que P =) Q;

puis que Q =) P.

Montrons queP =) Q: . . . . Montrons queQ =) P : . . . . Conclusion : Par double implication, on a démontré queP () Q.

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Exemple : Soitz 2C. Montrer que :(z = z) () (z 2 iR).

2.3 Le principe de récurrence

Il faut absolument penser à la récurrence lorsque :

Vous devez démontrer une propriété sur l’ensemble N. On vous donne le résultat à démontrer.

La relation à démontrer n’est pas elle même une relation type récurrence à savoir un lien entre un rang et le rang d’après (une telle relation permettant ensuite un raisonnement par récurrence mais ne pouvant jamais se montrer par récurrence).

Toute rédaction non identique à celle qui suit donnera 0 à la question...

Le principe de récurrence simple

On définit clairement la propriété à démontrer :

Montrons par récurrence sur l’entiern n₀, la propriétéP(n) : :::::.

Initialisation :pour n = n0 : On vérifie que P(n₀) est vraie.

Hérédité :

Soit n n0 fixé. On suppose la propriété vraie à l’ordre n. Montrons qu’alorsP(n + 1) est vraie.

N’oubliez pas de signaler l’endroit où vous utilisez l’hypothèse de récurrence.

Conclusion :

Il résulte du principe de récurrence que :8n n0; P(n).

Exemple : (A ne pas chercher) Démontrer que pour toutn 2N: ^Xn

k=0

k² = n(n + 1)(2n + 1)

6 .

Exercice1 : Montrer que pour toutn 1: Xn k=1

1

k(k + 1)(k + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2).

Le principe de récurrence double

Il faut penser à la récurrence double lorsque l’on connaît une relation entre un rangnet les deux rangs précédents n 1etn 2.

On définit clairement la propriété à démontrer :

Montrons par récurrence double sur l’entiern n₀, la propriétéP(n) : :::::

Initialisation :pour n = n₀ etn = n₀+ 1 On vérifie que P(n0) etP(n0+ 1)sont vraies.

Hérédité

Soit n n₀ fixé. On suppose les propriétés P(n)etP(n + 1) vraies.

Montrons qu’alorsP(n + 2) est vraie.

N’oubliez pas de signaler l’endroit où vous utilisez les deux hypothèses de récurrence.

Conclusion :

Il résulte du principe de récurrence double que :8n n0; P(n).

Exemple : On définit une suite(un)n2N par :u0= 2,u1= 5 et pour tout n 2N:un+2 = 5un+1 6un. Vérifier que, pour toutn 2N, on a :u_n= 2ⁿ+ 3ⁿ.

Le principe de récurrence aveck prédeccesseurs

On définit clairement la propriété à démontrer :

Montrons par récurrence sur l’entiern n0, la propriétéP(n) : :::::

Initialisation :pour n = n0 etn = n0+ 1

On vérifie que P(n₀),P(n₀+ 1),..., P(n₀+ k 1)sont vraies.

Hérédité

Soit n n0 fixé. On suppose les propriétés P(n),...,P(n + k 1) vraies.

Montrons qu’alorsP(n + k) est vraie.

N’oubliez pas de signaler l’endroit où vous utilisez les khypothèses de récurrence.

Conclusion :

Il résulte du principe de récurrence double que :8n n₀; P(n).

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3 Ensembles et logique

3.1 Définitions, notations des ensembles Notion d’appartenance

Soit E un ensemble. On note :

x 2 E si x appartient à l’ensembleE. x =2 E si x n’appartient pas à l’ensembleE.

Notations des ensembles

¶

N: l’ensemble des entiers naturels (positifs ou nuls).

Z: l’ensemble des entiers relatifs (positifs, nuls ou négatifs).

Q : l’ensemble des rationnels (qui peuvent se mettre sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs).

R: l’ensemble des réels.

C: l’ensemble des complexes.

NZQRC

On en verra beaucoup d’autres cette année.

·

Il ne contient aucun élément. ;

¸

L’ensembleE contenant uniquement les élémentsa,betc se note fa; b; cg L’ensemble ne contenant que l’élémenta se notefag et s’appelle singleton a.

¹

L’ensemble desx 2 E vérifiantP (x)se note : fx 2 E; P (x)g Exemples :

U= fz 2C; jzj = 1g D = fz 2C; Re(z) > 0g.

? fx 2R; 0 < x < 7g =]0; 7[

? fx 2R; 1 xg =. . . . 3.2 Les quantificateurs

Définition

Définition 2. Soit E un ensemble et P (x) une propriété.

8 se lit “quelque soit”.

Si P (x) est vraie pour tout x 2 E, on écrit : 8x 2 E; P (x). 9 se lit “il existe”.

Si P (x) est vraie pour au moins un x 2 E, on écrit : 9x 2 E; P (x). 9! se lit “il existe un unique”.

Si P (x) est vraie pour un unique élément x 2 E, on écrit : 9!x 2 E; P (x).

Exemples : Exprimer les énoncés suivants à l’aide de quantificateurs :

Il existe un réel strictement négatif dont le carré est strictement positif : . . . .

La fonctionf est majorée surI : . . . . La suite (u_n)_n2N est stationnaire (c’est-à-dire constante à partir d’un certain rang) : . . . . Règles d’utilisation

¶

8x 2R⁺; x³ 0 est vraie mais8x; x³ 0 est fausse...

·

Il est FAUX d’écrire : P (x); 8x 2 E ou P (x); 9x 2 E ou encore P (x); 9!x 2 E. Il FAUT écrire : 8x 2 E; P (x) ou 9x 2 E; P (x) ou encore 9!x 2 E; P (x).

¸

Propriété 2. Soit E un ensemble et P (x) une propriété.

[NON ( 8x 2 E; P (x) )] est . . . . [NON ( 9x 2 E; P (x) )] est . . . .

¹

L’ordre des quantificateurs n’est pas important lorsqu’ils sont de même nature : 8x 2 E; 8x⁰ 2 E⁰; P (x; x⁰) () 8x⁰ 2 E⁰; 8x 2 E; P (x; x⁰) 9x 2 E; 9x⁰ 2 E⁰; P (x; x⁰) () 9x⁰ 2 E⁰; 9x 2 E; P (x; x⁰):

9!x 2 E; 9!x⁰ 2 E⁰; P (x; x⁰) () 9!x⁰2 E⁰; 9!x 2 E; P (x; x⁰):

Si ils sont de nature différente, leur ordre est important et on ne peut pas modifier cet ordre : Exemple :

P : 8x 2R; 9y 2R; y > x: vraie car quelque soit un réelx on peut toujours trouver un autre réel y plus grand.

Q :9y 2R; 8x 2R; y > x : fausse car il n’existe pas de réely plus grand que tous les autres (n’importe quel réelx).

Méthode pour montrer :8x 2 E; P (x)

On prend un élément x quelconque de l’ensemble sur lequel on souhaite prouver la proposition.

On raisonne pas à pas pour aboutir à la propriété P (x).

Celle-ci est donc prouvée pour tout élément dans E car l’élément choisi pour effectuer le raisonnement est quelconque.

Soit x 2 E.

. . . . . . . . Donc P (x).

Conclusion :8x 2 E; P (x).

Exemple : SoitD = fz 2 C; Re(z) > 0g. Montrer que : 8z 2 D; z 2 D.

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4 Opérations sur les ensembles

4.1 Inclusion d’ensembles Définition

Définition 3. Soient E et F deux ensembles.

E est inclus dans F si : 8x 2 E; x 2 F.

On note E F.

Remarque : Ne pas confondre inclusion et appartenance 2: le premier relève du vocabulaire

ensembliste (un ensemble inclus dans un autre), pour le second c’est l’appartenance d’un élément à un ensemble (on ne compare plus deux ensembles entre eux).

Méthode pour montrer une inclusion d’ensembles :A B

On prend un élément x quelconque dansA.

On déroule le raisonnement pour montrer qu’il appar- tient aussi à B.

Soit x 2 A.

. . . . . . . . Donc x 2 B.

Conclusion : On a ainsi démontré que A B.

4.2 Égalité d’ensembles Définition

Définition 4. Soient E et F deux ensembles.

E et F sont égaux si tout élément de l’un est aussi dans l’autre.

E = F () E F etF E.

Méthode pour montrer une égalité d’ensembles Montrer queE = F : par double inclusion.

Montrer queE F comme ci-dessus.

Montrer queF E comme ci-dessus.

4.3 Union, intersection, complémentaire Définition

Définition 5. Soient E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. Union de ces deux ensembles : A [ B = fx 2 A; y 2 Bg.

Intersection de ces deux ensembles : A \ B = fx 2 A et x 2 Bg Si A \ B = ;, on dit que A et B sont disjoints.

Le complémentaire de A dans E : CE(A) = fx 2 E et x =2 Ag

A n B = fx 2 A et x =2 Bg, on dit “A privé de B”, notée aussi A B.

Exercice2 :

On définitE =R,A = ]0; 1],B =i₁ 2; 2i

etC =h 4; 12

i

. Calculer A [ B,A [ B [ C,A \ B,A \ C,A \ B \ C,CE(A),C[0;1](A), A n B,B n C etA n C.

On définitE =R,A = ] 1; 3] [ [1; +1[,B = ] 1; 1][ ]2; +1[etC =Rn f 4; 3g. CalculerA [ B [ CetA \ B \ C.

Propriétés

Propriété 3. Soient A; B; C des sous-ensembles d’un ensemble E. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Propriété 4. Lois de Morgan.

Soient A et B des sous-ensembles d’un ensemble E.

A [ B = A \ B A \ B = A [ B

4.4 Ensemble des parties d’un ensemble Définition 6. Ensemble des parties d’un ensemble :

On note P(E) : l’ensemble des parties de l’ensemble E.

C’est l’ensemble qui contient tous les ensembles que l’on peut obtenir avec des éléments de E.

Exemples :

SiE = fa; b; cgalorsP(E) = f;; fag; fbg; fcg; fa; bg; fa; cg; fb; cg; Eg

SiE = fagalors P(E) =. . . .

4.5 Produit cartésien d’ensembles Définition 7. Soient E et F deux ensembles.

E F représente le produit cartésien de E avec F, c’est-à-dire, l’ensemble de tous les couples de la forme (x; y) avec x dans E et y dans F.

Ainsi, E F = f(x; y); x 2 E et y 2 F g. Si E = F, on note E².

Exemples :

R²= f(x; y); x 2Rety 2Rg

SiE = F = [0; 1]alors E² =. . . . SiE = f0; 1getF = f2; 3galorsE F =. . . . Un facteur sanguin est un couple constitué d’un groupe sanguin et d’un rhésus (par exempleO ).

L’ensemble des facteurs sanguins peut s’écrire fO; A; B; ABg f+; g. Définition 8. Généralisation à plusieurs ensembles :

Soient E₁; E₂; : : : ; E_n des ensembles.

E1 E2 En = f(x1; x2; :::; xn); x1 2 E1; x2 2 E2; :::; xn 2 Eng. Les éléments de cet ensemble sont des “n-uplets”.

E E_{| {z }}

n fois

est noté Eⁿ.

Exemples :

R³=. . . .

Page 11/11 ¹⁸

Outils

Chapitre 2 : Nombres réels

1 Définitions

1.1 Une relation d’ordre sur R

Sur R, il existe un ordre qui permet de comparer deux nombres réels, c’est-à-dire de savoir lequel est supérieur ou égal à l’autre.

Définition 1. Ordre sur R :

x > y () . . . . x < y () . . . . x y () . . . . x y () . . . .

Remarque : Sur C . . . . Définition 2. Intervalle de R : ce sont les ensembles de la forme

[a; b] = . . . . ]a; b] = . . . . [a; b[ = . . . . ]a; b[ = . . . . [a; +1[ = . . . . ]a; +1[ = . . . . ] 1; b] = . . . . ] 1; b[ = . . . . ] 1; +1[ = . . . . où a et b sont deux réels quelconques.

Remarques :

L’intervalle vide est noté;. Pour tout réel a, on a : ]a; a[= ;.

Un intervalle fermé borné, du type[a; b], est appelé . . . . Les seuls intervalles qui sont à la fois fermés et ouverts sont . . . . 1.2 Quelques fonctions à bien connaître

Valeur absolue

Définition 3. La valeur absolue de x est définie par jxj =

( x si x 0

x sinon.

Remarques :

Pour deux nombresx ety, la valeur jx yjcorrespond à . . . . On a toujoursjxj 0.

De plus, on a jxj = 0 , : : : : : : : : : Propriété 1. Soient (x; y) 2R². On a :

jxyj = : : : : : : : : :, et pour y 6= 0, x y

= : : : : : : : : :

Inégalité triangulaire : jx + yj : : : : : : : : : Preuve :

Exercice1 : Montrer que l’on a, pour tout(x; y) 2R²,min(x; y) = x + y jx yj

2 etmax(x; y) = x + y + jx yj

2 .

Propriété 2. Intervalles et valeur absolue. Soit a 2R et " > 0. Pour tout x 2R, on a : jx aj < " , a " < x < a + " , x 2 ]a "; a + "[:

Remarque : En particulier, on a jxj < " , : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : , : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :. Partie entière

Définition 4. Soit x 2 R. La partie entière de x, notée bxc ou E(x) est l’unique entier n 2Z vérifiant :

Remarque : La partie entière est ainsi caractérisée par : Exemple : On a bc = : : : : : :,b2c = : : : : : :,b 1:2c = : : : : : :

Exercice2 : Montrer que l’on a, pour toutx 2R, l’inégalité suivante :x 1 < bxc x.

Fonctions puissances

Définition 5. Soit x 2R et n 2Z^?. On définit la fonction puissance en posant xⁿ =

Remarque : Par convention, on posex⁰= : : : : : :pour toutx 6= 0, et0ⁿ= : : : : : :pour toutn 2Z^?. Remarquons que 0⁰ n’est donc pas défini ! La plupart du temps, on posera0⁰= 1.

Page 2/10 ²⁰

Propriété 3. Pour tout (x; y) 2R², non nuls si besoin, on a (xy)ⁿ= : : : : : : : : : : : :

x^n+m= : : : : : : : : : : : : et xⁿ

x^m = : : : : : : : : : : : : (xⁿ)^m= : : : : : : : : : : : :

Propriété 4. Inégalités remarquables. Pour tout (a; b) 2R², on a (a + b)² = : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(a b)² = : : : : : : : : : : : : : : : : : : a² b² = : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(a + b)³ = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : (a b)³ = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a³ b³ = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a³+ b³ = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Exercice3 : Montrer que pour tout(x; y) 2R², on ajxyj 12(x²+ y²).

Fonction racine

Définition 6. Pour tout x 2R⁺, il existe un unique y 2R⁺ tel que y² = x.

Ce nombre est appelé racine carrée de x, et est noté p x.

Propriété 5. Pour tout (x; y) 2 (R)², positifs ou non nuls si besoin, on a pxy = : : : : : : : : : : : : et

rx

y = : : : : : : : : : : : : (p

x)²= : : : : : : : : : : : : et p

x² = : : : : : : : : : : : :

2 Manipulation d’inégalités

2.1 Opérations sur les inégalités

¶

Propriété 6. Soit (x; y; z) 2R³.

Si : x y et y z alors : . . . .

·

Propriété 7. Inégalités et addition : Addition d’un même terme :

8(x; y; z) 2R³ : x y (). . . . Addition des inégalités :

8(x; x⁰; y; y⁰) 2R⁴; x y x⁰ y⁰

)

=)

Ajouter (ou soustraire) des deux côtés un même terme conserve l’équivalence.

¸

Propriété 8. Inégalités et multiplication : 8(x; y) 2R²; x y ,

Multiplier (ou diviser) des deux côtés par un même terme non nul conserve l’équivalence :

? sans changer le sens s’il est strictement positif,

? en inversant le sens s’il est strictement négatif.

¹

? a b + c

d =

? a + b c =

? a b c

d =

? ^ab_c

d = On n’a aucune propriété pour simplifier : a

b + c. En particulier : . . . . Propriété 9.

0 < x y , x y < 0 ,

Passer à l’inverse si les deux termes sont de même signe conserve l’équivalence.

. . . .

¹

Opérations avec les inégalités qui conservent l’équivalence : Ajouter (ou soustraire) des deux côtés un même terme.

Multiplier (ou diviser) des deux côtés par un même terme non nul :

? sans changer le sens de l’inégalité s’il est strictement positif,

? en inversant le sens de l’inégalité s’il est strictement négatif.

2.2 Composition d’égalités et d’inégalités par une fonction strictement monotone Soit f une fonction définie surI R.

On a TOUJOURS :8(a; b) 2 I²; a = b =). . . Mais on PERD L’ÉQUIVALENCE.

Pour conserver l’équivalence, il faut composer par une fonction strictement monotone sur I. Propriété 10. Pour tout (a; b) 2 I² :

a = b =) f(a) = f(b) si f est . . . . a b =) f(a) f(b) si f est . . . . a b =) f(a) f(b) si f est . . . .

Exemples :

Page 4/10 ²²

3 Résolution d’équations et d’inéquations par équivalences successives

3.1 Donner le domaine de résolution

Avant toute transformation, on détermine l’ensemble des x tels que l’ (in)équation a un sens.

Y penser en particulier avec : . . . . 3.2 Résolution des équations et inéquations de type polynomiale

¶

x .

Signe de ax + b .

1

. b

a .

+1 ..

0 .

Exercice4 : Résoudre dansRet selon les valeurs du paramètrem 2R, l’inéquation :m(x 2) > 3m(3x + 4).

·

CAS 1 : > 0:

? Racines : . . . .

? Signe :..

x .

Signe de ax²+ bx + c .

1 .

+1

? Factorisation : . . . . CAS 2 : = 0:

? Racines : . . . .

? Signe :..

x .

Le signe de ax²+ bx + c .

1 .

+1

? Factorisation : . . . . CAS 3 : < 0:

? Racines : . . . .

? Signe :..

x .

Le signe de ax²+ bx + c .

1 .

+1

? Factorisation : . . . .

_ Synthèse :

Exercice5 : Résoudre selon les valeurs dem 2R:(m + 2)x² 2mx + 2m + 3 = 0et(m + 2)x² 2mx + 2m + 3 < 0.

¸

. . . . . . . . . . . .

Exercice6 : Résoudre surRles équations ou inéquations suivantes : (a) x⁴ x < 0

(b) x⁴+ x³ 7x² 13x 6 > 0.

(c) x³ 2x² 9x + 18 0 (d) x⁴ 3x² 4 = 0

3.3 Résolution des équations et inéquations avec des produits et des quotients

On passe tout du même côté.

On met tout sur le même dénominateur.

On factorise.

Équation :

? AB = 0 () A = 0ou B = 0.

? A

B = 0 () A = 0avec B 6= 0. Inéquation :

Tableau de signe pour chaque facteur au numérateur et au dénominateur.

Exercice7 : Résoudre surRles équations et inéquations suivantes :

Page 6/10 ²⁴

1. x(x + 2) = 2x(3x 4) 2. 1 x⁴ 0

3. (3x 1)(x + 2) > (2 6x)(4x + 3) 4. x(2x + 1)² 2x 1 0

5. 9 x²+ (x + 3)(4x + 5) x² 9 6x > 0

6. 2

x+ 4x + 4 > 1 7. 2x²+ 3x 10

x³+ 7x² 14x + 8 0

8. 2x

4x² 1 2x + 1 4x² 4x + 1

3.4 Transformer les équations et inéquations pour se ramener à des équations et inéquations de type polynomiale

Lorsque l’équation ou l’inéquation n’est pas de type polynomiale (c’est-à-dire avec uniquement des puissances de x au numérateur et au dénominateur), on la transforme pour ne plus avoir ni logarithme, ni exponentielle, ni racine carrée, ni valeur absolue... On récapitule ici les différentes méthodes que l’on peut utiliser.

¶

ln (ab) = ln

a b

= ln (a^p) =

La fonction logarithme est . . . .

Propriétés de l’exponentielle : e^ae^b=

e^a e^b = (e^a)^b=

La fonction exponentielle est . . . .

Exercice8 : Résoudre surRles équations et inéquations suivantes : 1. ln (p

x + 1) < ln (3 + x) 1 2ln (2) 2. ln (2x + 1) ln (x 3) 0 3. 9^x 5^x+2= 5^x 3^2x+1 4. 2^x+3< 4^{2 x}

5. e^2x+1 e^{x 3} = e

6. (e e^2x)(e^x 1) > 0 7. e^{x 1x+3} > e²

8. e^x+1e^{3x 4}> 1

·

Propriété 11. Soit (a; b) 2R².

a = b =) a² = b² est vrai . . . . a = b () a²= b² est vrai . . . . a b () a² b² est vrai . . . . a b () a² b² est vrai . . . .

On n’élève jamais au carré sans précaution !

Exercice9 : Résoudre surRles équations et inéquations suivantes : 1. p

x + 7 = 5 x 2. p

x²+ 2x < x + 1 3. p

2x 1 +p

x 1 5

4. p

2x² x 1 > x 1 2 5.

r6x 11 3x 2 1

x

¸

Poser un changement de variable de type X = e^x,X = ln (x),X = a^x,X =p x...

pour faire apparaître des termes de type polynomiaux.

Exercice10 : Résoudre surRles équations et inéquations suivantes : 1. e^x+ e^x+1> e^2x+ e

2. (ln x)² 3 ln x 4 0 3. xp

x 4x p

x + 4 > 0 4. e^3x e^2x e^x+1+ e 0.

5. e^x 1 e^x e² < 1e²

6. 2^4x 3 2^2x+1+ 2³< 0 7. p

9^x 1 > 3^x 2

¹

Méthode avec les valeurs absolues : . . . .

Pour enlever une valeur absolue, il faut connaître le signe de ce qui est à l’intérieur.

=)Étude de cas selon le signe de ce qui est à l’intérieur de la valeur absolue.

Exercice11 : Résoudre surRles équations et inéquations suivantes : 1. j x 1j + 4 = j2x + 1j 5x + 1

2. j3 xj > jx + 2j

3. jx 1j + jx + 2j < 3 4. jx² 2x 5j > x 7

Page 8/10 ²⁶

4 Résolution d’inéquations par une étude de fonction

Si on nous demande de vérifier qu’une inéquation est vraie pour tout x dans un certain ensemble et que l’on n’y arrive pas par inégalités successives, on peut essayer d’étudier les variations d’une fonction bien choisie.

Pour montrer que :8x 2 D; f(x) g(x): On définit surD :h(x) = f(x) g(x).

On étudie les variations dehsurDet on en déduit le signe dehen vérifiant qu’il est bien toujours négatif sur D.

On conclut.

Exercice12 :

Montrer que pour toutx 2R:e^x 1 + x. Montrer que pour toutx > 1 : ln (1 + x) x Montrer que pour toutx 2R⁺ :sin x x Montrer que pour toutx 2 [0; 1[: x

1 x ln (1 x) x.

5 Maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure

5.1 Ensembles majorés, minorés, bornés

Définition 7. Soit A un sous-ensemble de R. Ensemble majoré :

? A est un ensemble majoré si : . . . .

? . . . .

Ensemble minoré :

? A est un ensemble minoré si : . . . .

? . . . . Ensemble borné :

A est un ensemble borné si : . . . .

Exercice13 :

1. Donner la négation d’un ensemble majoré puis d’un ensemble borné.

2. Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il est majoré, minoré, borné. Et donner lorsque cela a un sens l’ensemble des majorants et des minorants :

A1= [1; 2[

B1=] 1; 1]

C1=]2; +1[

NetZ D = f2; 4; 6; 9g E = f0; 1g [ [2; 3[

5.2 Maximum, minimum d’un ensemble

Définition 8. Soit A un sous-ensemble de R.

A admet un maximum (ou plus grand élément) si : . . . . . . . . A admet un minimum (ou plus petit élément) si : . . . . . . . .

Remarques :

1. Lien avec les majorants et minorants :

Le maximum . . . . Le minimum . . . . 2. Il existe des ensembles majorés qui n’admettent pas de maximum. Exemple : . . . . Il existe des ensembles minorés qui n’admettent pas de minimum. Exemple : . . . . 3. S’il existe, le maximum (respectivement le minimum) d’un ensemble A est . . . .

Exercice14 : Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il admet un maximum et/ou un minimum : A1 = [1; 2[,A2=]1; 2[,A3=]1; 2],A4= [1; 2].

B1=] 1; 1],B2 =] 1; 1[

C1=]2; +1[,C2= [2; +1[

NetZ D = f2; 4; 6; 9g E = f0; 1g [ [2; 3[

5.3 Borne supérieure, borne inférieure d’un ensemble

La notion de maximum est insuffisante pour traduire la notion de frontière supérieure d’un ensemble. En effet, [0; 1[n’a pas de maximum, pour autant, 1 joue un rôle particulier pour cet ensemble. On définit donc la notion de borne supérieure (respectivement borne inférieure) qui généralise celle de maximum (respectivement minimum).

Définition 9. Soit A un sous ensemble de R. On suppose que A est majoré.

? M est la borne supérieure de A si : (

? . . . . On suppose que A est minoré.

? M est la borne inférieure de A si : (

? . . . .

Remarques :

1. Lien avec les majorants et minorants :

La borne supérieure . . . . La borne inférieure . . . . 2. Bien comprendre la différence entre maximum et borne supérieure, minimum et borne inférieure :

SiM = max (A)(respectivement m = min (A)) alors . . . . . . . .

Théorème 1. Toute partie non vide majorée de R possède une borne supérieure et toute partie non vide minorée de R possède une borne inférieure.

Exercice15 : Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il admet un maximum, un minimum, une borne supérieure, une borne inférieure :

A1 = [1; 2[,A2= ]1; 2[,A3= ]1; 2],A4= [1; 2].

B1= ] 1; 1],B2= ] 1; 1[

C1= ]2; +1[,C2= [2; +1[

NetZ

D = f2; 4; 6; 9g E = f0; 1g [ [2; 3[

F =n

x 2R^+?; 1 + 1x o

Page 10/10 ²⁸

Outils

Chapitre 3 : Trigonométrie

1 Définitions et propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

1.1 Définitions Définitions

Soit (O;!i ;!j ) un repère orthonormé du plan. Soit C le cercle unité, à savoir le cercle de centreO et de rayon 1.

Soit un réel etM le point deC tel que soit une mesure de l’angle(!i ;OM)! . On définit le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle par :

cos ()est sin () est tan () =

1 m

o

c

Conséquences directes : cos ()

sin () 1.2 Premières propriétés

Valeurs remarquables

x 0

6

4

3

2

sin (x) cos (x) tan (x)

C

O

Exercice1 : Donner la valeur des nombres suivants :

x 0 2

3

5 6

4 3

3 2

11 sin (x) 6

cos (x) tan (x)

Relations entre le cosinus, le sinus et la tangente

¶

Preuve :

·

Angles associés

cos ( x)= sin ( x)= tan ( x)=

cos ( + x)= sin ( + x)= tan ( + x)=

cos ( x)= sin ( x)= tan ( x)=

cos (₂ + x)= sin (₂ + x)= tan (₂ + x)= cos (₂ x)= sin (₂ x)= tan (₂ x)=

1.3 Formulaire de trigonométrie

Addition des angles

cos (a + b) = sin (a + b) =

cos (a b) = sin (a b) =

tan (a + b) =

Page 2/10 ³⁰

Duplication des angles cos (2a) =

= () cos²(a) =

= () sin²(a) =

sin (2a) =

Preuve :

Transformation de produits en sommes cos a cos b =

sin a sin b = sin a cos b =

Preuve :

Transformation de sommes en produits cos p + cos q =

cos p cos q = sin p + sin q = sin p sin q =

2 Résolution des équations trigonométriques

2.1 Résolution des équations fondamentales : cos (x) =a; sin (x) =a; tan (x) =a Résolution decos (x) = a

Propriété 1. Soit a 2 [ 1; 1]. Il existe alors un unique angle dans [0; ] tel que . . . . On note alors . . . . Valeurs particulières :

a arccos a

a

Exercice2 : Résoudre surRles équations trigonométriques suivantes :cos (x) = 2,cos (x) = 1,cos (x) = 0,cos (x) = ¹₂,cos (x) = 1, cos (x) = ^p₂².

Notons S l’ensemble des solutions de l’équationcos (x) = a,a 2R. Si a > 1ou a < 1; S =

Si a = 1; S =

Si a = 1; S =

Si 1 < a < 1; S =

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[0; 2[ :cos (3x) = 1 2.

Exercice3 : Résoudre surRpuis sur[0; 2[ :cos (2x) = ^p₂³ etcos (x) = ⁷₈ et représenter à chaque fois les solutions sur le cercle trigonométrique.

Résolution desin (x) = a

Page 4/10 ³²

Propriété 2. Soit a 2 [ 1; 1]. Il existe alors un unique angle dans

2; 2

tel que . . . . On note alors . . . . Valeurs particulières :

a arcsin a

a

Exercice4 : Résoudre surRles équations trigonométriques suivantes :sin (x) = 6,sin (x) = 1,sin (x) = 0,sin (x) = ¹₂,sin (x) = 1, sin (x) = ^p₂².

Notons S l’ensemble des solutions de l’équationsin (x) = a,a 2R. Si a > 1ou a < 1; S =

Si a = 1; S =

Si a = 1; S =

Si 1 < a < 1; S =

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[ ; [:sin (3x) = p3

2 .

Exercice5 : Résoudre sur Rpuis sur [ ; [: sin (4x) = ¹₂ etsin (x) = ¹₅ et représenter à chaque fois les solutions sur le cercle trigonométrique.

Résolution detan (x) = a

Propriété 3. Soit a 2R. Il existe alors un unique angle dans

2; 2

tel que . . . . On note alors . . . . Valeurs particulières :

a

arctan a ^a

Exercice 6 : Résoudre sur R les équations trigonométriques suivantes : tan (x) = 1, tan (x) = 0, tan (x) = 1, tan (x) = p 3, tan (x) = ^p1₃.

Notons S l’ensemble des solutions de l’équationtan (x) = a,a 2R.

S =

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[ ; [:tan (^x₂) = ^p1₃.

Exercice7 : Résoudre surR puis sur[ ; [ :tan (3x) = 1 ettan(x) = 2et représenter à chaque fois les solutions sur le cercle trigonométrique.

2.2 Résolution des autres équations Méthode générale :

. . . .

Page 6/10 ³⁴

Équation de typea cos (x) + b sin (x) = c, avec (a; b) 2 (R^?)²

Le but est de factoriser l’expression pour faire apparaître un seul cosinus. Pour cela, on utilise la propriété suivante.

Propriété 4. Soit (; ) 2R² tel que ²+ ² = 1. Il existe alors un angle ' dans R tel que : 8<

: Preuve :

Méthode : mettrea cos (x) + b sin (x)sous la forme r cos(x ').

. . . . . . . . a cos (x) + b sin (x) = . . . . . . . . a cos (x) + b sin (x) = . . . .

Remarque : En physique, cette méthode permet de déterminer l’amplitude et la phase d’un signal défini comme la somme de deux signaux.

Exemple : Factoriserp

3 cos (x) + sin (x).

Méthode : résoudrea cos (x) + b sin (x) = c.

. . . . . . . .

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[0; [ :p

3 cos (x) + sin (x) =p 2.

Exercice8 : Résoudre surRpuis sur[0; [les équations suivantes :cos (x) sin (x) =p₃

2 etcos (2x) +p

3 sin (2x) = p 2.

Équation où le cosinus, sinus ou la tangente peuvent être prise comme variable

Il s’agit des équations où l’on peut poser le changement de variable X = cos (x)ou X = sin (x)ou X = tan (x). . . . .

. . . . . . . .

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[0; 2[ l’équation :2 cos²(x) + cos(x) 1 = 0.

Exercice9 : Résoudre surRpuis sur[0; 2[les équations suivantes :4 cos²(x) 2(p 3 +p

2) cos (x) +p

6 = 0,tan³(x) p

3 tan²(x) tan (x) +p

3 = 0et2 sin²(x) + 5 cos (x) 4 = 0.

Autres types d’équation

Lorsqu’on est dans aucun des cas précédents, on utilise les formules trigonométriques pour se ramener à une équation factorisée dont chaque terme est une équation fondamentale.

Exemple : Résoudre sur Rpuis sur[ ; [:1 + cos (x) + cos (2x) + cos (3x) = 0.

Exercice10 : Résoudre surRpuis sur[ ; [:cos (2x) + cos (x) = sin (2x) + sin (x).

Page 8/10 ³⁶