1 Vocabulaire de la théorie des probabilités
1.1 Expérience aléatoire, univers
Expérience aléatoire
Pour étudier des phénomènes, on est amené à effectuer des expériences. Certains phénomènes sont régis par des lois déterministes : l’issue de l’expérience est alors parfaitement prévue.
Exemples : . . . . Pour d’autres phénomènes, on ne peut pas prédire de manière certaine le résultat de l’expérience. On dit alors que l’expérience est aléatoire.
Exemples : . . . . Univers
Définition 1. Univers d’une expérience aléatoire :
L’univers d’une expérience aléatoire correspond à . . . . Il est en général noté . . . .
Un élément de cet ensemble est appelé . . . . Exemples
Remarque : Dans tous les exemples précédents, l’univers de l’expérience aléatoire est un ensemble fini. Seuls les univers finis sont au programme de première année. Vous verrez en deuxième année des univers infinis.
Notations :
Les éléments desont en général notés . . . .
Siest un ensemble fini de cardinal n, on pose souvent . . . .
1.2 Événements Définition
Un événement est une propriété rattachée à l’expérience aléatoire et qui peut être vérifiée ou non.
Exemple : Un joueur lance deux dés discernables.
Un événement possible est par exemple . . . . Un autre événement possible est par exemple . . . . Définition 2. Événement :
Un événement est . . . . . . . . Dans le cas où est fini, on considère que tout sous-ensemble de . . . .
. . . . Le couple (; P()) avec fini est appelé . . . . . . . .
Exercice1 : On prélève trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Donner plusieurs exemples d’événements.
Traduction du vocabulaire sur les ensembles en terme de vocabulaire probabiliste
Un événement est ainsi un sous-ensemble de. Tout ce que l’on a vu au début de l’année sur les ensembles peut se traduire en terme d’événements avec le vocabulaire des probabilités.
Vocabulaire des ensembles Vocabulaire des probabilités Notation L’ensemble en entier
L’ensemble vide Un élément de Un singleton de Un sous-ensemble de Le complémentaire de la partie A La partie A est incluse dans la partieB
L’intersection de deux parties Aet B La réunion de deux parties A etB Les ensemblesA etB sont disjoints
L’ensemble des parties de
Exercice2 : On lance deux dés à 6 faces et on regarde les résultats donnés par ces dés. On considère les événements suivants : E1 : « aucun dé ne donne 3 ».
E2 : « la somme fait moins de 13 ».
E3 : « la somme fait 3 ».
E4 : « l’un des dés donne 5 ou 6 ».
E5 : « la somme fait 5 ou plus ».
E6 : « la somme fait 4 ou moins ».
E7 : « l’un des dés donne 4 ».
E8 : « la somme fait 1 ».
E9 : « l’un des dés donne un résultat supérieur ou égal à 5 et aucun dé ne donne 4 ».
E10 : « l’un des dés donne 3 et la somme fait 5 ou plus ».
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Exemple d’événement certain : . . . .
On a déjà vu cette notion dans le cours sur les ensembles. On le retraduit ici dans le vocabulaire des probabilités.
Définition 3. Soit (; P()) un espace probabilisable fini.
On appelle système complet d’événement, toute famille finie A1; : : : ; An d’événements telle que . . . . . . . . Exemples :
Pour tout événementA 2 P(), . . . .
Pour tout univers fini = fw1; : : : ; wng, . . . .
Exercice4 : On prélève 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. Donner plusieurs exemples de systèmes complets d’évenements :
. . . .
Lorsque l’on s’intéresse à une expérience aléatoire, on se pose des questions comme : quelle chance a-t-on d’obtenir l’événementA? On associe donc à chaque événement un nombreP (A)appelé sa probabilité qui permet de mesurer cela.
Définition 4. Soit (; P()) un espace probabilisable fini.
On appelle probabilité, toute application de . . . . qui vérifie les propriétés suivantes :
? . . . .
? . . . .
Le triplet (; P(); P ) est appelé . . . . Toute probabilité est à valeurs dans [0; 1]. Ainsi, si on trouve comme résultat d’une probabilité un nombre soit supérieur strict à 1, soit strictement négatif, on sait qu’un tel résultat est faux.
Exemples :
Donner l’espace probabilisé fini associé à l’expérience aléatoire “lancer une pièce de monnaie équilibrée” :
Donner l’espace probabilisé fini associé à l’expérience aléatoire “lancer une pièce de monnaie truquée dont le côté face a deux fois plus de chance d’être le résultat obtenu” :
Donner l’espace probabilisé fini associé à l’expérience aléatoire “lancer un dé équilibré’’ :
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Propriétés
Propriété 1. Propriétés de base : P (;) =. . . .
P () =. . . .
Pour tout événement A, P (A) 2. . . . Pour tout événement A, P (A) =. . . . Preuve :
Propriété 2. Inclusion :
Pour tout couple d’événements vérifiant A B : . . . . Preuve :
Propriété 3. Union :
Cas d’évenements deux à deux incompatibles :
Pour toute famille finie A1; : : : ; An d’évenements deux à deux incompatibles :
. . . . Cas d’évenements quelconques :
? Cas de deux événements quelconques : . . . .
? Cas de trois événements quelconques :
. . . . Remarque : On peut généraliser cette formule à n événements quelconques. La formule obtenue est appelée formule du crible, ou formule de Poincaré, et est similaire à la formule vue dans le chapitre du dénombrement.
Propriété 4. Formule des probabilités totales :
Pour tout système complet d’événements (A1; : : : ; An) et pour tout événement B :
. . . . Cas particulier : Pour tous événements A et B : P (B) =. . . . Preuve :
1.4 Exemples classiques de probabilité
Définition d’une probabilité par les probabilités des événements élémentaires
Soit(; P())un espace probabilisable fini avec = fw1; w2; : : : ; wng. Une probabilitéP sur cet espace probabi-lisable est alors entièrement déterminée par la connaissance des probabilités des événements élémentaires, à savoir par la donnée de tous lesP (fwig)pour touti 2 [[1; n]].
Propriété 5. Soient n 2N? et = f!1; : : : ; !ng, et soient (pi)i2[[1;n]] des réels vérifiant : . . . .
. . . .
Il existe alors une unique probabilité P sur (; P()) telle que pour tout i 2 [[1; n]] P (f!ig) = pi. Exemples :
Modélisation d’un lancer de dé non truqué :
Modélisation d’un lancer d’une pièce de monnaie truquée :
Modélisation d’un lancer de dé truqué :
On lance un dé truqué. On suppose que la probabilité d’obtenirk 2 [[1; 6]] est proportionnelle à k.
Déterminer la probabilité de chaque évenement élémentaire puis la probabilité d’obtenir un nombre pair.
Probabilité uniforme
Propriété 6. Probabilité uniforme :
Sur tout espace probabilisable (; P()) où est un ensemble fini non vide de cardinaln, il existe une unique probabilité P prenant la même valeur sur tous les événements élémentaires.
Si = fw1; w2; : : : ; wng alors pour touti 2 [[1; n]], P (fwig) =. . . . Pour tout événement A, P (A) =. . . . Cette probabilité est appelée . . . sur .
Lien avec le dénombrement
Lorsque l’on munit l’univers fini de la probabilité uniforme, les calculs de probabilité se ramènent en fait à des calculs de dénombrement : pour calculer la probabilité d’un événement il “suffit” de dénnombrer les éléments qui le constituent ainsi que toutes les éventualités possibles et de faire le rapport du premier sur le second (démarche intuitive valable dans ce cas).
Remarque :
Lorsque l’on munit l’univers finide la probabilité uniforme, les calculs de probabilité se ramènent en fait à des calculs de dénombrement.
Le texte de l’exercice nous dit quand il faut munir l’univers de cette probabilité.
Les mots . . . . sont des indices de probabilité uniforme.
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Exercice5 :
1. D’un jeu de 52 cartes, 5 cartes sont distribuées à un joueur.
Quelle est la probabilité que ce joueur ait en main exactement trois cartes de carreau ?
Quelle est la probabilité que ce joueur ait en main au moins une paire, à savoir deux cartes de même valeur.
2. On considère une urne contenant 5 boules blanches, 4 boules noires et 3 boules rouges.
(a) On tire simultanément trois boules dans l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules de la même couleur ? Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur ?
(b) On tire successivement trois boules dans l’urne en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage.
Répondre aux mêmes questions que dans le premier cas.
(c) On tire trois boules successivement dans l’urne sans remettre la boule après chaque tirage.
Répondre aux mêmes questions que dans le premier cas.
Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée le soit au troisième tirage ? Quelle est la probabilité que la deuxième boule blanche tirée le soit au troisième tirage ?
3. Soientnpersonnes allant ensemble au cinéma et se pla¸ant ainsi sur une même rangée. Quelle est la probabilité pour que Roméo soit à côté de Juliette ?
2 Probabilité conditionnelle
2.1 Définition
Propriété 7. Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini.
Soit B un événement fixé tel que P (B) 6= 0. L’application PB définie par :
. . . . Définition 5. Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini.
Soit B un événement fixé tel que P (B) 6= 0.
On appelle PB . . . . Pour tout événement A, PB(A) est . . . . . . . .
La notation P (AjB)peut être dangereuse car elle peut laisser penser qu’il existe un événement AjB dont on calculerait la probabilité. Or C’EST FAUX. Il n’existe pas d’événement conditionnel, c’est juste une notation, il n’existe que des probabilités conditionnelles.
L’existence de toute probabilité conditionnelle doit être justifiée. Avant de pouvoir utiliser PB, il faut avoir vérifié queP (B) 6= 0.
Remarques : Puisque PB est une probabilité, elle possède toutes les propriétés des probabilités. En particulier, on a donc par exemple :
. . . . . . . . . . . . 2.2 Formule des probabilités composées
Probabilité d’une intersection
Propriété 8. Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini. Pour tous événements A et B, on a
Si P (A) 6= 0 : P (A \ B) =. . . . Si P (B) 6= 0: P (A \ B) =. . . . Preuve :
Exercice6 : Une urne contient initialement 4 boules blanches et 2 boules noires. On tire une boule. On la remet dans l’urne avec une boule de la même couleur. On procède à un deuxième tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires ?
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Formule des probabilités composées : probabilité de plusieurs intersections On peut généraliser cette formule à l’intersection de n événements.
Propriété 9. Soient (; P(); P ) un espace probabilisé fini et n un entier naturel, n 2. Pour toute famille finie d’événements (A1; A2; : : : ; An) vérifiant P (A1\ \ An 1) 6= 0, on a :
. . . . Preuve :
Exercice 7 : Une urne contient n boules dont b blanches et r rouges, indiscernables au toucher avec r 5. On tire 4 boules successivement et sans remise de cette urne. Quelle est la probabilité que les 4 boules tirées soient rouges ?
Méthode
Penser à cette formule lorsque les 3 conditions suivantes sont vérifiées : On doit calculer la probabilité d’une intersection
L’expérience aléatoire comporte plusieurs étapes
Le résultat final dépend des résultats des étapes précédentes : phénomène évolutif.
2.3 Interprétation de la formule des probabilités totales
Cas particulier où on considère(A; A)comme système complet d’évenements Propriété 10. Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini.
Soient A et B deux évenements. Si on a . . . , alors : P (B) =. . . . Preuve :
Exercice8 : Une compagnie d’assurance estime que ses clients se divisent en deux catégories : les clients enclins aux accidents représentant20%de la population et ceux qui ont peu d’accidents. Pour la première catégorie, la probabilité d’avoir au moins un accident par an est 0.5 ; pour la deuxième catégorie, cette probabilité est 0.1.
Quelle est la probabilité qu’un nouvel assuré soit victime d’un accident pendant l’année qui suit la signature de son contrat ? Exercice9 : Le fonctionnement d’un appareil au cours du temps obéit aux règles suivantes :
Si l’appareil fonctionne à la daten 1(n 2N?), il a la probabilitéade fonctionner à la daten Si l’appareil est en panne à la daten 1(n 2N?), il a la probabilitébd’être en panne à la daten
avec(a; b) un couple de réels de]0; 1[. Pour n 2N, on note Mn l’événement l’appareil est en état de marche à la date n etpn la probabilité deMn. Quelle est la valeur depn en supposant que l’appareil est en état de marche à la date 0 ?
Cas général
On peut généraliser cette formule à tout système complet d’événements.
Propriété 11. Interprétation de la formule des probabilités totales avec des probabilités conditionnelles.
Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini,(A1; : : : ; An) un système complet d’événements et B un évene-ment. Si on a . . . , alors :
P (B) =. . . . Preuve :
Exercice10 : Soitnun entier naturel non nul. Une urneUcontient des jetons numérotés : 1 jeton numéroté 1, 2 jetons numérotés 2, . . . , n jetons numérotés n. On dispose de plus denurnes numérotées de 1 àn. L’urneicontientiboules blanches etn iboules noires. On tire un jeton dansU : si le jeton tiré porte le numéroi, alors on prélève une boule dans l’urnei.
Quelle est la probabilité que la boule prélevée soit blanche ?
Exercice11 : Un commerçant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an.
Pour chaque plante, la première année, la probabilité de donner une fleur rose est de 3
4, celle de donner une fleur blanche est de 1 4. Puis, les années suivantes, pour tout entier naturelnnon nul :
si l’annéen, la plante a donné une fleur rose, alors l’annéen + 1, elle donnera une fleur rose.
si l’annéen, la plante a donné une fleur blanche, alors l’annéen + 1elle donnera de façon équiprobable une fleur rose ou une fleur blanche.
On notepn la probabilité de l’événementla plante a donné une fleur rose l’annéen.
1. Montrer que :8n 1; pn+1= 12pn+ 12.
2. En déduire l’expression depnen fonction den. Calculer la limite de la suite(pn)n2N?.
Méthode
Penser à cette formule lorsque les 3 conditions suivantes sont vérifiées : L’expérience aléatoire comporte plusieurs étapes
Le résultat d’une étape dépend des résultats des étapes précédentes On connaît un sce pour une étape fixée
2.4 Formule de Bayes
Formule de Bayes
Propriété 12. Soit (; P(); P ) un espace probabilisé fini, etA et B deux évenements.
Si . . . , alors PB(A) =. . . .
Preuve :
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Exercice12 : Lors d’une interrogation, un étudiant se trouve face à une question dontmréponses possibles sont proposées et une seule est correcte. Soit l’étudiant connaît la réponse à la question, soit il choisit au hasard la réponse parmi lesmproposées. La probabilité que cet étudiant connaisse la réponse à la question estpavecpréel de]0; 1[.
Sachant que l’étudiant a répondu correctement à la question posée, quelle est la probabilité qu’il ait répondu en connaissant la bonne réponse ?
Méthode
Cette formule permet de remonter le temps. Si on veut calculer PB(A) alors que l’événement B s’est en fait produit après l’événementA, la formule nous permet le calcul en utilisant la probabilitéPA(B), qui, elle respecte la chronologie. Y penser dès que l’on veut vous faire calculerPB(A)avec B postérieur à A.
Penser à cette formule lorsqu’il y a inversion de chronologie.
2.5 Arbre de probabilité
On illustre souvent les probabilités conditionnelles à l’aide d’arbres de probabilité appelés aussi arbres pondérés.
Le schéma suivant indique comment on utilise un tel arbre.
Exercice13 : On considère une urne contenant quatre boules blanches et trois boules noires. On tire une à une et sans remise trois boule de l’urne. Construire l’arbre correspondant à cette expérience aléatoire. Quel est la probabilité de l’événement : « on tire deux boules noires » ?
3 Notion d’indépendance
3.1 Deux événements indépendants
Définition 6. Deux événements A et B de l’espace probabilisé fini (; P(); P )sont indépendants si : . . . . Propriété 13. Deux événements A et B de l’espace probabilisé (; P(); P ) tel que P (A) 6= 0 sont indépendants si et seulement si :
. . . .
Preuve :
Remarque : Si P (A) 6= 0, les événements A et B sont indépendants si la probabilité de B et la probabilité de B sachant A sont égales : la réalisation ou pas de l’événement A n’influe en rien sur celle de B. La notion d’indépendance vise à modéliser cette abscence d’influence de la réalisation de l’un des événement sur celle de l’autre.
Exercice14 : On lance deux dés équilibrés de couleurs différentes. On considère les événementsA: « le premier dé donne un numéro pair » etB : « le deuxième dé donne 3 ». Ces événements sont-ils indépendants ?
Ne pas confondre les notions d’indépendance et d’incompatibilité. Cela n’a rien à voir.
Il existe des événements indépendants mais pas incompatibles, par exemple :
. . . . Il existe des événements incompatibles mais pas indépendants, par exemple :
. . . . Il existe des événements incompatibles et indépendants, par exemple :
. . . . Il existe des événements ni incompatibles, ni indépendants, par exemple :
. . . . 3.2 Évenements mutuellement indépendants
Définition 7. Des événements (A1; : : : ; An) de l’espace probabilisé fini (; P(); P ) sont dits mutuel-lement indépendants si, pour tout sous-ensemble non vide I de [[1; n]], on a :
. . . . Exemple : Trois événements (A; B; C)sont mutuellement indépendants si :
Le plus souvent, la notion de mutuelle indépendance des évenements est une donnée de l’exercice.
On l’utilise alors pour calculer la probabilité d’une intersection :P (A1\ A2\ A3\ \ An).
Ne pas confondre la notion d’évenements deux à deux indépendants et la notion d’évenements mutuellement indépendants.
Des événements (A1; : : : ; An) de l’espace probabilisé fini(; P(); P ) sont dits deux à deux indépendants si : . . . . La notion d’événements deux à deux indépendants ne suffit pas pour calculer une intersection d’évenements.
Exercice15 : On lance deux dés équilibrés de couleurs différents à 6 faces. Soient les événements suivants :A:« la somme fait 7 », B: « le premier dé donne 4 »etC: « le second dé donne 3 ». Montrer que ces 3 évenements sont deux à deux indépendants mais qu’ils ne sont pas mutuellement indépendants.
3.3 Expériences aléatoires indépendantes
Définition 8. Soient E1; : : : En des expériences aléatoires.
Elles sont dites indépendantes si chacune de ces expériences se déroule de la même façon quels qu’aient été les résultats des expériences précédentes.
Dans ce cas, si A1; : : : An sont des événements liés respectivement aux expériences E1; E2; : : : ; En, ces événements sont mutuellements indépendants.
Cas particulier classique d’expériences aléatoires indépendantes :
On répétenfois la même expérience aléatoire dans les mêmes conditions, on obtientnexpériences aléatoires identiques et indépendantes.
Exercice16 : On lance une pièce de monnaie truquéenfois de suite. La probabilité d’obtenir pile estp 2]0; 1[. Calculer la probabilité des évenements suivants : A « on obtient exactement n piles », B « on obtient dans cet ordrek piles etn kfaces » et C « pile est apparukfois au cours desntirages ».
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Algèbre