Notes pour le cours de “L2: Groupes et g´eom´etrie”

Notes pour le cours de “L2: Groupes et g´eom´etrie”

Reda Chhaibi

2 f´ evrier 2016

1. reda.chhaibi@math.univ-toulouse.fr

2

Table des mati` eres

1 El´ ements de th´ eorie des groupes (30h) 5

1.1 Groupes, sous-groupes . . . . 5

1.1.1 Lois internes, associativit´ e et commutativit´ e . . . . 5

1.1.2 Groupes . . . . 6

1.1.3 Sous-groupes . . . . 8

1.2 Morphismes . . . . 8

1.2.1 Noyaux et injectivit´ e . . . . 9

1.2.2 Exemples . . . . 10

1.3 Une excursion en arithm´ etique . . . . 10

1.3.1 PGCD, PPCM . . . . 11

1.3.2 B´ ezout et lemme de Gauss reformul´ es . . . . 11

1.3.3 Congruences . . . . 12

1.4 Parties g´ en´ eratrices . . . . 13

1.5 Le groupe sym´ etrique . . . . 13

2 G´ eom´ etrie du plan (30h) 15

Pr´ eambule

Il s’agit simplement d’un document de r´ esum´ e des notions abord´ ees en cours. Il ne s’agit aucunement d’un polycopi´ e. Une r´ ef´ erence compl` ete utilis´ ee en cours est le livre de CALVI.

Au programme, nous ne sommes pas suppos´ es aborder la notion de groupe quotient ainsi que la relation d’´ equivalence qui lui est associ´ ee. Pourtant ce choix me forcerai ` a un certain nombre de contorsions. J’irai donc ` a l’encontre de ce choix de programme.

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4 TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1

El´ ements de th´ eorie des groupes (30h)

1.1 Groupes, sous-groupes

1.1.1 Lois internes, associativit´ e et commutativit´ e

Afin de d´ efinir la notion de groupe, il est n´ ecessaire de se placer dans un cadre abstrait qui formalise bon nombre des op´ erations que vous connaissez d´ ej` a.

D´ efinition 1.1.1 (Loi interne). Soit E un ensemble. Une loi interne ∗ sur E est une application ∗ : E × E → E. L’image de (a, b) ∈ E × E par E sera not´ ee a ∗ b.

De fa¸ con g´ en´ erale, un ensemble E muni d’une op´ eration interne ∗ sera not´ e (E, ∗).

Comme l’indique cette d´ enomination, une loi interne permet de fabriquer un ´ el´ ement de E ` a partir de deux autres ´ el´ ements donn´ es. Dans le but de g´ en´ eraliser les op´ erations d’addition +, de multiplication × ou de produit ext´ erieur ∧, la notation classique ∗(a, b) parait tr` es inadapt´ ee et peu pratique pour les calculs. L’utilisation de parenth` ese permet d’indiquer l’ordre dans lequel se font les calculs. Par exemple, l’´ ecriture (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d signifie que l’on commence par composer b et c dans la loi interne ∗. Le r´ esultat est alors compos´ e avec a ` a gauche. Ce dernier est lui-mˆ eme compos´ e ` a droite par d.

Deux propri´ et´ es cl´ es peuvent ˆ etre v´ erifi´ ees par une loi interne : (i) Associativit´ e : ∗ est dite associative lorsque :

∀a, b, c ∈ E × E × E, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (ii) Commutativit´ e : ∗ est dite commutative lorsque :

∀a, b ∈ E × E, a ∗ b = b ∗ a

Ainsi, pour une loi associative, les parenth` eses peuvent ˆ etre d´ eplac´ ees et donnent tou- jours le mˆ eme r´ esultat. Ainsi a ∗ b ∗ c donne un r´ esultat sans ambiguit´ e. Pour reprendre l’exemple pr´ ec´ edent, si ∗ est associative, il est possible d’oublier les parenth` eses et simplement ´ ecrire

(a ∗ (b ∗ c)) ∗ d = a ∗ b ∗ c ∗ d .

Dans le cadre de ce cours, toutes les lois internes que nous rencontrerons seront associatives. Cette hypoth` ese n’est ` a affaiblir que dans le cas improbable o` u nous

5

6 CHAPITRE 1. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES GROUPES (30H)

´ etudierons les octonions. A contrario, l’hypoth` ese de commutativit´ e fera souvent d´ efaut.

Un exemple non-commutatif connu est celui des matrices (M

( R ), ×). Par exemple : 0 0

1 0

0 1 0 0

= 0 0

0 1

6=

1 0 0 0

= 0 1

0 0

0 0 1 0

D´ efinition 1.1.2 (El´ ement neutre). Soit ∗ une loi interne sur un ensemble E. Nous dirons qu’un ´ el´ ement e ∈ E est un ´ el´ ement neutre lorsque pour tout a ∈ E, a ∗ e = e ∗ a = a.

Par exemple 0 est neutre pour la lois additive dans (R, +) (ou (C, +)), alors que 1 est neutre pour la loi multiplicative dans ( R

, ×). Remarquez l’utilisation de l’ar- ticle ind´ efini dans la d´ esignation d’“un ´ el´ ement neutre”. En fait, nous pouvons utiliser l’article d´ efini et parler de l’´ el´ ement neutre d’une loi interne :

Th´ eor` eme 1.1.3 (Unicit´ e de l’´ el´ ement neutre). Une loi interne admet au plus un

´ el´ ement neutre.

D´ emonstration. Supposons que e et e

soient des ´ el´ ements neutres. En utilisant la d´ efinition d’ˆ etre un ´ el´ ement neutre pour e, on a d’une part e ∗ e

= e. D’autre part, la d´ efinition appliqu´ ee ` a e

donne e ∗ e

= e

. La conjonction des deux ´ egalit´ es donne e = e

.

1.1.2 Groupes

La notion de groupe est une notion essentielle en math´ ematiques. Il a fallu cependant beaucoup de temps pour qu’elle se d´ egage comme une notion permettant de formuler des probl` emes math´ ematiques dans tous les domaines.

D´ efinition 1.1.4 (Groupe). Un ensemble (G, ∗) muni d’une loi interne est un groupe lorsque

— La loi ∗ est associative et admet un ´ el´ ement neutre e

. S’il n’y a pas d’ambiguit´ e sur le choix de neutre, ce dernier sera simplement d´ esign´ e par la lettre e.

— Pour tout x ∈ G, il existe un ´ el´ ement y ∈ G, dit sym´ etrique ou inverse, tel que x ∗ y = y ∗ x = e

— Si le groupe est commutatif, il est alors dit ab´ elien.

De la mˆ eme fa¸ con que pour l’unicit´ e de l’´ el´ ement neutre, nous avons :

Th´ eor` eme 1.1.5 (Unicit´ e de l’inverse). Dans un groupe, tout ´ el´ ement admet un unique inverse.

D´ emonstration. Supposons que y et y

soient inverse d’un ´ el´ ement x ∈ G. Nous avons alors la quadruple ´ egalit´ e :

x ∗ y = y ∗ x = x ∗ y

= y

∗ x = e . Ainsi :

⇒ y

∗ (x ∗ y) = y

(Multiplication ` a gauche par y

)

⇒ (y

∗ x) ∗ y = y

(Associativit´ e)

⇒ e ∗ y = y

(4e ´ egalit´ e)

⇒ y = y

(D´ efinition du neutre)

1.1. GROUPES, SOUS-GROUPES 7 Maintenant que nous sommes certains de l’unicit´ e de l’inverse dans un groupe, une notation sp´ ecifique peut lui ˆ etre associ´ ee. L’unique ´ el´ ement sym´ etrique de x ∈ G sera not´ e x

en g´ en´ eral.

Propri´ et´ es 1.1.6. 1. L’´ el´ ement neutre est son propre sym´ etrique. e = e

. 2. L’inverse ` a gauche est l’inverse ` a droite. Si x ∗ y = e alors y ∗ x = e et donc

y = x

. (Et vice-versa).

3. x

= x pour tout x ∈ G.

4. L’inverse d’un produit est le produit inverse des inverses. Pour tout x, x

dans G, on a :

x ∗ x

= x

∗ x

5. Plus g´ en´ eralement, pour g

, g

, . . . , g

´ el´ ements dans le groupe : (g

∗ g

∗ · · · ∗ g

)

= g

∗ · · · ∗ g

Il est tr` es utile de d´ emontrer ses propri´ et´ es afin de s’habituer aux manipulations formelles des groupes.

Exercice 1.1.7. D´ emontrer ces propri´ et´ es.

Exemples 1.1.8. 1. L’ensemble des entiers relatifs ( Z , +) est un groupe muni de l’addition habituelle. L’´ el´ ement neutre est le 0. L’inverse au sens de l’op´ eration de groupe est l’oppos´ e habituel. Il en est de mˆ eme pour (R, +) ou (R, +). Il s’agit de groupes ab´ eliens infinis.

2. Le cercle unit´ e (U, ×). Vu comme sous-ensemble de C des nombres complexes de module 1, le cercle unit´ e est muni de l’op´ eration de multiplication. L’´ el´ ement neutre est l’unit´ e 1. L’inverse d’un ´ el´ ement est son inverse au sens habituel de la multiplication sur C. Remarquons que le fait d’avoir une loi interne repose sur l’identit´ e |zz

| = |z||z

| pour deux nombres complexes z et z

. Ainsi, le produit de deux nombres de modules 1 est de module 1. Il s’agit d’un groupe ab´ elien infini.

3. Les racines n-i` emes de l’unit´ e (U

, ×). Ici : U

:=

n

e

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 o

L’´ el´ ement neutre est toujours l’unit´ e. Il s’agit d’un groupe ab´ elien. Dans ce cas, de la mˆ eme fa¸ con que nous dressions des tableaux de multiplication en

´ ecole ´ el´ ementaire, il est possible de donner une description compl` ete de la loi de groupe.

4. Le groupe lin´ eaire GL

(K) pour K = R, C ou Q.

GL

( K ) := {A ∈ M

( K ) | det A 6= 0}

L’´ el´ ement neutre est la matrice identit´ e id. Rappelons que le produit de matrices est associatif et que le calcul ne saute pas aux yeux ! Aussi la formule de Laplace donne une expression de l’inverse d’une matrice x ∈ M

( K ) d` es que det x 6= 0.

Elle stipule que :

A

=

t

com(A)

det A

8 CHAPITRE 1. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES GROUPES (30H) o` u com(A) est la comatrice de A i.e la matrice des cofacteurs. Si la formule de Laplace n’est que d’un int´ erˆ et pratique tr` es limit´ e, elle a l’avantage de prouver que l’inverse existe bien et qu’il s’agit d’une matrice ` a coefficients dans K . Enfin, notons que le groupe lin´ eaire est un groupe infini non-ab´ elien d` es que n > 1.

5. Produit direct de deux groupes. Soient (G

, ∗

) et (G

, ∗

) deux groupes. Une loi interne ∗ est d´ efinie sur le produit ensembliste G

× G

par :

(x

, x

) ∗ (y

, y

) = (x

∗

y

, x

∗

y

)

pour tout (x

, y

, x

, y

) ∈ G

× G

× G

× G

. L’´ el´ ement neutre est e

= (e

, e

). On peut v´ erifier que le produit direct de deux groupes ab´ eliens est ab´ eliens.

1.1.3 Sous-groupes

Il sera fr´ equent de construire des groupes ` a partir d’autres groupes. Dans ce cas, il y a moins d’axiomes ` a v´ erifier.

D´ efinition 1.1.9 (Sous-groupes). Soit (G, ∗) un groupe. Un sous-ensemble H ⊂ G non-vide est dit, sous-groupe de G, lorsque :

— Pour tout x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.

— Pour tout x ∈ H, x

∈ H.

Naturellement, comme nous pourrions nous en douter : Th´ eor` eme 1.1.10. Un sous-groupe est un groupe.

D´ emonstration. Soit G un groupe et H un sous-groupe. Grˆ ace au premier axiome de la d´ efinition 1.1.9, H est laiss´ e stable par la loi ∗. Ainsi la loi interne de G restreinte

`

a H est une loi interne pour H. Par restriction, le neutre de G est neutre pour H. Le deuxi` eme axiome de la d´ efinition 1.1.9 permet de s’assurer que l’inverse d’un x ∈ G est dans H.

Seulement, les axiomes formant la d´ efinition d’un sous-groupe peuvent ˆ etre ras- sembl´ es en un seul, ce qui donne une caract´ erisation plus rapidement v´ erifiable.

Proposition 1.1.11. Soit H ⊂ G non-vide. H est un sous-groupe de G si et seulement si pour toute paire (x, y) ∈ H × H, x ∗ y

∈ H.

D´ emonstration. (⇒) Il suffit d’appliquer le premier axiome de la d´ efinition 1.1.9 avec y

` a la place de y. Le deuxi` eme axiome nous assure que y

∈ H.

(⇐) Comme H est non-vide, il existe au moins un ´ el´ ement h ∈ H. Par application de l’hypoth` ese de d´ epart, e

= h ∗h

∈ H. Ainsi pour tout y ∈ H, y

= e

∗y

∈ G.

Le deuxi` eme axiome est v´ erifi´ e. Le premier suit.

1.2 Morphismes

Un homomorphisme de groupes, ou plus simplement un morphisme de groupes est

une application qui pr´ eserve la structure de groupe. Plus formellement :

1.2. MORPHISMES 9 D´ efinition 1.2.1 (Homomorphisme de groupes). Soient (G, ∗) et (G

, ◦) deux groupes.

Une application f : G → G

est qualifi´ ee de morphisme de groupe lorsque

∀a, b ∈ G × G, f (a ∗ b) = f (a) ◦ f (b) . L’ensemble des morphismes de G dans G

est not´ e Hom(G, G

).

On parle d’endomorphisme si le groupe d’arriv´ ee est identique ` a celui de d´ epart et on note End (G) = Hom (G, G

). Un morphisme de groupes bijectif est qualifi´ e d’iso- morphisme. Un isomorphisme de G dans lui-mˆ eme est appel´ e un automorphisme. On a Aut(G) ⊂ End(G).

Exercice 1.2.2. — Hom (G, G

) n’est jamais vide.

— Si f ∈ Hom (G, G

) et g ∈ Hom (G

, G

) alors g ◦ f ∈ Hom (G, G

).

— Si f ∈ Hom (G, G

) est un isomorphisme, alors l’application r´ eciproque f

est aussi un isomorphisme de groupes.

Quelques r´ esultats structurels viennent comme application de la d´ efinition. On dit commun´ ement que les morphismes “respectent les lois de groupe”.

Th´ eor` eme 1.2.3. Soient (G, ∗) et (G

, ◦) deux groupes. Consid´ erons un morphisme f ∈ Hom(G, G

).

— L’image de l’´ el´ ement neutre par un morphisme est n´ ecessairement l’´ el´ ement neutre du groupe d’arriv´ ee.

f(e

) = e

— L’image de l’inverse d’un ´ el´ ement par un morphisme est n´ ecessairement l’inverse de l’image de cet ´ el´ ement :

∀x ∈ G, f(x

) = f (x)

D´ emonstration. Pour le premier point, le fait que e

= e

∗ e

combin´ e au fait que f respecte la loi de groupe dans la d´ efinition entraˆıne que :

e

= f (e

) ◦ f (e

)

= f (e

∗ e

) ◦ f (e

)

= f (e

) ◦ f(e

) ◦ f (e

)

= f (e

) . Pour le second point, nous avons un calcul similaire :

e

= f (e

) = f(x ∗ x

) = f (x) ◦ f (x

) ,

`

a l’issue duquel nous reconnaissons la caract´ erisation de l’inverse de f (x).

1.2.1 Noyaux et injectivit´ e

Grˆ ace ` a la structure de groupe, la propri´ et´ e d’injectivit´ e est particuli` erement li´ ee ` a une nouvelle notion.

D´ efinition 1.2.4 (Noyau). Le noyau d’un morphisme de groupes ϕ : (G, ∗) → (G

, ◦) est l’ensemble

ker ϕ = {g ∈ G, ϕ(g) = e

}

Th´ eor` eme 1.2.5. Le noyau est un sous-groupe du groupe de d´ epart.

10 CHAPITRE 1. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES GROUPES (30H) D´ emonstration. Puisque ker ϕ 6= ∅, il suffit de v´ erifier que pour tout x, y ∈ ker ϕ, on a x ∗ y

∈ ker ϕ. Cel` a se v´ erifie ais´ ement :

ϕ x ∗ y

= ϕ(x) ◦ ϕ(y

) = ϕ(x) ◦ ϕ(y)

= e

◦ e

= e

Une propri´ et´ e importante du noyau est la suivante. Si g ∈ G et x ∈ ker ϕ alors le conjugu´ e de x par g est dans le noyau : g ∗ x ∗ g

∈ ker ϕ.

D´ emonstration.

ϕ g ∗ x ∗ g

= ϕ (g) ◦ ϕ (x) ◦ ϕ g

= ϕ (g) ◦ ϕ (x) ◦ ϕ (g)

= ϕ (g) ◦ e

◦ ϕ (g)

= ϕ (g) ◦ ϕ (g)

= e

Si H est un sous-groupe de G v´ erifiant cette propri´ et´ e, on parle de sous-groupe distingu´ e ou normal, ce qui est not´ e H / G.

1.2.2 Exemples

— Exponentielle et logarithme.

— Exponentielle imaginaire.

— Le d´ eterminant.

— Les automorphismes int´ erieurs.

— L’application puissance.

1.3 Une excursion en arithm´ etique

Avant de reprendre ´ etude th´ eorique et syst´ ematique de concepts de th´ eorie de groupes, prenons le temps de revisiter des notions connues. L’arithm´ etique peut ˆ etre d´ ecrite comme l’´ etude des int´ eractions entre la structure additive des entiers et leur structure multiplicative. De ce point de vue, il s’agit de comprendre comment les deux groupes ( Z , +) et ( Z

, ×) dialoguent, ainsi que leurs sous-groupes. Nous allons mainte- nant formaliser certaines notions d’arithm´ etique, connues au niveau L2, dans un langage de th´ eorie des groupes.

Remarquons d’abord que la relation de divisibilit´ e “a divise b” s’exprime comme

“b ∈ a Z ”. De plus, les ensembles de la forme a Z jouent un rˆ ole particulier. Cel` a apparait dans le lemme suivant.

Lemme 1.3.1 (Structure des sous-groupes de ( Z , +)). Un sous-groupe de ( Z , +) est n´ ecessairement de la forme n Z o` u a est un entier naturel.

D´ emonstration. Cf. Feuille de TD1.

1.3. UNE EXCURSION EN ARITHM ´ ETIQUE 11 Exercice 1.3.2. Sous quelle condition aZ est-il un sous-groupe de bZ ?

Ce lemme indique qu’un sous-groupe de Z est engendr´ e par un seul ´ el´ ement. On parle de groupe monog` ene . Notons qu’` a la fois a et −a sont g´ en´ erateurs, et qu’il n’y a pas unicit´ e des g´ en´ erateurs. Une ´ ecriture possible est aZ = hai, que nous revisiterons plus tard.

1.3.1 PGCD, PPCM

Le plus grand diviseur commun de deux entiers relatifs est not´ e a ∧ b, alors que le plus petit commun multiple est not´ e a ∨ b.

Th´ eor` eme 1.3.3 (Th´ eor` eme et d´ efinition PGCD/PPCM). Soient (a, b) ∈ Z × Z . Alors aZ + bZ et aZ ∩ bZ sont des sous-groupes de (Z, +). En fait :

aZ + bZ = a ∧ bZ a Z ∩ b Z = a ∨ b Z

D´ emonstration. D’abord il est facile de se convaincre qu’il s’agit bien de sous-groupes : Les stabilit´ es par somme et par inverse (au sens du groupe) sont imm´ ediates. Ensuite, le lemme 1.3.1 sur la structure des sous-groupes de Z nous indique a Z + b Z et a Z ∩ b Z sont monog` enes et donc n´ ecessairement de la forme a Z + b Z = d Z et a Z ∩ b Z = m Z .

Il ne reste plus qu’` a reconnaitre les deux entiers naturels d et m.

- D’une part, d = au + bv pour un certain couple (u, v) d’entiers relatifs. Or a ∧ b divise toute combinaison lin´ eaire de a et de b donc a ∧ b divise d et a ∧ b ≤ d. De la mˆ eme fa¸ con, par l’identit´ e de Bezout, il existe un autre couple (w, z) tel que a ∧ b = aw + bz ∈ a Z + b Z = d Z . Ainsi d divise a ∧ b et d ≤ a ∧ b. Nous d´ eduisons de la double in´ egalit´ e que d = a ∧ b.

- D’autre part, les ´ el´ ements de a Z ∩ b Z sont exactement les multiples communs de a et b. Cet ensemble est un groupe, et le plus petit entier non nul au sens de la valeur absolue est le g´ en´ erateur m mais aussi le PPCM !

Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent est la “bonne d´ efinition” de la notion de PGCD et PPCM.

Il permet de plus d’intuiter assez facilement les “bonnes d´ efinitions” pour le PGCD et le PPCM de n entiers a

, . . . a

.

Exercice 1.3.4. Prouver que le PGCD et le PPCM de n entiers a

, . . . a

au sens usuel sont les entiers naturels g´ en´ erateurs des groupes :

a

Z + a

Z + · · · + a

Z a

Z ∩ a

Z ∩ · · · ∩ a

Z .

1.3.2 B´ ezout et lemme de Gauss reformul´ es

La partie du th´ eor` eme 1.3.3 concernant le PGCD est en fait une reformulation de l’identit´ e de B´ ezout. Rappelons que l’identit´ e de B´ ezout affirme que si (a, b) ∈ Z

, alors il existe (u, v) ∈ Z

:

au + bv = a ∧ b .

Pour obtenir cette identit´ e, il suffit de remarquer que dans le th´ eor` eme 1.3.3 donne a ∧ b ∈ a Z + b Z .

Un autre lemme classique est le lemme de Gauss :

12 CHAPITRE 1. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES GROUPES (30H) Lemme 1.3.5 (Lemme de Gauss classique). Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls. Si a divise bc et a ∧ b = 1 alors a divise c.

Si nous prenons la peine de le reformuler dans la mˆ eme logique que pr´ ec´ edemment, nous obtenons :

Lemme 1.3.6 (Lemme de Gauss reformul´ e). Si bc ∈ a Z et a Z + b Z = Z alors c ∈ a Z . D´ emonstration.

c ∈ cZ = c (aZ + bZ) = acZ + bcZ ⊂ acZ + aZ = aZ

Exercice 1.3.7. Reconnaitre en filigrane une preuve plus conventionnelle du lemme de Gauss, qui utilise l’identit´ e de B´ ezout.

1.3.3 Congruences

Soit m ∈ N un entier naturel. Deux entiers a et b sont congrus modulo m lorsque m divise a − b ou, de fa¸ con ´ equivalente, a − b ∈ m Z . Nous notons a ≡ b mod m.

Rappelons que la relation de congruence modulo m est une relation d’´ equivalence sur les entiers Z . Afin de v´ erifier qu’il s’agit d’une relation d’´ equivalence, il faut v´ erifier les axiomes :

(R) R´ eflexivit´ e :

a ≡ a mod m (S) Sym´ etrie :

a ≡ b mod m ⇔ b ≡ a mod m (T) Transitivit´ e :

(a ≡ b mod m, b ≡ c mod m) ⇒ b ≡ a mod m

Si en g´ en´ eral, les relations d’´ equivalence ne sont pas reli´ ees ` a des groupes, la relation de congruence l’est. Il suffit de se souvenir que la congruence s’exprime comme l’ap- partenance ` a mZ, qui est un groupe. Aussi, les axiomes RST qui font de la relation de congruence une relation d’´ equivalence sont les axiomes de groupe de m Z d´ eguis´ es. En effet, (R) d´ ecoule de 0 ∈ m Z , (S) d´ ecoule de la stabilit´ e de m Z par passage ` a l’oppos´ e alors que (T) est une reformulation de la stabilit´ e par somme de m. Nous reviendrons plus en d´ etail sur de telles relations d’´ equivalences issues d’un sous-groupe.

Pour le moment, contentons nous de remarquer qu’en identifiant les entiers modulo

m, c’est-` a-dire qu’en ne travaillant qu’avec les restes {0, 1, . . . , m − 1}, nous avons un

groupe muni de la loi +. Ce groupe est not´ e Z /m Z - lire Z quotient´ e par la relation

d’´ equivalence d´ efinie par n Z . Ce groupe n’est autre que le groupe des racines m-i` emes

de l’unit´ e d´ ej` a rencontr´ e en auparavant, avec une loi not´ ee multiplicativement.

1.4. PARTIES G ´ EN ´ ERATRICES 13

1.4 Parties g´ en´ eratrices

Nous avons d´ ej` a rencontr´ e en TD des groupes monog` enes ou encore, des groupes cy- cliques. Rappelons qu’un groupe est dit monog` ene s’il est engendr´ e par un seul ´ el´ ement, et cyclique s’il est de plus fini. Dans cette section, nous nous int´ eresserons ` a une ´ etude plus syst´ ematique de ce que “ˆ etre engendr´ e par” signifie.

Un premier th´ eor` eme g´ en´ eral :

Th´ eor` eme 1.4.1. Soit (G, ∗) un groupe et F une famille non-vide de sous-groupes de G. Si

I = ∩

H

est un sous-groupe de G. Autrement dit, une intersection quelconque de sous-groupes est un groupe.

D´ emonstration. Il suffit de v´ erifier le crit` ere de sous-groupe. I est bien stable par inverse et bien stable par produit.

Ce dernier permet de d´ efinir abstraitement un sous-groupe engendr´ e par une partie A ⊂ G non-vide.

D´ efinition 1.4.2 (Groupe engendr´ e). Le sous-groupe engendr´ e par A est hAi = ∩

H .

De plus, c’est le plus petit sous-groupe de G (au sens de l’inclusion) contenant A D´ emonstration. Par le th´ eor` eme 1.4.1, hAi est bien un sous-groupe de G comme in- tersection d’une famille quelconque de sous-groupes. Cette famille est non-vide car contenant au moins le groupe G tout entier.

Afin de voir qu’il s’agit du plus petit, il suffit de constater que tout sous-groupe I contenant A apparaˆıtra dans l’intersection et donc hAi ⊂ I .

Exercice 1.4.3. Illustrer le th´ eor` eme dans le cas de Z tout en listant les sous-groupes apparaissant dans l’intersection :

hmi = ∩

H

D´ efinition 1.4.4. Un sous-groupe H de G est dit monog` ene s’il est engendr´ e par un seul ´ el´ ement i.e H = hai.

Si de plus H est fini, on dit que H est cyclique.

1.5 Le groupe sym´ etrique

Le groupe sym´ etrique (d´ efinition, cardinal, cycles, d´ ecomposition en produit de

cycles, signature). D´ efinition du groupe altern´ e. En exercice, recherche de diverses fa-

milles de g´ en´ erateurs.

14 CHAPITRE 1. EL ´ EMENTS DE TH ´ EORIE DES GROUPES (30H)

Chapitre 2

G´ eom´ etrie du plan (30h)

1. Le plan affine euclidien / le plan complexe. Objets g´ eom´ etriques fondamentaux (points droites, segment, polygones, cercles, rep` eres, barycentres, coordonn´ ees barycen- triques convexit´ e). Pas de d´ efinition d’un espace affine abstrait. Le plan affine euclidien est R

muni de la norme euclidienne usuelle. Dans tous les cas, on fera une double pr´ esentation r´ eel / complexe en insistant particuli` erement sur la pr´ esentation com- plexe. 4h 2. Transformations affines. Effets sur les objets g´ eom´ etriques fondamentaux.

Applications. Groupe des homoth´ eties-translations. Inversions, homographies. 6H 3.

Isom´ etries, classifications des isom´ etries, g´ en´ erateurs des groupes d’isom´ etries, applica- tions (dont le groupe di´ edral). 10h. 4. Formes quadratiques et coniques 10h

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