Notes de cours,

Chapitre 4

Quelques applications

4.1 Relaxation

Nous avons vu pr´ec´edemment que la quasiconvexit´e (la convexit´e dans le cas scalaire) de f est une condition n´ecessaire et suffisante `a la faible semi-continuit´e inf´erieure de la fonctionnelle int´egrale

u7!W^1,p(⌦;R^d)7!

Z

⌦

f(ru)dx.

Une question naturelle se pose alors : que se passe-t-il quandf n’est pas quasiconvexe ?

Exemple 4.1.1. Par exemple, siN=d= 1 et ⌦= (0,1), on consid`ere la fonction (non convexe) f(⇠) = (1 ⇠<sup>2</sup>)<sup>2</sup>et la suiteu"(x) ="u(x/") o`uu:R!Rest la fonction 1-p´eriodique d´efinie par

u(x) =

(x n sinx < n+ ¹₂, n+ 1 x sin+¹₂ x < n+ 1.

On a que u" *0 faiblement dans W^1,4(0,1). Par cons´equent, comme u⁰_"(x) = u⁰("x)2 { 1,1}

p.p dansx2(0,1), il vient

F(0) = 1>0 =F(u").

De fa¸con g´en´erale, consid´erons un espace m´etrique (X, d) et une fonctionnelleF :X!R[{+1}

qui n’est pas semi-continue inf´erieurement surX. On s’int´eresse `a d´eterminer une fonctionnelleF dont les minima sont les limites des suites minimisantes de F, autrement dit l’enveloppe semi- continue inf´erieure (ou relax´ee) deF d´efinie, pour toutu2X, par

F(u) = sup{G(u) : Gsemi-continue inf´erieurement etGF}.

On a le r´esultat g´en´eral suivant qui ram`ene le calcul de l’enveloppe semi-continue inf´erieure deF

`

a celui de la -limite de la suite stationnaireF.

Proposition 4.1.2. Soit (X, d) un espace m´etrique et F : X ! R[{+1}. Alors l’enveloppe semi-continue inf´erieure deF co¨ıncide avec la -limite de F et elle est donn´ee par

F(u) = inf

⇢ lim inf

j!+1F(uj) : uj!u pour toutu2X.

45

D´emonstration. Pour toutu2X, notons F⁰(u) = inf

⇢ lim inf

j!+1F(uj) : uj !u

la -limite inf´erieure de la suite stationnaireF et montrons queF⁰ est la -limite deF. La borne inf´erieure est ´evidente. Concernant la borne sup´erieure, pour toutk2N, il existe une suiteu^k_j !u telle que

lim inf

j!+1F(u^kj)F⁰(u) +1 k. Pour toutk2N, il existe une sous-suite (u^k_'k(j))_j2N telle que

j!lim+1F(u^k_'k(j)) = lim inf

j!+1F(u^k_j)F⁰(u) +1 k.

On construit ensuite une suite strictement croissante d’entiers ( k)k2Ntelle que pour toutj k, d(u^k_'k(j), u) 1

k, F(u^k_'k(j))F⁰(u) +2 k, et on d´efinitvj=u^k_'k(j)si kj < k+1de sorte quevj !uet

lim sup

j!+1 F(vj)F⁰(u), ce qui montre la borne sup´erieure.

D’apr`es la Remarque3.1.3, la fonctionnelleF⁰est semi-continue inf´erieurement et, par construc- tion F⁰  F, ce qui montre que F⁰  F. Par ailleurs, si G est une fonctionnelle semi-continue inf´erieurement telleGF, alors pour toute suiteuj!u,

G(u)lim inf

j!+1G(uj)lim inf

j!+1F(uj),

ce qui implique, par passage `a l’infimum par rapport `a toutes les suites (uj)j2NqueGF⁰, ce qui montre queF F⁰ et donc queF⁰=F est e↵ectivement l’enveloppe semi-continue inf´erieurement deF.

Nous allons maintenant nous int´eresser `a la relaxation de fonctionnelles int´egrales. On consid`ere une fonction continuef :R^d⇥N !R satisfaisant des propri´et´es de croissance et coercivit´e

|⇠|^pf(⇠)⇤(1 +|⇠|^p) pour tout⇠ 2R^d⇥N, (4.1.1) o`u >0,⇤>0 et 1< p <1. On d´efinit la fonctionnelleF :L^p(⌦;R^d)![0,+1] par

F(u) = 8<

: Z

⌦

f(ru)dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon.

(4.1.2)

Th´eor`eme 4.1.3. L’enveloppe semi-continue inf´erieurement deF dansL^p(⌦;R^d)est donn´ee par F :L^p(⌦;R^d)![0,+1] par

F(u) = 8<

: Z

⌦

Qf(ru)dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon,

4.1. RELAXATION 47 o`uQf:R^d⇥N !R est la quasiconvexification def d´efinie par

Qf(⇠) = inf (Z

(0,1)^N

f(⇠+r'(y))dy: '2Cc¹((0,1)^N;R^d) )

.

Remarque 4.1.4. 1. D’apr`es la propri´et´e de croissance (4.1.1), on a aussi que Qf(⇠) = inf

(Z

(0,1)^N

f(⇠+r'(y))dy: '2W₀^1,p((0,1)^N;R^d) )

.

2. Sif est quasiconvexe, alors on a par d´efinitionQf =f.

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme 3.2.1, nous savons d´ej`a qu’il existe une fonction de Ca- rath´eodoryf :⌦⇥R^d⇥N !Rtelle que

F(u) = 8<

: Z

⌦

f(x,ru)dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon.

Il s’agit alors de montrer quef =Qf. Dans la suite de la preuve, nous posonsu⇠(x) :=⇠x pour toutx2R^N, o`u⇠2R^d⇥N est fix´ee.

Etape 1.Montrons quef est ind´ependante de la variable spatialex. Soientx0,y02⌦et⇢>0 tels queB⇢(x0)⇢ ⌦et B⇢(y0)⇢⌦. D’apr`es la Remarque 3.2.5, il existe une suite (u^⇢_n)_n2N dans W^1,p(B⇢(x0);R^d) telle queu^⇢_n!u⇠ dansL^p(B⇢(x0);R^d) et

lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0)

f(ru^⇢_n)dx Z

B⇢(x0)

f(x,⇠)dx+⇢^N+1.

On d´efinitvn^⇢(x) =u^⇢n(x y0+x0) de sorte quevn^⇢ 2W^1,p(B⇢(y0);R^d) etvn^⇢ !u⇠+⇠(x0 y0) dansL^p(B⇢(y0);R^d). Par cons´equent, par changement de variables,

Z

B⇢(y0)

f(x,⇠)dxlim inf

n!+1

Z

B⇢(y0)

f(rv_n^⇢)dx

= lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0)f(ru^⇢n)dx Z

B⇢(x0)

f(x,⇠)dx+⇢^N+1. En divisant l’in´egalit´e pr´ec´edente par!N⇢^N et en passant `a la limsup quand ⇢!0, on obtient f(y0,⇠)f(x0,⇠). L’autre in´egalit´e s’obtient en inversant les rˆoles dex0ety0.

Etape 2 : borne inf´erieure.SoitQ=x0+ (0,⇢)^N un cube contenu dans⌦. Il existe une suite (uj)j2NdansW^1,p(Q;R^d) telle queuj!u⇠ dansL^p(Q;R^d) et

lim inf

j!+1

Z

Q

f(ruj)dx⇢^N+1+⇢^Nf(⇠).

En particulier, d’apr`es la condition de coercivit´e de f, on en d´eduit que la suite (ruj)j2N est born´ee dansL<sup>p</sup>(Q;R<sup>d⇥N</sup>) ce qui implique queuj *u⇠ faiblement dans W<sup>1,p</sup>(Q;R<sup>d</sup>). D’apr`es la Proposition3.2.6, on peut supposer sans restreindre la g´en´eralit´e queuj=u⇠sur@Q, en particulier ':=uj u⇠2W₀^1,p(Q;R^d). On pose alors (x) ='(x0+⇢x)/⇢de sorte que 2W₀^1,p((0,1)^N;R^d) et, par d´efinition de la quasiconvexification, on a

Z

Q

f(ruj)dx= Z

Q

f(⇠+r')dx=⇢^N Z

(0,1)^N

f(⇠+r )dx ⇢^NQf(⇠).

En divisant par⇢^N et en faisant tendre⇢!0, on obtient quef(⇠) Qf(⇠).

Etape 3 : borne sup´erieure.Pour tout">0, il existe une fonction'2Cc¹(Q;R^d) telle que Z

Q

f(⇠+r'(y))dyQf(⇠) +".

On ´etend' parQ-p´eriodicit´e `a toutR^N et on pose pour toutx2R^N, 'j(x) = '(jx)

j

de sorte que'j!0 fortement dansL^p(⌦;R^d). Dans ce cas,

|⌦|f(⇠) =F(u⇠)lim inf

j!+1F(u⇠+'j) = lim inf

j!+1

Z

⌦

f(⇠+'(jx))dx.

D’apr`es le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue, on a f(⇠+'(j·)) *R

Qf(⇠+r'(y))dy faiblement dansL¹(⌦), ce qui implique que

|⌦|f(⇠)lim inf

j!+1

Z

⌦

f(⇠+'(jx))dx=|⌦|

Z

Q

f(⇠+r'(y))dy|⌦|(Qf(⇠) +").

Il suffit ensuite de faire tendre"!0.

Proposition 4.1.5. La fonctionQf est l’enveloppe quasiconvexe def, i.e., pour tout ⇠2R^d⇥N, Qf(⇠) = sup{g(⇠) :gest quasiconvexe etgf}.

D´emonstration. En prenant⌦=B=B1(0), le Th´eor`eme4.1pr´ec´edent montre que la fonctionnelle

u2L^p(B;R^d)7!F(u) = 8<

: Z

BQf(ru)dx siu2W^1,p(B;R^d),

+1 sinon,

est l’enveloppe semi-continue inf´erieurement de

u2L^p(B;R^d)7!F(u) = 8<

: Z

B

f(ru)dx siu2W^1,p(B;R^d),

+1 sinon.

Le Proposition4.1.2(ou la Remarque3.1.3) montre alors queF est semi-continue inf´erieurement dansL^p(B;R^d). Par injection compacte de Rellich,F est faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(B;R^d), ce qui montre en vertu du Th´eor`eme 2.3.7 que Qf est quasiconvexe. Par ailleurs, on a clairement que Qf  f. Enfin, si g  f et g est quasiconvexe, alors pour tout '2Cc¹((0,1)^N;R^d),

g(⇠) Z

(0,1)^N

g(⇠+r'(y))dy Z

(0,1)^N

f(⇠+r'(y))dy.

Par passage `a l’infimum en', on en d´eduit que g Qf ce qui montre queQf est e↵ectivement l’enveloppe quasiconvexe def.

4.2. HOMOG ´EN ´EISATION 49 Dans le cas scalaire, l’enveloppe quasiconvexe se r´eduit `a l’enveloppe convexe. Pour revenir `a l’exemple4.1.1, siN=d= 1 et⌦= (0,1), alors la relax´ee de la fonctionnelle

u2L⁴(0,1)7!F(u) = 8<

: Z 1

0

(1 |u⁰|²)²dx siu2W^1,4(0,1),

+1 sinon,

u2L⁴(0,1)7!F(u) = 8<

: Z 1

0

Cf(u⁰)dx siu2W^1,4(0,1),

+1 sinon,

o`u Cf(⇠) = (1 ⇠²)² si|⇠| > 1 et Cf(⇠) = 0 si |⇠| 1 est l’enveloppe convexe de ⇠ 7!f(⇠) = (1 ⇠²)².

Le calcul de l’enveloppe quasiconvexe est une question difficile `a r´esoudre en pratique. Tr`es peu d’exemples sont disponibles.

Exemple 4.1.6. On d´efinit la fonction de Kohn-Strang f:R^2⇥2![0,+1) par f(⇠) =

(1 +|⇠|² si⇠6= 0,

0 si⇠= 0.

Cette fonctionnelle apparaˆıt naturellement dans les probl`emes d’optimisation de forme ou d’en- dommagement. On peut montrer (voir [4, Lemma A.2-2.7]) que l’enveloppe convexe def est donn´ee par

Cf(⇠) =

(1 +|⇠|² si|⇠| 1, 2|⇠| si|⇠|<1, et l’enveloppe quasiconvexe est donn´ee par

Qf(⇠) =

(1 +|⇠|² si|⇠|²+ 2|det⇠| 1, 2p

|⇠|²+ 2|det⇠| 2|det⇠| si|⇠|²+ 2|det⇠|<1.

4.2 Homog´ en´ eisation

On s’int´eresse `a pr´esent `a un probl`eme de -convergence avec une ´echelle de microstructure. On consid`ere une fonction de Carath´eodoryf:R^N⇥R^d⇥N ![0,+1) satisfaisant

i) f(·,⇠) est 1-p´eriodique pour tout⇠2R^d⇥N; ii) il existe ,⇤>0 et 1< p <1, tels que

|⇠|^pf(y,⇠)⇤(1 +|⇠|^p) p.p. touty2R^N et pour tout⇠2R^d⇥N. On d´efinit la fonctionnelle int´egraleF" :L^p(⌦;R^d)![0,+1] par

F"(u) = 8<

: Z

⌦

f⇣x

",ru⌘

dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 siu2L^p(⌦;R^d)\W^1,p(⌦;R^d).

On peut interpr´eter cette fonctionnelle comme l’´energie contenue dans un corps ´elastique ayant des h´et´erog´en´eit´es p´eriodiquement distribu´ees de p´eriode">0 tr`es petite. On cherche alors `a essayer de d´eterminer un milieu ´elastique “moyenn´e”, ou homog´en´eis´e, en faisant tendre la p´eriode de la microstructure vers 0. Nous avons le r´esultat suivant obtenu ind´ependamment par Braides [2] et M¨uller [8].

Th´eor`eme 4.2.1. La fonctionnelleF" -converge dansL^p(⌦;R^d)vers la fonctionnelle homog´en´eis´ee Fhom:L^p(⌦;R^d)![0,+1]d´efinie par

F"(u) = 8<

: Z

⌦

fhom(ru)dx si u2W^1,p(⌦;R^d),

+1 si u2L^p(⌦;R^d)\W^1,p(⌦;R^d), o`ufhom est donn´ee par la formule de cellule

fhom(⇠) = lim

T!+1 inf

'2W₀^1,p((0,T)^N;R^d)

Z

(0,T)^N

f(y,⇠+r'(y))dy pour tout ⇠2R^d⇥N. Remarque 4.2.2. 1. Dans la formule de cellule qui d´efinit fhom, il est sous-entendu que la

limite quand la p´eriode T ! +1 existe. Il s’agit d’une propri´et´e dite d’ergodicit´e qui se g´en´eralise pour des g´eom´etries plus complexes comme dans le cas quasi-p´eriodique ou mˆeme stochastique (voir le Lemme4.2.3ci dessous).

2. si f=f(⇠) est ind´ependante de la variable spatialey, alors la formule de cellule se r´eduit `a la formule de quasiconvexification def.

3. Si f est convexe par rapport `a la variable ⇠, il est possible de montrer que la formule de cellule se r´eduit `a

fhom(⇠) = inf

'2Wper^1,p((0,1)^N;R^d)

Z

(0,1)^N

f(y,⇠+r'(y))dy pour tout⇠2R^d⇥N. Nous renvoyons pour cela au [3, Theorem 14.7]. N´eanmoins, dans le cas non convexe, il est vraiment n´ecessaire de consid´erer la limite d’une famille de probl`emes de minimisation pos´es sur des cellules qui envahissent l’espace (voir le contre-exemple de M¨uller [3, Example 14.12]).

Lemme 4.2.3. La limite

T!lim+1 inf

'2W0^1,p((0,T)^N;R^d)

Z

(0,T)^N

f(y,⇠+r'(y))dy existe pour tout⇠2R^d⇥N.

D´emonstration. On pose, pour toutt >0, gt := inf

'2W₀^1,p((0,t)^N;R^d)

Z

(0,t)^N

f(y,⇠+r'(y))dy, et on consid`ere't2W₀^1,p((0, t)^N;R^d) tel que

Z

(0,t)^N

f(y,⇠+r't(y))dygt+1 t.

Sis > t, nous allons construire une fonction s2W₀^1,p((0, s)^N;R^d) comme suit. Tout d’abord, on

´etend 't par z´ero sur le plus grand cube (0,[t] + 1)^N et on subdivise (0, s)^N en l’union disjointe de translat´es de (0,[t] + 1)^N. Soit I l’ensemble des indices i = (i1, . . . , iN) 2 Z^N tels que 0  ([t] + 1)(ij+ 1)spour toutj= 1, . . . , N. Notons que

s^N

t^N #(I) =

✓ s [t] + 1 1

◆N ✓ s [t] + 1 2

◆N

(s 2t 2)^N (t+ 1)^N .

4.2. HOMOG ´EN ´EISATION 51 On d´efinit pour touty2(0, s)^N,

s(y) :=

('t(y i) siy2i+ (0, t)^N, i2I,

0 sinon.

SiEs = (0, s)^N\S

i2I(i+ (0, t)^N), on a

|Es|=s^N t^N#(I)s^N (s 2t 2)^N t^N (t+ 1)^N. Par d´efinition degs, on a

gs Z

(0,s)^N

f(y,⇠+r s(y))dy

= 1 s^N

X

i2I

Z

i+(0,t)^N

f(y,⇠+r't(y i))dy+ Z

Es

f(y,⇠)dy

!

 1 s^N

X

i2I

Z

(0,t)^N

f(x+i,⇠+r't(x)dx+⇤(1 +|⇠|^p)|Es|

!

= 1 s^N

X

i2I

Z

(0,t)^N

f(x,⇠+r't(x)dx+⇤(1 +|⇠|^p)|Es|

!

 1 s^N

✓

#(I)t^N

✓ gt+ 1

t

◆

+⇤(1 +|⇠|^p)|Es|

◆

gt+ 1

t +⇤(1 +|⇠|^p)

✓

1 (s 2t 2)^Nt^N s^N(t+ 1)^N

◆ .

En faisant tendre d’abords!+1, puist!+1, il vient lim sup

s!+1gslim inf

t!+1gt, ce qui montre l’existence de la limite.

D´emonstration du Th´eor`eme4.2.1. D’apr`es le Th´eor`eme 3.2.1, pour toute suite ("j)j2N, il existe une sous-suite ("jn)_n2N et une fonction de Carath´eodory f :⌦⇥R^d⇥N ![0,+1) satisfaisant les mˆemes propri´et´es de croissance et coercivit´e quef, tels que la fonctionnelleF"_jn -converge dans L^p(⌦;R^d) vers la fonctionnelleF :L^p(⌦;R^d)![0,+1] donn´ee par

F(u) = 8<

: Z

⌦

f(x,ru)dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon.

Etape 1. Montrons tout d’abord quef est ind´ependante de la variable spatiale x. Soient x0, y0 2⌦ et ⇢> 0 tels que B⇢(x0)[B⇢(y0) ⇢ ⌦. D’apr`es la Proposition 3.2.6, il existe une suite (un)n2N dansW₀^1,p(B⇢(x0);R^d)) telle queun!0 dansL^p(B⇢(x0);R^d) et

lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0)

f

✓ x

"jn

,⇠+run

◆ dx

Z

B⇢(x0)

f(x,⇠)dx+⇢^N+1.

Soit⌧n = "jn

hy0 x0

"_jn

i. Comme⌧n !y0 x0, alors si t >1, on a B⇢(x0+⌧n)⇢Bt⇢(y0) pourn assez grand. On ´etend la suiteun par 0 `a l’ext´erieur deB⇢(x0) et pour presque toutx2Bt⇢(y0), on pose

vn(x) =un(x ⌧n).

On a alors, Z

Bt⇢(y0)|vn(x)|^pdx= Z

B⇢(x0+⌧n)|un(x ⌧n)|^pdx= Z

B⇢(x0)|un(y)|^pdy!0 ce qui montre quevn!0 dansBt⇢(y0) et donc,

Z

B⇢(y0)

f(x,⇠)dx Z

Bt⇢(y0)

f(x,⇠)dxlim inf

n!+1

Z

Bt⇢(y0)

f

✓ x

"jn

,⇠+rvn(x)

◆ dx

lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0+⌧n)

f

✓ x

"jn

,⇠+run(x ⌧n)

◆

dx+⇤(1 +|⇠|^p)|Bt⇢(y0)\B⇢(x0+⌧n)|

= lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0)

f

✓ y

"jn

+

y0 x0

"jn

,⇠+run(y)

◆

dy+⇤(1 +|⇠|^p)!N⇢^N(t^N 1)

= lim inf

n!+1

Z

B⇢(x0)

f

✓ y

"jn

,⇠+run(y)

◆

dy+⇤(1 +|⇠|^p)!N⇢^N(t^N 1)

 Z

B⇢(x0)

f(x,⇠)dx+⇢^N+1+⇤(1 +|⇠|^p)!N⇢^N(t^N 1).

Par passage `a la limite quandt&1, on obtient Z

B⇢(y0)

f(x,⇠)dx Z

B⇢(x0)

f(x,⇠)dx+⇢^N+1.

On obtient finalement quef(y0,⇠)f(x0,⇠) en divisant l’expression pr´ec´edente par!N⇢^N et en passant `a la limsup quand⇢!0. L’autre in´egalit´e se montre en inversant les rˆoles dex0 ety0.

Etape 2.Commef est une fonction quasiconvexe, on a f(⇠) = min

'2W₀^1,p((0,1)^N;R^d)

Z

(0,1)^N

f(⇠+r'(y))dy,

puis, d’apr`es le Th´eor`eme3.2.7appliqu´e `au0(x) =⇠xetg= 0, on a (quitte `a extraire une nouvelle sous-suite)

min

'2W₀^1,p((0,1)^N;R^d)

Z

(0,1)^N

f(⇠+r'(x))dx

= lim

n!+1 inf

'2W₀^1,p((0,1)^N;R^d)

Z

(0,1)^N

f

✓ x

"jn

,⇠+r'(x)

◆ dx

= lim

n!+1 inf

2W₀^1,p((0,Tn)^N;R^d)

1 T_n^N

Z

(0,Tn)^N

f(y,⇠+r (y))dy, o`uTn= 1/"jn. D’apr`es le Lemme4.2.3, il vient quef(⇠) =fhom(⇠) et donc F =Fhom.

Etape 3.Nous avons montr´e que, de toute sous-suite ("j)j2N, on peut extraire une nouvelle sous- suite ("jn)n2Ntelle queF"_jn -converge vers la mˆeme limiteFhom. D’apr`es la propri´et´e d’Urysohn (voir la Proposition3.1.7), on en d´eduit que c’est toute la suiteF" qui -converge versFhom.

4.3. R ´EDUCTION DE DIMENSION 53 Il est en g´en´eral tr`es difficile de calculer explicitement la formule de cellule sauf dans des cas tr`es particuliers qui se ram`enent `a un calcul 1D.

Exemple 4.2.4. Suppposons que N = d = 1 et f(y,⇠) = a(y)|⇠|² pour tout (y,⇠) 2 R², o`u a:R!R est une fonction mesurable 1-p´eriodique telle que 0< a(y)⇤<+1pour tout y2R. Comme la limite qui d´efinit la formule de cellule existe, on peut se restreindre `a une p´eriode k2N. Soituk2H₀¹(0, k) une solution du probl`eme de minimisation

v2Hmin₀¹(0,k)

Z k 0

a(y)|⇠+v⁰(y)|²dy.

L’´equation d’Euler-Lagrange montre queukest solution de [a(⇠+u⁰_k)]⁰= 0 au sens des distributions dans (0, k). En particulier, il existe une constantec2R(qui d´epend deket⇠) telle quea(⇠+u⁰_k) =c p.p. dans (0, k) et donc, commeane s’annule jamais etuk(0) = 0,

uk(x) = Z x

0

✓ c a(y) ⇠

◆ dy.

On utilise maintenant le fait queuk(k) = 0, ce qui implique que c=⇠

✓Z 1 0

dy a(y)

◆ ¹ ,

o`u l’on a utilis´e le fait queaest 1-p´eriodique etk2N. Par cons´equent, fhom(⇠) = lim

k!+1

1 k

Z k

0 a(y)|⇠+u⁰_k(y)|²dy

= lim

k!+1

c k

Z k 0

(⇠+u⁰k(y))dy=c⇠=

✓Z 1 0

dy a(y)

◆ ¹

|⇠|².

4.3 R´ eduction de dimension

On consid`ere un dernier exemple de mod´elisation de plaques bi-dimensionnelles `a partir de l’´elasticit´e non lin´eaire tridimensionnelle. On s’int´eresse `a un milieu ´elastique dont l’´epaisseur est beaucoup plus petite que les autres dimensions. Ce milieu occupe le cylindre⌦"=!⇥( "/2,"/2) au repos, o`u!⇢R²est un ouvert born´e et">0 est petit.

L’´energie ´elastique contenue dans un tel mat´eriau est donn´ee par

v2W^1,p(⌦";R³)7!

Z

⌦"

W(rv)dx, o`uW :R^3⇥3![0,+1) est une fonction continue satisfaisant

|⇠|^pW(⇠)⇤(1 +|⇠|^p) pour tout⇠2R^3⇥3

avec ,⇤>0 et 1< p <1. On s’int´eresse au comportement asymptotique de cette ´energie lorsque

"!0, i.e., lorsque la configuration de r´ef´erence du milieu “converge” vers une surface plane de l’espace. La premi`ere difficult´e `a laquelle nous sommes confront´es est le fait que l’espace ambiant

W^1,p(⌦";R³) d´epend du param`etre". Nous allons donc remettre `a l’´echelle ce probl`eme dans une

configuration unitaire⌦=⌦1en posant, pour toutv2W^1,p(⌦";R³), u(x1, x2, x3) =v(x1, x2,"x3) p.p. toutx2⌦.

Dans la suite, on poserax⁰= (x1, x2) la variable planaire etr⁰le gradient par rapport `ax<sup>0</sup>. On a alors queu2W<sup>1,p</sup>(⌦;R<sup>3</sup>) et, d’apr`es la formule de changement de variables

1

"

Z

⌦"

W(rv)dx= Z

⌦

W

✓ r⁰u 1

"@3u

◆ dx.

On d´efinit la fonctionnelle int´egraleE":L^p(⌦;R³)![0,+1] par

E"(u) = 8<

: Z

⌦

W

✓ r⁰u 1

"@3u

◆

dx siu2W^1,p(⌦;R³),

+1 siu2L^p(⌦;R³)\W^1,p(⌦;R³).

On a alors le r´esultat suivant de -convergence dˆu `a Le Dret & Raoult [7].

Th´eor`eme 4.3.1. La familleE" -converge dansL^p(⌦;R³)vers la fonctionnelleE:L^p(⌦;R³)! [0,+1]d´efinie par

E(u) = 8<

: Z

!

QW0(r⁰u)dx si u2W^1,p(!;R³),

+1 si u2L^p(⌦;R³)\W^1,p(!;R³),

o`uW0(⇠) = minz2R³W(⇠|z)pour tout⇠2R^3⇥2 etQW0est la quasiconvexification de W0 d´efinie par

QW0(⇠) = inf

'2W₀^1,p((0,1)²;R³)

Z

(0,1)²

W0(⇠+r⁰'(y⁰))dy⁰ pour tout⇠2R^3⇥2.

Remarque 4.3.2.Notons que le mod`ele limite est un mod`ele “r´eduit” car le domaine de la -limite est donn´e parW^1,p(!;R³), c’est `a dire des champs de vecteursu2W^1,p(⌦;R³) bidimensionnels, i.e., tels que@3u= 0 p.p. dans⌦.

Commen¸cons par montrer un lemme de s´election mesurable pour les solutions du probl`eme de minimisation d´efinissantW0(⇠(x)) lorsque⇠:!!R^3⇥2est une fonction mesurable.

Lemme 4.3.3. Pour toute fonction mesurable ⇠ : ! ! R^3⇥2, il existe une fonction mesurable b:!!R³telle que

W0(⇠(x)) =W(⇠(x)|b(x)) pour presque toutx2!.

Si de plus⇠2L^p(!;R^3⇥2), alors b2L^p(!;R³).

D´emonstration. Si⇠(x) =⇠2R^3⇥2 est constante, comme la fonctionz7!W(⇠|z) est continue et coercive, il existe unb2R³tel queW0(⇠) =W(⇠|b) = minz2R³W(⇠|z).

Si ⇠= Pm

i=1⇠i Ai est une fonction ´etag´ee avec⇠i2R^3⇥2 pour tout 1imet A1, . . . , Am

est une partition mesurable de!, alors pour tout 1 i m, il existe bi 2R³ tel queW0(⇠i) = W(⇠i|bi). On d´efinit alorsb=Pm

i=1bi Aiqui est une fonction mesurable de!!R³et qui satisfait W0(⇠) =W(⇠|b) p.p. dans!.

Enfin, si ⇠ : ! ! R^3⇥2 est une fonction mesurable, il existe une suite (⇠k)_k2N de fonctions

´etag´ees telle que ⇠k !⇠ p.p. dans !. Soit bk : ! !R³ une fonction ´etag´ee mesurable telle que W0(⇠k) =W(⇠k|bk) pour toutk2N. Tout d’abord, commeW0 est d´efini comme un infimum de fonctions continues, alorsW0est semi-continue sup´erieurement ce qui montre que

lim sup

k!+1W0(⇠k)W0(⇠).

4.3. R ´EDUCTION DE DIMENSION 55 Par ailleurs, on poseb= lim sup_kbk (composante par composante) qui d´efinit une fonction mesu- rable. Pour toutx2!, on extrait une sous-suite (qui d´epend dex) telle queb(x) = limkb _x(k)(x).

Par continuit´e deW, pour presque toutx2!, on a W0(⇠(x))W(⇠(x)|b(x)) = lim

k!+1W(⇠ x(k)(x)|b x(k)(x))

= lim

k!+1W0(⇠ _x(k)(x))lim sup

k!+1W0(⇠k).

En regroupant les in´egalit´es pr´ec´edentes, on en d´eduit queW0(⇠) =W(⇠|b) p.p. dans!.

Supposons maintenant que ⇠ 2 L^p(!;R^3⇥2). Pour montrer que b 2 L^p(!;R³), on utilise les propri´et´es de croissance et de coercivit´e deW pour obtenir que

Z

!|b|^pdx⁰

Z

!|(⇠|b)|^pdx⁰ Z

!

W(⇠|b)dx⁰

= Z

!

W0(⇠)dx Z

!

W(⇠|0)⇤ Z

!

(1 +|⇠|^p)dx⁰<1, ce qui conclut la preuve du lemme.

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme3.2.1, pour toute suite ("j)_j2N, il existe une sous-suite ("n=

"jn)n2N telle que la fonctionnelle E"n -converge dans L^p(⌦;R^d) vers une fonctionnelle E. La preuve est ensuite divis´ee en quatre ´etapes pour montrer queE=E.

Etape 1 : compacit´e. Soit (un)_n2N telle queun!udansL^p(⌦;R³) et lim inf

n!+1E"n(un)<+1.

Alors, quitte `a extraire une sous-suite, la borne inf´erieure de coercivit´e implique que Z

⌦

✓ r⁰un 1

"n@3un

◆p

dxC.

En particulier, si "n < 1, on a que (run)n2N est born´ee dans L^p(⌦;R^3⇥3) ce qui implique que un*u faiblement dansW^1,p(⌦;R³) et aussi queu2W^1,p(⌦;R³). Par ailleurs, on a ´egalement

Z

⌦|@3un|^pdxC"n.

Par semi-continuit´e inf´erieure de la norme pour la convergence faible, on en d´eduit que Z

⌦|@3u|^pdxlim inf

n!+1

Z

⌦|@3un|^pdx= 0,

ce qui montre que@3u = 0 p.p. dans⌦. La fonctionu peut donc ˆetre identifi´ee `a un ´el´ement de W^1,p(!;R³).

Etape 2 : borne inf´erieure.Soit (un)_n2Ntelle queun!udansL^p(⌦;R³). Si lim infnE"n(un) = +1, il n’y a rien `a montrer. Si en revanche lim infnE"n(un)<1, l’´etape 1 montre que un *u faiblement dansW^1,p(⌦;R³) avecu2W^1,p(!;R³). CommeQW0W0W, on en d´eduit que

lim inf

n!+1E"n(un) lim inf

n!+1E"n(un) Z

⌦

QW0(r⁰un)dx.

Montrons que QW0 est quasiconvexe de R³ dans R³. Pour ce faire, on consid`ere une fonction 2Cc¹((0,1)³;R³). En particulier, pour tout x3 2(0,1), on a que (·, x3)2Cc¹((0,1)²;R³), ce qui montre que pour tout⇠2R^3⇥2,

QW0(⇠) Z

(0,1)²

QW0(⇠+r⁰ (x⁰, x3))dx⁰ puis, par le Th´eor`eme de Fubini que

QW0(⇠) Z 1

0

Z

(0,1)²

QW0(⇠+r⁰ (x⁰, x3))dx⁰dx3= Z

(0,1)³

QW0(⇠+r⁰ (x))dx.

Comme un *u faiblement dans W^1,p(⌦;R³), le Th´eor`eme 2.3.7de semi-continuit´e inf´erieure implique que

lim inf

n!+1

Z

⌦

QW0(r⁰un)dx Z

⌦

QW0(r⁰u)dx= Z

!

QW0(r⁰u)dx⁰ caruest ind´ependante dex3. On a donc montr´e que

lim inf

n!+1E"n(un)

Z

!

QW0(r⁰u)dx⁰=E(u), puis, par passage `a l’infimum parmi toutes les suites, queE E.

Etape 3 : borne sup´erieure.Siu2L^p(⌦;R³)\W^1,p(!;R³), alorsE(u) = +1et il n’y a rien

`

a montrer. On suppose donc queu2W^1,p(!;R³). D’apr`es le Lemme 4.3.3, il existe une fonction b2L^p(!;R³) telle que

W0(r⁰u(x⁰)) =W(r⁰u(x⁰)|b(x⁰)) p.p. toutx⁰2!.

Soitbk 2 Cc¹(!;R³) telle que bk !b fortement dans L^p(!;R³). On pose alors u^k_n(x) = u(x⁰) +

"nx3bk(x⁰) pour presque toutx2⌦de sorte queu^k_n!ufortement dansL^p(⌦;R³) quandn!+1. Commer⁰u^k_n(x) =r⁰u(x⁰) +"nx3r⁰bk(x⁰) et@3u^k_n(x) ="nbk(x⁰) pour presque toutx2⌦, on a

Z

⌦

W

✓ r⁰u^kn

1

"n@3u^kn

◆ dx=

Z

⌦

W r⁰u(x⁰) +"nx3r⁰bk(x⁰)bk(x⁰) dx et, par convergence domin´ee et continuit´e deW,

n!lim+1

Z

⌦

W

✓ r⁰u^k_n 1

"n

@3u^k_n

◆ dx=

Z

⌦

W r⁰u bk dx.

Par d´efinition de la -convergence, on en d´eduit que pour toutk2N, E(u)

Z

⌦

W r⁰u bk dx,

puis, par passage `a la limite quandk!+1et par convergence domin´ee, E(u)

Z

⌦

W r⁰u b dx= Z

⌦

W0(r⁰u)dx= Z

!

W0(r⁰u)dx⁰, o`u l’on a utilis´e le fait que la fonctionuest ind´ependante dex3.

4.3. R ´EDUCTION DE DIMENSION 57 On d´efinit, pour toutu2L^p(!;R³),

G(u) :=

8<

: Z

!

W0(r⁰u)dx⁰ siu2W^1,p(!;R³),

+1 sinon.

Nous avons montr´e jusque l`a queE  G. D’apr`es la Remarque 3.1.3-1, la -limite E est semi- continue inf´erieurement dansL^p(!;R³). Par cons´equent,Eest plus petite que la relax´ee deGdans L^p(!;R³), et donc d’apr`es le Th´eor`eme4.1.3, pour toutu2W^1,p(!;R³),

E(u) Z

!

QW0(r⁰u)dx⁰=E(u), ce qui conclut la preuve de la borne sup´erieure.

Etape 4 : conclusion.Par la propri´et´e d’Urysohn, comme la -limite est unique, on en d´eduit que c’est tout la suiteE" qui -convergence versE.

Exemple 4.3.4. Une ´energie fr´equemment rencontr´ee en ´elasticit´e non lin´eaire est celle de Saint Venant-Kirchho↵d´efinie, pour tout⇠2R^3⇥3, par

W(⇠) = µ

4tr((⇠^T⇠ I)²) +

8(tr(⇠^T⇠ I))²,

o`u 0 et µ > 0 sont les coefficients de Lam´e. Il est ´etabli dans [7, Proposition 16] que, pour tout⇠2R^3⇥2,

QW0(⇠) = E

8 v2(⇠)² 1 ²₊

+ E

8(1 ⌫²) v1(⇠)²+⌫v2(⇠)² (1 +⌫) ²₊

+ E

8(1 ⌫²)(1 2⌫) ⌫v1(⇠)²+v2(⇠)² (1 +⌫) ²₊,

o`uv1(⇠)v2(⇠) sont les valeurs propres de⇠^T⇠2R^2⇥2,E= ^{µ(3 +2µ)}_+µ est le module de Young et

⌫= _{2( +µ)} est le coefficient de Poisson.