22 : Calculs de probabilité

Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch

Problème n

22 : Calculs de probabilité

Problème 1–

Étude d’un combat à trois.

On considère un combat entre trois tireurs A, B et C, qui se déroule en une suite d’épreuves de la façon suivante, jusqu’à élimination d’au moins deux des trois tireurs :

• LorsqueA tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut ²₃.

• LorsqueB tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut ¹₂.

• LorsqueC tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut ¹₃.

• Lorsqu’un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.

• À chacune des épreuves, les tireurs non éliminés tirent simultanément et chacun d’eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. Ainsi, à la première épreuve,Avise B, tandis que B etC visentA.

Lors d’une épreuve donnée, les tirs des adversaires restants sont mutuellement indépendants.

Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants :

ABCn : « à l’issue de la n-ième épreuve, A,B etC ne sont pas encore éliminés » ABⁿ : « à l’issue de lan-ième épreuve, seuls AetB ne sont pas encore éliminés » An : « à l’issue de la n-ième épreuve, seulA n’est pas encore éliminé »

∅n : « à l’issue de la n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés »

On définit de manière similaire les événementsBCn etACn, ainsi que Bn etCn.

Enfin, l’événementABC0 est l’événement certain, tandis queAB0, AC0,BC0,A0,B0,C0 et∅₀ sont égaux à l’évé- nement impossible

1. Calcul de probabilités

(a) Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d’un espace probabilisé donné, la probabilité P(U ∪V)de l’événementU ∪V en fonction deP(U),P(V)etP(U∩V).

(b) En déduire la probabilité pour qu’à une épreuve à laquelle participent A, B et C, l’événement suivant se produise :

« (Arate son tir) et (B ou C réussissent leur tir)».

(c) En déduire la probabilité pour qu’à une épreuve à laquelle participent A, B et C, l’événement suivant se produise :

« (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir)».

2. Détermination de probabilités conditionnelles

(a) Montrer que l’événementABⁿ est impossible pour tout entier naturel n.

Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn,∅_n. (b) Expliciter la probabilité conditionnelleP(ABCn+1|ABCn).

(c) Expliciter P(BCⁿ+1|ABCⁿ), puis donnerP(ACⁿ+1|ABCⁿ) (d) Expliciter P(An+1|ABCn),P(Bn+1|ABCn)etP(Cn+1|ABCn).

(e) Expliciter P(An+1|ACn),P(Bn+1|BCn),P(Cn+1|ACn)et P(Cn+1|BCn).

(f) Expliciter P(∅n+1|ABCⁿ), P(∅n+1|ACⁿ)et P(∅n+1|BCⁿ).

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3. Nombre moyen d’épreuves à l’issue desquelles le combat s’achève

On noteT la variable aléatoire indiquant le nombre d’épreuves à l’issue duquel cesse la combat, c’est-à-dire au delà duquel il ne reste qu’un tireur au plus.

(a) Quelle est la probabilité de l’événement [T = 1]?

(b) Soit n>2. Calculer la probabilité de l’événement suivant :ABC1∩ABC2∩ · · · ∩ABCⁿ.

(c) Soitn>2. Calculer la probabilité de la réunion des événementsRk suivants, pourk∈[[0, n−1]] :

R^k=ABC1∩ · · · ∩ABC^k∩AC^k+1∩ · · ·ACⁿ.

(Pourk= 0, il s’agit de l’événementAC1∩AC2∩ · · · ∩ACn.)

(d) Soit n>2. Calculer la probabilité de la réunion des événementsS^k suivants, pourk∈[[0, n−1]]:

Sk =ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · ·BCn.

(Pourk= 0, il s’agit de l’événementBC1∩BC2∩ · · · ∩BCn.)

(e) Soitn>2. Calculer la probabilitép(T > n)pour que le combat ne soit pas terminé à l’issue de lan-ième épreuve, et en déduire la probabilitéP(T =n).

(On vérifiera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question (a).) (f) Vérifier que la somme de la série de terme généralP(T =n)pour tous les indices n>1vaut1.

(g) Déterminer sous forme de fraction irréductible l’espéranceE(T)de la variable aléatoireT. 4. Probabilités pour queA, B etC respectivement remportent le combat

(a) Montrer que l’événement «A remporte le combat à l’issue de lan-ième épreuve » est impossible sin= 1, et montrer qu’il est égal à la réunion des événementsU^k suivants (k∈[[0, n−2]]) sin>2:

Uk=ABC1∩ · · · ∩ABCk∩ACk+1∩ · · ·ACn−1∩An.

(Pourk= 0, il s’agit de l’événementAC1∩AC2∩ · · · ∩ACⁿ₋1∩Aⁿ)

(b) Calculer la probabilité pour queAremporte le combat à l’issue de la n-ième épreuve (n>2).

(c) En déduire la probabilité pour queAremporte le combat (c’est-à-dire pour qu’il ne soit pas éliminé à l’issue du combat).

(d) Déterminer de même la probabilité pour queB remporte le combat ? (e) Déterminer de même la probabilité pour queC remporte le combat.

(f) Vaut-il mieux savoir tirer ou pas ?

(g) Déterminer la probabilité que le combat ne s’arrête pas.

(h) Déterminer la probabilité que le combat s’arrête sans vainqueur.

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