Notes du cours de g´eom´etrie

Daniele Faenzi

4 d´ecembre 2020

1. G´eom´etrie a ffi ne . . . . 5

1.I. Espaces affines . . . . 5

1.I.A. Espaces affines et direction . . . . 5

1.I.B. Sous espaces affines . . . . 6

1.I.C. Parall´elisme . . . . 7

1.I.D. Barycentres . . . . 7

1.I.E. Rep`eres et coordonn´ees . . . . 8

1.I.F. Convexes . . . 10

1.II. Applications affines . . . 12

1.II.A. Applications affines et lin´eaires . . . 12

1.II.B. Points fixes . . . 16

1.II.C. Retour sur applications affines et barycentres . . . 17

1.II.D. Groupe affine . . . 18

1.II.E. Th´eor`emes classiques de g´eom´etrie affine . . . 19

2. G´eom´etrie euclidienne . . . 23

2.I. Espaces euclidiens, rappels . . . 23

2.I.A. Produit scalaire . . . 23

2.I.B. Orthogonalit´e, bases orthonorm´ees . . . 23

2.I.C. Sous espaces, projections et sym´etries . . . 26

2.I.D. Projection orthogonale sur une droite . . . 29

2.I.E. Projection orthogonale sur un hyperplan . . . 29

2.II. Automorphismes orthogonaux . . . 31

2.II.A. Isom´etries vectorielles . . . 31

2.II.B. Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales . . . 32

2.II.C. Orbites du groupe orthogonal . . . 32

Interlude : orientation . . . 33

2.II.D. Automorphismes orthogonaux du plan . . . 33

2.II.E. Forme normale des automorphismes orthogonaux . . . 36

2.II.F. Automorphismes orthogonaux en dimension 3 . . . 38

2.III. Groupe orthogonal euclidien . . . 38

2.III.A. Centre . . . 38

2.III.B. G´en´erateurs du groupe orthogonal . . . 38

2.III.C. Compacit´e et connexit´e du groupe orthogonal . . . 40

2.III.D. D´ecomposition polaire . . . 41

2.III.E. Simplicit´e du groupe orthogonal . . . 43

2.III.F. Quaternions . . . 45

2.IV. Espaces affines euclidiens . . . 47

2.IV.A. Structure euclidienne sur un espace affine . . . 47

2.IV.B. Orthogonalit´e . . . 47

2.V. Isom´etries affines . . . 48

2.V.A. Isom´etries et automorphismes orthogonaux . . . 48

2.V.B. D´ecomposition des isom´etries . . . 49

3. G´eom´etrie projective . . . 51

3.I. Espaces projectifs . . . 51

3.I.A. Droites vectorielles . . . 51

3.I.B. Sous espaces projectifs . . . 51

3.I.C. Ouverts affines . . . 52

3.I.D. Compl´et´e projectif . . . 53

3.I.E. Rep`eres projectifs . . . 56

3.I.F. Dualit´e . . . 56

3.I.G. Th´eor`emes classiques . . . 58

3.II. Applications projectives . . . 62

3.II.A. Applications projectives et lin´eaires . . . 62

3.II.B. Applications projectives et affines . . . 63

3.II.C. Homographies et rep`eres . . . 65

3.II.D. Groupe des homographies . . . 66

3.II.E. Birapport . . . 66

3.III. Topologie des espaces projectifs r´eel et complexe . . . 68

3.III.A. Espace projectif r´eel . . . 68

3.III.B. Espace projectif complexe . . . 70

4. Groupe lin´eaire . . . 73

4.I. Propri´et´es de base . . . 73

4.I.A. G´en´erateurs . . . 73

4.I.B. Groupe lin´eaire sur un corps fini . . . 77

4.II. Simplicit´e du groupe lin´eaire projectif . . . 81

4.II.A. D´emonstration pour n ≥ 3 . . . 81

4.II.B. Le cas n = 2 et la fin de la d´emonstration . . . 82

5. Quadriques . . . 83

5.I. Quadriques projectives . . . 83

5.I.A. Formes quadratiques . . . 83

5.I.B. Quadriques projectives . . . 86

5.II. Quadriques affines . . . 89

5.II.A. Quadriques affines et polynˆomes quadratiques . . . 89

5.II.B. Quadriques centrale . . . 89

5.II.C. Compl´et´e projectif d’une quadrique affine . . . 90

5.II.D. Coniques affines . . . 90

5.II.E. Th´eor`eme de Pascal . . . 93

6. Groupe orthogonal g´en´eral . . . 97

6.I. Automorphismes orthogonaux, r´eflexions, g´en´erateurs . . . 97

6.I.A. Formes quadratiques, isotropie . . . 97

6.I.B. Sym´etries, r´eflexions . . . 97

6.I.C. G´en´erateurs . . . 98

6.II. Groupe orthogonal g´en´eral . . . .100

6.II.A. Isotropie, hyperbolicit´e . . . .100

6.II.B. Th´eor`eme de Witt . . . .102

Bibliographie . . . .105

G ´EOM ´ETRIE AFFINE

Ce chapitre est fortement inspir´e de [Aud06].

1.I. Espaces a ffi nes Fixons un corps K .

1.I.A. Espaces a ffi nes et direction. —

D´efinition 1.I.1. — Un espace affine E est un ensemble sur lequel un espace vectoriel E, appel´e direction de E op`ere simplement transitivement. Si dim(E) = n, on note dim(E) = n.

Parfois on ´ecrit #— E pour la direction E de E.

On note l’op´eration par une somme, ´etant donn´e P ∈ E et v ∈ E, P + v le point de E r´esultat de v qui op`ere sur P .

Soit P , Q ∈ E. Alors il existe un et un seul vecteur de E qui am`ene P sur Q, on le note

# —

P Q. On appelle # —

P Q le vecteur libre de P `a Q. Bien s ˆur P + # —

P Q = Q et # —

P Q = − # — QP , # —

P P = 0. Les axiomes d’op´eration de groupe disent que, pour tout u, v ∈ E et P ∈ E :

P + (u + v ) = (P + u) + v,

o `u pas tous les signes + n’ont pas la mˆeme signification (en cas de doute on pourra ´ecrire par exemple P + _E (u + _E v) = (P + _E u) + _E v).

L’application E × E → E qui `a (P , Q) associe # —

P Q est bijective `a P fix´e, ou `a Q fix´e.

Exemple 1.I.2. — L’exemple de base est E = E. L’op´eration est donn´ee par la somme (d’o `u la notation) : si u ∈ E et v ∈ E, alors u + _E v = u + _E v. On appelle E la structure canonique d’espace affine. On a alors, si uv # — = v − u.

Remarque 1.I.3. — On a la r`egle du parall´elogramme, qui affirme que, si A, A ⁰ , B, B ⁰ sont des points d’un espace affine E, alors # —

AA ⁰ = # —

BB ⁰ si et seulement si # — AB = # —

A ⁰ B ⁰ . D´emonstration. — On a # —

AB ⁰ = # — AA ⁰ + # —

A ⁰ B ⁰ = # — AB + # —

BB ⁰ . Ainsi, # — AA ⁰ = # —

BB ⁰ implique # — AB = # —

A ⁰ B ⁰ , et r´eciproquement.

D´efinition 1.I.4. — Vectorialiser un espace affine E de direction E en un point O ∈ E consiste `a consid´erer la bijection Θ _O : E → E qui envoie P en # —

OP .

On voit que E, vectorialis´e en O, poss`ede une structure de K -espace vectoriel, avec O, identifi´e `a # —

OO = 0 comme origine.

Exercice 1.I.5. — Si on consid`ere la structure canonique d’espace affine sur un espace vec- toriel E, et u ∈ E, alors pour w ∈ E on a Θ _u (w) = { w − u | w ∈ E } .

1.I.B. Sous espaces a ffi nes. —

1.I.B.1. Sous espaces affines et vectoriels. —

D´efinition 1.I.6. — Une partie F d’un espace affine E est un sous espace affine s’il existe P ∈ F tel que Θ _P (F) est un sous espace vectoriel de E.

On pourra remarquer que, pour tout P , Q ∈ F, on a : Θ _Q (F) = { # —

QM | M ∈ F } = # —

QP + { # —

P M | M ∈ F } = # —

QP + Θ _P (F).

Or, si Θ _P (F) est un sous espace vectoriel de E, comme # —

QP = − # —

P Q appartient `a Θ _P (F) : on trouve alors Θ _Q (F) = Θ _P (F). Ainsi, pour v´erifier si F est un sous espace affine, on peut choisir n’importe quel point P est v´erifier si Θ _P (F) est un sous espace vectoriel de E.

Exemple 1.I.7. — On se donne un syst`eme lin´eaire dans K ⁿ de la forme :



 

 



 

 



a 1,1 x 1 + · · · + a 1,n x n = b 1

.. .

a m,1 x 1 + · · · + a m,n x n = b m

Les solutions x = (x ₁ , . . . , x _n ) du syst`eme sont de la forme x = x <sup>0</sup> + y o `u x ⁰ est une solution fix´ee du syst`eme de d´epart et y = (y <sub>1</sub> , . . . , y <sub>n</sub> ) est solution du syst`eme homog`ene :



 

 



 

 



a 1,1 y 1 + · · · + a 1,n y n = 0 .. .

a m,1 y 1 + · · · + a m,n y n = 0

Il s’agit d’un sous espace affine de K ⁿ , de la forme x ⁰ + E, o `u E est le sous espace lin´eaire de K <sup>n</sup> des solutions du syst`eme homog`ene.

Exemple 1.I.8. — Si f : E → F est une application lin´eaire de E vers F, K-espaces vecto- riels, alors pour v ∈ Im(f ), la fibre E _v = f ^{− 1} (v ) est un sous espace affine de E, muni de sa structure canonique d’espace affine. En effet, il existe u ∈ E _v puisque v ∈ Im(f ). On vecto- rialise E _v en u, donc :

Θ _u (E v ) = { w − u | f (w) = v } = { z | f (z) = 0 } = ker(f ),

parce que z = w − v satisfait f (z) = 0 si et seulement si f (w) = v. Le sous espace E _v est donc dirig´e par ker(f ).

Remarque 1.I.9. — Si (F _i ) _i ∈ I est une famille de sous espaces affine de E et F = ∩ _{i ∈ I} F _i , ∅ , alors F est un sous espace affine de E, dirig´e par ∩ _{i ∈ I} #— F i .

D´emonstration. — ´Etant donn´e O ∈ F, on a F _i = Θ _O (F i ) sous espace vectoriel de E, donc F = ∩ _{i ∈ I} F _i est un sous espace vectoriel de E et F = Θ _O (F) du fait que Θ _O est bijective.

1.I.B.2. Sous espaces affine engendr´e par une partie. — L’intersection non vide de sous es- paces affines est un sous espace affine. Ceci permet d’´etudier facilement la notion de sous espace affine engendr´e par une partie.

D´efinition 1.I.10. — Si A , ∅ est une partie de E, on appelle espace affine engendr´e par A les plus petit sous espace affine de E contenant A. On le note aff(A).

Remarque 1.I.11. — Pour A ⊂ E non vide, aff(A) est l’intersection des sous espaces affines

de E contenant A. Si O ∈ A, on a aff(A) = O + vect(Θ _O (A)).

D´emonstration. — On sait que cette intersection, not´ee F, est un sous espace affine de E qui contient A. Pour voir qu’elle est minimale, on prend un espace affine F ⁰ contenant A, donc F ⊂ F ⁰ puisque F ⁰ fait partie de la famille de sous espaces dont l’intersection est F.

1.I.B.3. Intersection d’espaces affines. —

Proposition 1.I.12. — Soit F et G sous espaces affines de E, dirig´es par F et G. Alors F ∩ G , ∅ si et seulement si, ´etant donn´es P ∈ F et Q ∈ G, on a # —

P Q ∈ F + G. En particulier, si F + G = E, on a F ∩ G , ∅ .

Dans la proposition, il suffit de v´erifier qu’il existe P ∈ F et Q ∈ G tels que # —

P Q ∈ F +G pour conclure F ∩ G , ∅ . On aura alors que, pour tout P ∈ F et Q ∈ G, le vecteur # —

P Q appartient `a

∈ F + G.

D´emonstration. — Si M ∈ F ∩ G, alors # —

P M ∈ F et # —

QM ∈ G donc # —

P Q = # — P M − # —

QM ∈ F + G.

R´eciproquement, si # —

P Q ∈ F + G alors # —

P Q s’exprime comme somme de vecteurs F et de G.

Ces vecteurs ont la forme # —

P M et − # —

QN , pour M ∈ F et N ∈ G. Mais # — P Q = # —

P M − # —

QN implique 0 = # —

P M − # —

N P donc N = M et F ∩ G contient M = N . 1.I.C. Parall´elisme. —

D´efinition 1.I.13. — Soit F et G sous espaces affines d’un espace affine E. On dit que F et G sont parall`eles si #— F = #— G .

Exemple 1.I.14. — Dans l’exemple 1.I.8, quelque soient u, v ∈ F , les sous espaces E u et E v

sont parall`eles.

Remarque 1.I.15. — Si F et G sont parall`eles, F = G ou alors F ∩ G = ∅ . D´emonstration. — S’il existe P ∈ F ∩ G, alors F = P + #— F = P + #— G = G.

Remarque 1.I.16. — Soit P ∈ E et F un sous espace affine de E. Alors il existe un et un seul sous espace affine G de E parall`ele `a F et passant par P .

D´emonstration. — Le sous espace P + F #— parall`ele `a F et passe par P . Si G est un autre sous espace par P et parall`ele `a F, on a #— G = #— F et P ∈ G donc G = F + #— F.

Corollaire 1.I.17. — Soit F sous espace affine de E, de direction F ⊂ E. Soit G un suppl´ementaire de F dans E. Alors tout sous espace affine de E dirig´e par G rencontre F en un et un seul point.

D´emonstration. — Soit G sous espace affine de E dirig´e par G. La proposition 1.I.12 dit que G ∩ F n’est pas vide car E = F + G. Il s’agit donc d’un sous espace affine de E, dirig´e par F ∩ G = { 0 } . Cet espace consiste donc d’un seul point.

1.I.D. Barycentres. —

1.I.D.1. D´efinition de barycentre. —

D´efinition 1.I.18. — Soit E un espace affine et (A 1 , . . . , A _k ) points de E. Soit (λ 1 , . . . , λ _k ) ∈ K ^k , avec :

X k

i=1

λ i , 0.

Alors il existe un et un seul point G de E, le barycentre de la famille de points pond´er´es (A _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k tel que :

(1)

X k

i=1

λ _i # — GA _i = 0.

Posons λ = P k

i=1 λ _i . Alors, quelque soit O ∈ E, on a :

(2) λ # —

OG = X k

i=1

λ _i # — OA _i . On note G = Bary(A i , λ i ) i ∈ ~1,k .

On d´emontre que la d´efinition est bien pos´ee. Pour montrer que G existe, nous prenons Q ∈ E et, comme λ , 0 nous pouvons poser :

G = Q + 1 λ

X k

i =1

λ _i # — QA _i .

Donc la relation (2) est valide si O = Q. Montrons qu’elle reste alors valide quelque soit O.

On ´ecrit : λ # —

OG = λ # — OQ + λ # —

QG = λ # — OQ +

X k

i =1

λ _i # — QA _i =

X k

i=1

λ _i ( # — OQ + # —

QA _i ) = X k

i=1

λ _i # — OA _i .

On peut enfin d´eduire (1). En effet, comme (2) est valide pour tout O, elle est valide aussi pour O = G, auquel cas l’´equation devient (1).

1.I.D.2. Associativit´e du barycentre. — Soit k ₁ , . . . , k _s entiers et, pour tout i ∈ ~1, s, consid´erons des familles de points pond´er´es (A _i,j , λ _i,j ) _j ∈ ~1,k

 de E avec :

µ _i :=

k

X

j=1

λ _i,j , 0.

Posons B _i = Bary(A _i,j , λ _i,j ) _j ∈ ~1,k

 . Notons I = { (i, j) | ∀ i ∈ ~1, s, j ∈ ~1, k _i  } . Proposition 1.I.19. — On a Bary(B i , µ i ) i ∈ ~1,s = Bary(A i,j , λ i,j ) (i,j) ∈ I .

D´emonstration. — Posons G = Bary(B _i , µ _i ) _i ∈ ~1,s et G ⁰ = Bary(A _i,j , λ _i,j ) _(i,j) ∈ I . Pour i ∈ ~1, s

on a P

j ∈ ~1,k

 λ _i,j # —

B _i A _i,j = 0. Aussi nous avons P

i ∈ ~1,s µ _i # —

GB _i = 0. Donc : X

(i,j) ∈ I

λ _i,j # — GA _i,j = X

i ∈ ~1,s

X

j ∈ ~1,k



λ _i,j # — GA _i,j = X

i ∈ ~1,s

X

j ∈ ~1,k



λ _i,j ( # —

GB _i + # — B _i A _i,j )

= X

i ∈ ~1,s



 

 

 

 X

j ∈ ~1,k



λ _i,j



 

 

 



# — GB _i + X

i ∈ ~1,s

X

j ∈ ~1,k



λ _i,j # — B _i A _i,j =

= X

i ∈ ~1,s

µ i # — GB i = 0.

Donc G = G ⁰ .

1.I.E. Rep`eres et coordonn´ees. —

1.I.E.1. Rep`eres cart´esiens. —

D´efinition 1.I.20. — Soit E un espace affine de direction E et dimension n < ∞ et soit O ∈ E et B = (e ₁ , . . . , e _n ) une base de E. On dit que R = (O, B) est un rep`ere cart´esien sur E. Pour tout P ∈ E, il existe un et un seul vecteur colonne X = <sup>t</sup> (x <sub>1</sub> , . . . , x <sub>n</sub> ) ∈ K <sup>n</sup> avec (x <sub>1</sub> , . . . , x <sub>n</sub> ) ∈ K <sup>n</sup> tel que P = O + x <sub>1</sub> e <sub>1</sub> + · · · + x <sub>n</sub> e <sub>n</sub> . On dit que x est le vecteur des coordonn´ees cart´esiennes de P en le rep`ere R.

Remarque 1.I.21. — Soit R = (O, B) et R ⁰ = (O ⁰ ,B ⁰ ) rep`eres cart´esiens de E. Alors, pour i, j ∈ ~1, n, il existe a _i,j ∈ K et c _i ∈ K tels que :

e _j ⁰ = X n

i=1

a _i,j e _i , # — OO ⁰ =

X n

i=1

c _i e _i .

On ´ecrit la matrice P = (a _i,j ), autrement dit, si on anticipe un peu sur §1.II.A.9 : P = Mat _B,B

(id _E ),

et c = ^t (c ₁ , . . . , c _n ). Les ´equations deviennent B ⁰ = BP et # —

OO ⁰ = Bc. On trouve donc P =

O + Bx = O + # —

OO ⁰ + B ⁰ x ⁰ = O + Bc + BP x ⁰ , ce qui implique : x = c + P x ⁰ .

Bien s ˆur on trouve :

x ⁰ = P ^{− 1} x − P ^{− 1} c.

On utilisera parfois la convention Mat _R (P ) = ^t (1, x ₁ , . . . , x _n ) au lieu de (x ₁ , . . . , x _n ). Dans ce cas, la formule de passage de base devient :

Mat _R (P ) = Mat _R,R

(id _E )Mat _R

(P ), o `u Mat _R,R

(id _E ) = 1 0 c P

! . On retrouve :

Mat _R

_,R (id _E ) = Mat _R,R

(id _E ) ^{− 1} = 1 0

− P ^{− 1} c P ^{− 1}

! .

1.I.E.2. Coordonn´ees barycentriques. — Soit dim(E) = n < ∞ et prenons A ₀ , . . . , A _k points de E, avec k ≤ n. Notons, pour i ∈ ~1, k, e _i = # —

A ₀ A _i . On a

aff(A 0 , . . . , A k ) = A 0 + vect(e 1 , . . . , e k ),

donc dim(aff(A 0 , . . . , A k )) ≤ k, l’´egalit´e ´etant atteinte si et seulement si (e ₁ , . . . , e k ) est une famille libre dans E. Il est clair que ceci ne d´epend du choix de 0 comme indice privil´egi´e, ainsi cela est ´equivalent `a ce que, quelque soit i ∈ ~0, k, la famille suivante soit libre :

( # —

A _i A ₀ , . . . , # — A _i A _i − 1 , # —

A _i A _{i +1} , . . . , # — A _i A _k ).

Remarque 1.I.22. — L’ensemble des barycentres de A ₀ , . . . , A _k est aff(A 0 , . . . , A _k ).

D´emonstration. — Qu’un point P soit l’un de ces barycentres veut dire P = Bary((A _i , λ _i ) _i ∈ ~0,k ) pour certains λ ₀ , . . . , λ _k ∈ K avec λ = λ ₀ + · · · + λ _k , 0.

Ainsi, lorsque P est l’un de ces barycentres on a :

# — A 0 P = 1

λ

k

X

i =1

λ i # — A 0 A i , donc P ∈ A ₀ + vect(e ₁ , . . . , e _k ) = aff(A 0 , . . . , A _k ).

Inversement, pour λ ₁ , . . . , λ _k donn´es, on pose λ ₀ = 1 − P k

i=1 λ _i et on trouve, lorsqu’on ´ecrit

# — A ₀ P = P k

i=1 λ _i # —

A ₀ A _i , que P = Bary((A _i , λ _i ) _i ∈ ~0,k ).

D´efinition 1.I.23. — Soit (A ₀ , . . . , A _n ) points de E tels que aff(A 0 , . . . , A _n ) = E. Alors on dit que (A ₀ , . . . , A _n ) est un rep`ere affine de E.

Remarque 1.I.24. — Soit R = (A ₀ , . . . , A _n ) un rep`ere affine de E et P ∈ E. Alors il existe un et un seul vecteur λ = ^t (λ 0 , . . . , λ n ) ∈ K ⁿ⁺¹ tel que P n

i=0 λ i = 1 et P = Bary((A i , λ i ) i ∈ ~0,n ).

D´emonstration. — On a d´ej`a vu l’existence. Quant `a l’unicit´e, si (λ ⁰ ₀ , . . . , λ ⁰ _n ) satisfait aussi les conditions, on a :

n

X

i=1

λ i # — A 0 A i =



 

 

 

n

X

i =0

λ i



 

 

 

# — A 0 P = # —

A 0 P =

n

X

i =1

λ ⁰ _i # — A 0 A i ,

donc λ _i = λ ⁰ _i pour tout i ∈ ~1, n, puis aussi λ ₀ = λ ⁰ ₀ grˆace `a la condition P n

i=0 λ _i = 1 = P _n

i=0 λ ⁰ _i .

D´efinition 1.I.25. — On appelle λ de la remarque pr´ec´edente le vecteur des coordonn´es barycentriques de P en le rep`ere R, not´e Mat _R (P ) = ^t (λ ₀ , . . . , λ _n ).

1.I.E.3. Passage entre coordonn´ees cart´esiennes et barycentriques. — Soit B = (e ₁ , . . . , e n ) une base de E et O ∈ E. Alors R = (O,B) est un rep`ere cart´esien de E. De plus S = (O, O + e <sub>1</sub> , . . . , O + e <sub>n</sub> ) est un rep`ere affine de E. Soit P ∈ E.

Remarque 1.I.26. — Soit Mat _R = ^t (1, x ₁ , . . . , x n ) et Mat _S = ^t (λ ₀ , . . . , λ n ). Alors (λ ₀ , . . . , λ n ) = (1 −

n

X

i=1

x i , x 1 , . . . , x n ),

(1, x ₁ , . . . , x _n ) = ( X n

i=0

λ _i , λ ₀ , . . . , λ _n ).

1.I.F. Convexes. — Ici, nous prenons K = R.

D´efinition 1.I.27. — Une partie C d’un espace affine E est convexe si, pour tout P , Q ∈ A, le segment [P , Q] = { P + t # —

P Q | t ∈ [0,1] } est contenu dans C.

Remarque 1.I.28. — Si (C i ) i ∈ I sont convexes, alors C = ∩ _{i ∈ I} C i est convexe.

D´emonstration. — Soit P , Q ∈ A. Alors [P , Q] est contenu dans tous C i car C i est convexe.

Ainsi [P , Q] est contenu dans C.

D´efinition 1.I.29. — Soit A une partie non vide de E. L’enveloppe convexe de A, not´ee conv(A), est le plus petit convexe de C contenant A.

Proposition 1.I.30. — On a conv(A) = { Bary(A i , λ i ) i ∈ ~1,k | λ i ≥ 0, k ≥ 1, ∃ λ i > 0 } . D´emonstration. — Soit C = { Bary(A _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k | λ _i ≥ 0, k ≥ 1, ∃ λ _i > 0 } .

Pour montrer C ⊂ conv(A), il faut montrer que C est contenu dans tout convexe D conte- nant A. Pour le faire, on doit montrer que tout barycentre G = Bary(A _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k appartient

`a D. Faisons-le par r´ecurrence sur k. Si k = 1, c’est clair car alors G ∈ A ⊂ D. Supposons alors que tout barycentre `a coefficients positifs de k − 1 points de A soit dans D et consid´erons G = Bary(A _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k . Il existe i ∈ ~1, k tel que λ _i > 0, disons i = k quitte `a permuter les indices. Si λ i = 0 pour tout i ∈ ~1, k − 1 en fait G = A k et l’´enonc´e est valide. Sinon on peut appliquer `a G ⁰ = Bary(A _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k − 1 l’hypoth`ese de r´ecurrence pour conclure que G ⁰ ∈ D.

Alors G = Bary((G ⁰ , λ ⁰ ),(A _k , λ _k )) par associativit´e des barycentres, o `u λ ⁰ = P k − 1

i=1 λ _i > 0. Donc G ∈ [G ⁰ , A _k ] appartient `a D par convexit´e de D.

R´eciproquement, on peut montrer que C est convexe pour conclure que, comme il

contient ´evidemment A, il contient conv(A). On prend donc deux points de C, i.e. deux

barycentres G et G ⁰ `a coefficients positifs de points de A. Un point de [GG <sup>0</sup> ] ´etant un ba- rycentre `a coefficients positifs de G et G ⁰ , par associativit´e il est encore un barycentre `a coefficients positifs de points de A, donc un ´el´ement de C.

On peut raffiner le r´esultat pr´ec´edent et obtenir un th´eor`eme de Carath´eodory.

Th´eor`eme 1.I.31. — Soit E espace affine r´eel de dimension n et A ⊂ E. Alors conv(A) =



 

 

 

 

Bary((A _i , λ _i ) _i ∈ ~0,n ) | λ _i ≥ 0, X

i ∈ ~0,n

λ _i = 1



 

 

 

  .

D´emonstration. — Soit C l’ensemble des barycentres de n + 1 points de A. D’apr`es la pro- position pr´ec´edente, C ⊂ conv(A). Il s’agit de montrer que conv(A) ⊂ C.

Soit alors P ∈ conv(A), donc d’apr`es la proposition pr´ec´edente il existe p ∈ N, A ₀ , . . . , A _p ∈ A et (λ 0 , . . . , λ p ) ∈ R ^p+1 + \ { 0 } tels que P = Bary((A i , λ i ) i ∈ ~0,p ). Fixons O ∈ E. On a donc :

# — OP =

p

X

i=0

λ _i # — OA _i .

Si p ≤ n, l’´enonc´e est montr´e. Nous montrerons que, si p ≥ n+1, alors il existe µ 0 , . . . , µ _p ≥ 0 tels que :

P = Bary((A _i , µ _i ) _i ∈ ~0,p ), X

i ∈ ~0,p

µ _i = 1, ∃ j ∈ ~0, p | µ _j = 0.

De cette fac¸on, on exprimera P comme barycentre de p points au lieu de p + 1 et, par r´ecurrence sur p − n, on aura montr´e l’´enonc´e.

Pour trouver les µ _i , on proc`ede comme suit. D’abord, comme p ≥ n + 1, la famille ( # —

A ₀ A ₁ , . . . , # —

A ₀ A _p ) est li´ee, donc il existe (α ₁ , . . . , α _p ) ∈ R ^p \ { 0 } tel que :

p

X

i=1

α i # — A 0 A i = 0.

Ensuite, on pose α ₀ = − P p

i=1 α _i de sorte que P p

i=0 α _i = 0. On trouve alors :

p

X

i=0

α _i # —

OA _i = α ₀ # — OA ₀ +

p

X

i=1

α _i ( # — OA ₀ + # —

A ₀ A _i ) = α ₀ # — OA ₀ +

p

X

i=1

α _i # — OA ₀ = 0.

Par cons´equent, quelque soit t ∈ R, on peut ´ecrire :

# — OP =

p

X

i=0

(λ _i + tα _i ) # — OA _i ,

Nous allons choisir t de sorte que cette nouvelle expression soit `a coefficients positifs.

Remarquons d’abord que P p

i=0 α i = 0 implique, comme (α 0 , . . . , α p ) , { 0 } , qu’il existe i ∈

~0, n tel que α _i < 0. Ainsi on peut d´efinir : t ₀ = min

(

− λ _i α _i

i ∈ ~0, p, α _i < 0 )

. Soit j ∈ ~0, p un indice tel que t ₀ = − ^λ

α

. Posons enfin, pour tout i ∈ ~0, p :

µ _i = λ _i + t ₀ α _i .

On a t 0 ≥ 0 donc µ i ≥ 0 si λ i ≥ 0. De plus, µ i ≥ 0 si λ i < 0 car alors t 0 ≤ − ^λ

α

. Aussi : X

i ∈ ~0,p

µ i = X

i ∈ ~0,p

λ i + t 0 α i = 1 + t 0

X

i ∈ ~0,p

α i = 1.

Nous avons trouv´e P = Bary((A _i , µ _i ) _i ∈ ~0,p ) avec µ _j = 0 et µ _i ≥ 0 pour tout i ∈ ~0, p.

Corollaire 1.I.32. — L’enveloppe convexe d’un compact d’un espace affine r´eel E de dimension finie n < ∞ est compacte.

D´emonstration. — Soit K le compact en question. On a le simplexe :

∆ = { (λ 0 , . . . , λ n ) ∈ R ⁿ⁺¹ + | X n

i=0

λ i = 1 } .

Il s’agit d’un compact de R ⁿ⁺¹ (born´e et ferm´e). On d´efinit l’application barycentre : Φ : ∆ × K ⁿ⁺¹ → E

par la loi :

Φ : ((λ ₀ , . . . , λ _n ), (A ₀ , . . . , A _n )) 7→ Bary((A _i , λ _i ) _i ∈ ~0,n ).

Une fois vectorialis´ee, Φ est lin´eaire, donc continue. Comme ∆ × K ⁿ⁺¹ est aussi compact, l’image de Φ est un compact de E. D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, il s’agit de conv(K).

1.II. Applications affines

Nous noterons toujours E et F espaces affines de directions E et F . 1.II.A. Applications affines et lin´eaires. —

1.II.A.1. Partie lin´eaire d’une application affine. —

D´efinition 1.II.1. — Soit ϕ : E → F une application. On dit que ϕ est affine s’il existe O ∈ E et f : E → F lin´eaire tels que ϕ(P ) = ϕ(O) + f ( # —

OP ), quelque soit P ∈ E.

On peut ´ecrire l’´egalit´e ϕ(P ) = ϕ(O) + f ( # —

OP ) aussi f ( # —

OM) = # — ϕ(O)ϕ(M).

Remarque 1.II.2. — L’application f ne d´epend pas de O. On la note ϕ #— et on l’appelle la partie lin´eaire de ϕ.

D´emonstration. — Soit Q ∈ E et g : E → F lin´eaire tels que ϕ(P ) = ϕ(Q) + g ( # —

QP ), quelque soit P ∈ E. Alors g( # —

QP ) = # —

ϕ(Q)ϕ(P ). Par ailleurs : f ( # —

QP ) = f ( # —

QO + # —

OP ) = f ( # —

QO) + f ( # —

OP ) = # —

ϕ(O)ϕ(P ) − # —

ϕ(O)ϕ(Q) = # — ϕ(Q)ϕ(P ), donc f ( # —

QP ) = g ( # —

QP ), ce qui implique f = g.

Remarque 1.II.3. — Soit ϕ : E → F affine et O ∈ E. Alors Θ _ϕ(O) ◦ ϕ ◦ Θ _O ^{− 1} : E → F est lin´eaire.

1.II.A.2. Applications affines et barycentres. —

Proposition 1.II.4. — Soit ϕ : E → F une application affine. Alors, pour tout choix de P 1 , . . . , P k

points de E et λ 1 , . . . , λ k ∈ K avec λ = P k

i=1 λ i , 0 on a :

ϕ(Bary((P _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k )) = Bary((ϕ(P _i ), λ _i ) _i ∈ ~1,k ).

D´emonstration. — Soit G = Bary((P _i , λ _i ) _i ∈ ~1,k ). On a donc :

k

X

i=1

λ i # — GP i = 0.

Ainsi, grˆace `a la lin´earit´e de ϕ #— , on trouve : X k

i=1

λ _i # — ϕ(G)ϕ(P _i ) =

X k

i=1

λ _i ϕ #— ( # — GP _i ) = 0, ce qui exprime ϕ(G) = Bary((ϕ(P i ), λ i ) i ∈ ~1,k ).

1.II.A.3. Translations. —

D´efinition 1.II.5. — Si v ∈ E, la translation t _v : E → E est l’application P 7→ P + v. Il s’agit d’une bijection affine de E, d’inverse t − v .

Proposition 1.II.6. — Une application affine ϕ : E → E est une translation si et seulement si on a ϕ #— = id E .

D´emonstration. — Soit O, P ∈ E. On regarde les points O, ϕ(O), P , ϕ(P ). On sait que ϕ est une translation ssi ϕ(P ) = P + v pour un certain v ∈ E fix´e, i.e. ssi pour tout O, P ∈ E :

# —

P ϕ(P ) = v = # —

Oϕ(O), donc ssi # —

OP = # —

ϕ(O)ϕ(P ) = ϕ #— ( # — OP ), d’apr`es la r`egle du parall´elogramme. Ceci est donc ´equivalent `a ce que ϕ #— = id _E .

1.II.A.4. Projections. — Soit F un sous espace affine de E et G un suppl´ementaire de F = #— F dans E = #— E . On d´efinit la projection.

D´efinition 1.II.7. — La projection de E sur F parall`ele `a G est l’application π : E → F qui,

`a chaque point P ∈ E, associe F ∩ G P , o `u G P est le sous espace affine de E parall`ele `a G et passant par P .

La d´efinition est bien pos´ee d’apr`es la proposition 1.I.17.

Proposition 1.II.8. — La projection π est une application affine, dont la partie lin´eaire π #— est la projection p : E → F parall`ele `a G.

D´emonstration. — Fixons O ∈ F. On a π(O) = O car O = G O ∩ F. Soit maintenant P ∈ E. On

´ecrit de mani`ere unique # —

OP = u + v avec u = p( # —

OP ) ∈ F et v ∈ G, donc O + u ∈ F. De plus,

O + u = O + # —

OP − v = P − v, ce qui appartient `a G P = P + G.

Donc π(P ) = O + u = O + p( # —

OP ) et comme O = π(O) aussi π(P ) = O + π #— ( # —

OP ), autrement

dit π #— = p, ce qui montre les deux ´enonc´es.

1.II.A.5. Sym´etries. — Soit F un sous espace affine de E et G un suppl´ementaire de F = #— F dans E = #— E .

D´efinition 1.II.9. — La sym´etrie σ : E → E d’axe F parall`ele `a G est l’application qui, `a chaque point P ∈ E, associe σ (P ) = P + 2 # —

P π(P ).

Proposition 1.II.10. — La sym´etrie σ est une application affine, dont la partie lin´eaire σ #— est la sym´etrie s : E → E d’axe F parall`ele `a G, et satisfaisant σ ² = id _E .

D´emonstration. — Fixons O ∈ F, donc σ (O) = O. Soit P ∈ E. On ´ecrit, comme dans la preuve de la proposition 1.II.8, # —

OP = u + v avec u = p( # —

OP ) ∈ F et v ∈ G, et on rappelle π(P ) = P − v, donc # —

P πP = − v et # —

P σ(P ) = − 2v. On ´ecrit : σ #— ( # —

OP ) = # —

Oσ(P ) = # —

OP + # —

P σ(P ) = u + v − 2v = u − v = s( # — OP ), ce qui montre que #— σ est la sym´etrie s : E → E d’axe F parall`ele `a G.

Enfin pour montrer σ ² = id _E on v´erifie que, pour P ∈ E et Q = σ (P ), on a P = Q+2 # — Qπ(Q), ce qui ´equivaut `a # —

QP = 2 # —

Qπ(Q). Pour le v´erifier on remarque que, comme π(Q) = π(P ), on a # —

P π(P ) = # —

π(P )Q = # —

π(Q)Q, donc # —

QP = − # —

P Q = − 2 # —

P π(P ) = 2 # — Qπ(Q).

1.II.A.6. Composition d’applications affines. —

Remarque 1.II.11. — La composition de deux applications affines ψ et ϕ l’est aussi, et

# — ψ ◦ ϕ = #—

ψ ◦ ϕ. #—

D´emonstration. — Soit ϕ : E → F et ψ : F → G applications affines et choisissons O ∈ E. On a donc, pour P ∈ E, Q ∈ F, ϕ(P ) = ϕ(O) + ϕ #— ( # —

OP ) et ψ(Q) = ψ(ϕ(O)) + #—

ψ ( # —

ϕ(O)Q). Donc : ψ(ϕ(P )) = ψ(ϕ(O)) + #—

ψ( # —

ϕ(O)ϕ(P )) = ψ(ϕ(O)) + #—

ψ( ϕ #— ( # — OP )), donc, #—

ψ ◦ ϕ #— ´etant lin´eaire, on a ψ ◦ ϕ affine. Nous avons montr´e que # — ψ ◦ ϕ = #—

ψ ◦ ϕ #— . 1.II.A.7. Applications affines et translations. —

Remarque 1.II.12. — Soit ϕ : E → E affine et O ∈ E. Alors il existe unique (ψ, u) avec ψ : E → E affine qui fixe O et ϕ = t u ◦ ψ.

D´emonstration. — On prend u = # —

Oϕ(O) puis ψ = t − u ◦ ϕ. On trouve ψ(O) = ϕ(O) − u = O, donc ψ fixe O. Pour l’unicit´e, si t _u ◦ ψ = t _u

◦ ψ ⁰ alors ψ et ψ ⁰ ont mˆeme partie lin´eaire, donc elles sont ´egales puisqu’elles fixent O toutes les deux. Par cons´equent, u = u ⁰ .

1.II.A.8. Homoth´eties. —

D´efinition 1.II.13. — L’homoth´etie affine de centre O ∈ E et rapport λ ∈ K ^∗ est l’application affine ϕ : E → E d´efinie par ϕ(P ) = O + λ # —

OP .

Remarque 1.II.14. — On a les propri´et´es suivantes.

i) Une application affine ϕ est une homoth´etie de rapport λ si et seulement si ϕ poss`ede un point fixe et ϕ #— = λid _E .

ii) Si ϕ est une homoth´etie de centre O et rapport λ et ψ est une transformation affine, alors ψϕψ ^{− 1} est une homoth´etie de centre ψ(O) et rapport λ.

iii) Une application affine ϕ est composition d’une homoth´etie de rapport λ et d’une translation si et seulement si ϕ #— = λid _E .

iv) La composition (peu importe en quel ordre) d’homoth´eties ϕ ₁ , . . . , ϕ _r et translations

t ₁ , . . . , t _s est de la forme t ◦ ϕ, avec t translation et ϕ homoth´etie.

D´emonstration. — Le premier ´enonc´e est clair.

Pour le deuxi`eme, soit O le centre de ϕ et Q = ψ(O). On calcule ψϕψ ^{− 1} (Q) = ψ(ϕ(O)) = Q. Aussi, on voit que #—

ψ = λid _E , ce qui prouve l’´enonc´e.

Ensuite, la composition ϕ d’une homoth´etie de centre rapport λ et d’une translation satisfait #— ϕ #— = λid _E . R´eciproquement, on fixe O ∈ E et on ´ecrit ϕ = t _u ◦ ψ avec ψ(O) = O, alors ψ = λid _E donc ψ est une homoth´etie de rapport λ et centre O.

Pour le dernier ´enonc´e, la composition ϕ en question satisfait ϕ #— = λ ₁ · · · λ _s id _E , o `u λ _i est le rapport d’homoth´etie de ϕ _i , c’est donc la composition d’une translation et d’une homoth´etie.

1.II.A.9. Matrices. —

D´efinition 1.II.15 (En coordonn´ees cart´esiennes). — Soit ϕ : E → F affine, R = (O, e 1 , . . . , e n ) rep`ere cart´esien de E et S = (Q, u 1 , . . . , u m ) rep`ere cart´esien de F. Soit (c 1 , . . . , c n ) ∈ K ⁿ tels que ϕ(O) = Q+ c 1 u 1 + · · · + c m u m et soit (a i,j ) ∈ M m,n (K) tels que pour tout j ∈ ~1, n on ait ϕ(e j ) = P m

i=1 a i,j u i . La matrice Mat _S , R (ϕ) est d´efinie par :

Mat _S,R (ϕ) =



 

 

 

 

 

 

 

1 0 · · · 0 c ₁ a _1,1 · · · a _1,n

.. .

c _m a _m,1 · · · a _m,n



 

 

 

 

 

 

 

Remarque 1.II.16. — De cette mani`ere on a, si P = RMat _R (P ), alors : ϕ(P ) = SMat _S , R Mat _R (P ).

En effet, si P = O + x 1 e 1 + · · · + x n e n , on trouve : ϕ(P ) = ϕ(O) + ϕ #— ( # —

OP ) = Q + # —

Qϕ(O) + ϕ( #— # — OP ) = Q +

m

X

j=1

c j u j +

m

X

i=1 n

X

j=1

a i,j x j u i .

D´efinition 1.II.17 (En coordonn´ees barycentriques). — Soit ϕ : E → F affine et fixons des rep`eres affines A = (A ₀ , . . . , A _n ) de E et B = (B ₀ , . . . , B _m ) de F. Consid´erons la matrice (b _i,j ) ∈ M _m+1,n+1 ( K ) telle que, pour tout j ∈ ~0, n on ait :

ϕ(A _j ) = Bary((B _i , b _i,j ) _i ∈ ~0,m ),

X m

i=0

b _i,j = 1.

La matrice de ϕ en coordonn´ees barycentriques est Mat _B,A = (b _i,j ).

Remarque 1.II.18. — De cette fac¸on, si P = Bary((A _i , λ _i ) _i ∈ ~0,n ) i.e. Mat _A (P ) = ^t (λ ₀ , . . . , λ _n ) avec P n

i =0 λ _i = 1 alors

ϕ(P ) = Bary((B _i , X n

j=0

b _i,j λ _j ) _i ∈ ~0,m ).

En effet, O ∈ E ´etant fix´e, on a :

# — OP =

n

X

j=0

λ _j # —

OA _j , # — ϕ(O)ϕ(A _j ) =

m

X

i=0

b _i,j # — ϕ(O)B _i . donc :

# — ϕ(O)ϕ(P ) =

X n

j=0

λ _j # — ϕ (O)ϕ(A _j ) =

X n

j=0

X m

i=0

b _i,j λ _j # — ϕ(O)B _i . Ceci veut dire :

Mat _B (ϕ(P )) = Mat _B,A (ϕ)Mat _A (P ).

On peut remarquer aussi que, si on pose µ _i = P n

j=0 b _i,j λ _j , alors (µ ₀ , . . . , µ _m ) = Mat _B (ϕ(P )) et P m

i=0 µ _i = 1 car :

X m

i=0

µ _i = X m

i=0

X n

j=0

b _i,j λ _j = X n

j=0

λ _j X m

i =0

b _i,j = X n

j=0

λ _j = 1.

On peut faire aussi appel `a la d´efinition de barycentre. En effet, pour tout j ∈ ~0, n on a P m

i=0 b _i,j # —

ϕ(A _j )B _i = 0, donc :

X n

j=0

λ _j X m

i=0

b _i,j # — ϕ(A _j )B _i = 0.

Aussi, on a P n j=0

# —

ϕ(P )ϕ(A j ) = 0 et pour tout j ∈ ~0, n on a P m

i=0 b i,j = 1 donc : X n

j=0

λ _j X m

i=0

b _i,j # — ϕ(P )ϕ(A _j ) = 0.

En prenant la somme de ces deux expressions on obtient : X m

i=0

X n

j=0

λ j b i,j # — ϕ(P )ϕ(B i ) = 0, donc pour i ∈ ~0, m on prend µ _i = P n

j=0 b _i,j λ _j et on trouve ϕ (P ) = Bary((B _i , µ _i ) _i ∈ ~0,m ).

Remarque 1.II.19. — On peut utiliser la notation P = λ 0 A 0 + · · · + λ n A n si P n

j=0 λ j = 1 pour P = Bary((A j , λ j ) j ∈ ~0,n ). Avec cette convention on peut ´ecrire :

P = AMat _A (P ), ϕ(P ) = BMat _B,A (ϕ)Mat _A (P ).

1.II.B. Points fixes. —

Proposition 1.II.20. — Soit ϕ : E → E affine. Alors Fix(ϕ) est soit vide, soit un sous espace affine de E dirig´e par l’espace propre de la valeur propre 1 de ϕ #— .

D´emonstration. — Supposons Fix(ϕ) non vide donc soit O ∈ Fix(ϕ). Prenons P ∈ E et utilisons que O = ϕ(O) pour ´ecrire ϕ(P ) = O + ϕ #— ( # —

OP ). Alors P appartient `a Fix(ϕ) ssi P = O + ϕ #— ( # —

OP ), i.e. ssi # —

OP = ϕ #— ( # —

OP ). Ceci ´equivaut `a # —

OP ∈ ker( ϕ #— − id _E ), l’espace propre de ϕ #— de la valeur propre 1.

Proposition 1.II.21. — Soit ϕ : E → E affine. Alors Fix(ϕ) est constitu´e d’un seul point ssi

#— ϕ − #—

id _E est inversible.

D´emonstration. — Si Fix(ϕ) est constitu´e d’un seul point alors l’espace propre de ϕ #— de la valeur propre 1 est r´eduit `a { 0 } donc ϕ #— − #—

id _E est inversible.

R´eciproquement, si #— ϕ − #—

id _E est inversible alors d´ej`a on sait qu’un point fixe, s’il existe, est unique. Quant `a l’existence, on cherche P ∈ E tel que P = ϕ(P ) i.e. # —

OP = # —

Oϕ(O)+ ϕ( #— # — OP ), autrement dit ( ϕ #— − #—

id _E )( # —

OP ) = # —

ϕ(O)O. Si #— ϕ − #—

id _E est inversible alors elle est surjective, donc un tel un vecteur # —

OP existe. Ainsi P est bien un point fixe.

Th´eor`eme 1.II.22 (D´ecomposition canonique). — Soit ϕ : E → E affine et supposons E =

ker( ϕ #— − id _E ) ⊕ Im( ϕ #— − id _E ). Alors ϕ s’´ecrit uniquement sous la forme ϕ = t _u ◦ ψ = ψ ◦ t _u , o`u

ψ : E → E est affine `a point fixe et u ∈ ker( ϕ #— − id _E ).

D´emonstration. — Nous commenc¸ons avec un point O de E. On ´ecrit :

# —

Oϕ(O) = u + ϕ #— (v) − v, pour certains v, u ∈ E o `u u ∈ ker( ϕ #— − id E ).

On consid`ere Q ∈ E tel que Q + v = O i.e. Q = O − #— v . Donc # —

OQ = − v. Ainsi :

# — Qϕ(Q) = # —

QO + # —

Oϕ(O) + # —

ϕ(O)ϕ(Q) = v + u + ϕ #— (v) − v − #— ϕ(v ) = u.

On prend ψ = t − u ◦ ϕ. On trouve ϕ = t _u ◦ ψ et Q ∈ Fix(ψ) car :

# —

Qψ(Q) = # —

Qϕ(Q) − u = 0.

On obtient aussi ϕ = ψ ◦ t u car, si P ∈ E, on calcule : ψ ◦ t u (P ) = ψ(P + u) = ϕ(O) + ϕ( #— # —

OP + u) − u = ϕ (O) + #— ϕ( # —

OP ) = ϕ (P ).

Montrons enfin que u et ψ sont uniques. Soient u ⁰ ∈ ker( ϕ #— − id _E ) et ψ ⁰ ayant un point fixe Q ⁰ avec t u

◦ ψ ⁰ = ϕ. On ´ecrit ϕ(Q ⁰ ) = Q ⁰ + u ⁰ et ϕ(Q) = Q + u donc :

# —

QQ ⁰ = # —

Qϕ(Q) + # —

ϕ(Q)ϕ(Q ⁰ ) + # —

ϕ(Q ⁰ )Q ⁰ = u + ϕ #— ( # — QQ ⁰ ) − u ⁰ . Ainsi :

ker( ϕ #— − id _E ) 3 u − u ⁰ = # —

QQ ⁰ − ϕ #— ( # —

QQ ⁰ ) ∈ Im( ϕ #— − id _E ).

On en d´eduit que u = u ⁰ et par cons´equent ψ = ψ ⁰ .

Pour l’unicit´e, nous n’avons pas utilis´e la condition que ψ et t _u commutent. Mais si ϕ = t _u ◦ ψ et u ∈ ker( ϕ #— − id _E ) alors n´ecessairement ψ et t _u commutent.

1.II.C. Retour sur applications a ffi nes et barycentres. — Consid´erons E et F espaces affines.

Th´eor`eme 1.II.23. — Soit K de caract´eristique diff´erente de 2 et soit ϕ : E → F une application telle que, pour tout λ ∈ K et tout P , Q ∈ E on ait :

ϕ(Bary((P , λ),(Q, 1 − λ))) = Bary((ϕ(P ), λ), (ϕ(Q),1 − λ)).

Alors ϕ est affine.

D´emonstration. — Fixons O ∈ E. Nous d´efinissons ϕ #— par ϕ #— ( # —

OP ) = # —

ϕ(O)ϕ(P ). Il s’agit de montrer que ϕ #— est lin´eaire. D´ej`a on a ϕ( # —

OO) = 0.

Montrons d’abord que, si λ ∈ K , on a ϕ(λ #— # —

OP ) = λ ϕ #— ( # —

OP ). On consid`ere G = Bary((O,1 − λ), (P , λ)).

On a # —

OG = (1 − λ) # —

OO + λ # —

OP = λ # —

OP et ϕ (G) = Bary((ϕ(O),1 − λ),(ϕ(P ), λ)). Ainsi : ϕ #— (λ # —

OP ) = ϕ #— ( # —

OG) = # —

ϕ (O)ϕ (G) = (1 − λ) # —

ϕ(O)ϕ(O) + λ # —

ϕ(O)ϕ(P ) = λ # — ϕ(O)ϕ(P ), donc ϕ(λ #— # —

OP ) = λ ϕ #— ( # —

OP ), comme on voulait.

V´erifions maintenant que, pour tout P , Q ∈ E, on a ϕ #— ( # —

OP + # —

OQ) = ϕ( #— # —

OP ) + ϕ #— ( # — OQ) =.

Comme K n’est pas de caract´eristique 2, on peut consid´erer : G = Bary((P , 1/2),(Q,1/2)), et utiliser :

ϕ(G) = Bary((ϕ(P ), 1/2),(ϕ(Q),1/2)).

On a # —

OG = 1/2 # —

OP + 1/2 # —

OQ et # —

ϕ(O)ϕ(G) = 1/2 # —

ϕ(O)ϕ(P ) + 1/2 # —

ϕ(O)ϕ(Q). En multipliant par 2 et en utilisant que ϕ #— est compatible avec multiplication par un scalaire, on obtient :

ϕ #— ( # —

OP + # —

OQ) = 2 ϕ #— ( # —

OG) = # —

ϕ(O)ϕ(P ) + # —

ϕ(O)ϕ(Q) = ϕ( #— # —

OP ) + ϕ #— ( # —

OQ),

ce qu’il fallait d´emontrer.