On considère un ensemble sur lequel est définie une probabilité P, et deux événements A et B de .

PROBABILITES CONDITIONNELLES. INDEPENDANCE

Dans ce chapitre, e _ e _ e n  est un ensemble fini.

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I. Probabilités conditionnelles.

On considère un ensemble sur lequel est définie une probabilité P, et deux événements A et B de .

Définition : Si P(B )  0, on appelle

Propriétés admises : Si P( B) ≠ 0 :

 0  P B (A ) 1

 P _B ( ) ^e 1 P _B ( ) ^e 2 ... P _B ( ) ^e n P _B ( ) 1

 P B (B ) P( B B ) P( B)

P (B ) P (B ) 1

 P B ( ) ^{A 1 P} B ( A)

 Si A et B sont incompatibles (AB = ), alors P B (A) = 0.

Conséquence :

Si P( A) ≠ 0 et P( B) ≠ 0, ...

Si P( B) ≠ 0 et P B ( A) ≠ 0, ...

Exemple : Un sachet de 100 bonbons contient 40 bonbons acidulés et 60 guimauves.

18 bonbons sont des guimauves à l orange et 42 sont des guimauves à la fraise.

3/8 des bonbons acidulés sont à l orange ; les autres sont à la fraise.

On choisit au hasard un bonbon dans le sachet et on considère les événements : A : "le bonbon est acidulé" G : "le bonbon est une guimauve"

O : "le bonbon est à l orange" F : "le bonbon est à la fraise"

1. Traduire les données de l énoncé en termes de probabilité.

2. Calculer P _G (O) et P (A O ). Interpréter par une phrase.

II. Arbres pondérés.

1. Construction d un arbre.

Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré constitué de tous les chemins complets possibles.

Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.

Au 1 ^er niveau de l’arbre, on indique les probabilités des événements A, B et C ; au second niveau les probabilités conditionnelles.

La somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Exemple :

Dans une animalerie, il n’y a que deux aquariums, l’aquarium A, qui contient 5 poissons rouges et 6 poissons noirs et l’aquarium B qui contient 9 poissons rouges et 3 noirs.

Un client vient acheter un poisson. Il choisit un aquarium puis laisse un vendeur pêcher au hasard un poisson. Les deux aquariums sont placés de telle manière que la probabilité que le client choisisse l’aquarium A est 

 et on suppose que dans chaque aquarium, chaque poisson a autant de chances d’être pêché.

On peut représenter la situation par un arbre pondéré :

2. Formule des probabilités totales.

Théorème admis : Si l univers d une expérience aléatoire est la réunion d événements A 1 ; A 2 ; ... A n

d événements deux à deux incompatibles, on dite que A ₁ ; A ₂ ; ... A _n forment une partition de . Pour tout événement B, on a alors

On reprend l exemple précédent.

Interprétation avec l arbre :

 La probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ce chemin.

 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet

événement.

Exemple 2 : Un sac contient des jetons de trois couleurs, la moitié de blancs, le tiers de verts et le sixième de jaunes. 50% des jetons blancs sont ronds, 30% des jetons verts sont ronds et 40% des jetons jaunes sont ronds. Tous les autres jetons sont carrés. On tire un jeton au hasard.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.

2. Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit rond ?

3. Sachant que le jeton est rond, quelle est la probabilité qu’il soit blanc ?

III. Indépendance.

Définition : On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P(AB) = P(A)  P(B)

Exemple :

On dispose d une urne contenant trois boules rouges numérotées 1 ; 2 et 3 et six boules noires numérotées 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 et 3. On choisit une boule au hasard dans l urne.

On considère les événements suivants : R : "tirer une boule rouge"

P : "tirer une boule dont le numéro est pair"

U : "tirer une boule dont le numéro est 1"

1. Les évènements R et P sont-ils indépendants ?

2. Les évènements R et U sont-ils indépendants ?

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

A et B sont indépendants ssi ...

ssi ...

ssi ...

On a donc :

Conséquence : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

Les événements A et B sont indépendants ssi P(A) = P B (A).

ssi P(B) = P A (B) (se démontre de même)

Propriété : Si les événements A et B sont indépendants, alors ... .

Démonstration à connaître :

Soient A et B deux événements indépendants.

Remarque : En appliquant à nouveau cette propriété : A et B sont indépendants puis A = A et B

sont indépendants.