G ´EOM ´ETRIE PROJECTIVE

3.I. Espaces projectifs

Ici,Kest un corps. Tous les corps, sauf mention contraire, seront commutatifs.

3.I.A. Droites vectorielles. —

D´efinition 3.I.1. — SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. L’espace projectifP(E) associ´e `a E est l’ensemble des droites vectorielles de E, c’est-`a-dire l’ensemble des sous espaces vectoriels de dimension 1 deE.

Siv∈E\{0}, on note [v] le point deP(E) correspondant `a la droite vect(v)⊂E. Si dim(E) = n+ 1, on dit queP(E) est un espace projectifde dimensionn.

On adopte la conventionP({0}) =∅et on pose dim(∅) =−1.

Exemple 3.I.2. — SiE=Kⁿ⁺¹, on noteP(E) =Pⁿ(K). Si (x₀, . . . , x_n)∈Kⁿ⁺¹\ {0}, la notation usuelle pour le point dePⁿ(K) associ´e `a (x0, . . . , x_n) est :

[x0, . . . , xn] = (x0:. . .:xn).

Les valeurs desx_i sont d´efinies `a multiplication par un scalaire pr`es : (x₀:. . .:x_n) = (x₀⁰ :. . .:x_n⁰)⇔ ∃λ∈K^∗|x⁰_i=λx_i,∀i∈~0, n.

3.I.B. Sous espaces projectifs. — SoitFun sous espace vectoriel deE. AlorsP(F)⊂P(E) est l’ensemble des droites deEcontenues dansF, i.e. l’ensemble des droites deF.

D´efinition 3.I.3. — Une partie L de P(E) est un sous espace projectif s’il existe un sous espace vectorielFdeEtel queL=P(F).

Remarque 3.I.4. — Les affirmations suivantes sont claires :

i) L’intersection d’une famille arbitraire de sous espaces projectifs deP(E) est un sous espace projectif.

ii) Le sous espace projectif engendr´e par une partieAde P(E), not´e proj(A) et d´efini comme le plus petit sous espace projectif deP(E) contenantA, est l’intersection des sous espaces projectifs deP(E) contenantA.

iii) SiF, Gsont sous espaces vectoriels deE, alors proj(P(F)∪P(G)) =P(F+G).

iv) SiL,Msont sous espaces projectifs deP(E), alors :

(5) dim(proj(L∪M)) = dim(L) + dim(M)−dim(L∩M).

D´emonstration. — Le premier point est clair puisque l’intersection de sous espaces vecto-riels deEest un sous espace vectoriel deE. Le deuxi`eme d´ecoule du premier. Le troisi`eme point est clair, du moment que vect(F∪G) =F+G. Le dernier point d´ecoule de la formule :

dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).

Remarque 3.I.5. — SoitL, Msous espaces projectifs deP(E), avec dim(L) + dim(M)≥n.

i) Alors dim(L∩M)≥0, en particulierL∩M,∅.

ii) Par exemple deux droitesL,M deP² sont de la formeL=V(a₀x₀+a₁x₁+a₂x₂) et M=V(b₀x₀+b₁x₁+b₂x₂), avec (a₀, a₁, a₂),0 et (b₀, b₁, b₂),0. On a :

L∩M={(a₁b₂−a₂b₁:a₀b₂−a₂b₀:a₀b₁−a₁b₀)}.

D´emonstration. — Bien s ˆur on a dim(proj(L∪M))≤ndonc la formule (5) implique le pre-mier ´enonc´e. Pour l’intersection des deux droites, il est clair que le point (a1b2−a2b1 : a0b2−a2b0 :a0b1−a1b0) est bien d´efini (car sinonL =M) et appartient `aL∩M (calcul

´evident) donc ce point estL∩Md’apr`es la formule (5).

3.I.C. Ouverts affines. —

3.I.C.1. Compl´ement des z´eros d’une forme lin´eaire. —

D´efinition 3.I.6. — Soitαune forme lin´eaire non nulle surE. On pose : Uα={[v]∈P(E)|α(v),0}.

On nommeUα l’ouvert affineassoci´e `aα. La d´efinition est bien pos´ee car, si [v] = [v⁰], il existeλ∈K^∗tel quev⁰=λvdoncα(v⁰) =λα(v),0.

Remarque 3.I.7. — L’ouvert affineUαs’identifie `a l’espace affine de dimensionn: Fα={v∈E|α(v) = 1},

grˆace `a l’applicationψ:Uα→Fαd´efinie par [v]7→ψ(v) = 1

α(v)v.

En effet, d’abord on se rend compte facilement que cette application est bien d´efinie. Pour le voir, d’abord on a clairement 1/α(v) bien d´efini puisqueα(v),0. Ensuite, si [v] = [v⁰], alors il existeλ∈K^∗tel quev⁰=λvdonc :

1

α(v⁰)v⁰= 1

λα(v)λv= 1 α(v)v.

L’application inverseι:Fα→Uαest d´efinie parv7→[v].

Ces applications sont bien l’inverse l’une de l’autre, i. e. on a : ι◦ψ= id_Uα, et ψ◦ι= id_Fα. En effet, siv∈Fα, alors :

ψ(ι(v)) =ψ([v]) = 1 α(v)v=v.

Aussi, si [v]∈Uα, on a :

ι(ψ([v]) =ι 1 α(v)v

!

=

"

1 α(v)v

#

= [v].

3.I.C.2. Hyperplan `a l’infini. —

D´efinition 3.I.8. — SoitU_α un ouvert affine deP(E). Alors le compl´ementH_α=P(E)\U_α deU_αestl’hyperplan `a l’infinirelatif `a l’ouvert affineU_α. Il s’agit d’un sous espace projectif P(ker(α)) de dimensionn−1, o `un= dim(P(E)).

Remarque 3.I.9. — On trouve doncPⁿ=AⁿtAⁿ⁻¹t · · · tA⁰. 3.I.D. Compl´et´e projectif. —

3.I.D.1. Compl´et´e vectoriel d’un espace affine. — SoitEunK-espace affine de directionEet de dimension finien.

D´efinition 3.I.10. — On d´efinit lecompl´et´e vectorielEˆ deEpar ˆE=K⊕E.

Le compl´et´e ˆEest unK-espace vectoriel de dimensionn+1 isomorphe `aK×E. Notonsu<sub>0</sub> l’image de (1,0) par cet isomorphisme. On voit que ˆE= vect(u0)⊕E, o `u tout vecteuru∈E est consid´er´e comme ´el´ement de ˆEen l’identifiant `a (0, u). On d´efinit sur ˆE l’application lin´eaireα: ˆE→Ken posant, pour toutx₀∈K,u∈E:

α(x0u0+u) =x0.

ChoisissonsO∈E. On sait que aF_α={w∈Eˆ|α(w) = 1}est un sous espace affine de ˆEde dimensionn. Cet espace est identifi´e `aEpar l’applicationj:E→Fα:

j:O+u7→u₀+u, pour toutu∈E.

Autrement dit, pour toutP ∈E, on aj(P) =u0+# —

OP. Dans la d´efinition pr´ec´edente, on peut noterj=jOpour souligner la d´ependence deO.

Remarque 3.I.11. — Choisissons un rep`ere cart´esienR= (O, u₁, . . . , u_n) deE. On regarde ui comme ´el´ement de ˆEpouri∈~1, n. Alors ˆR= (u0, u1, . . . , un) est une base de ˆE.

SiS= (A₀, . . . , An) est un rep`ere affine deE, alors on choisitO=A0, ce qui correspond `a l’´el´ementu₀de ˆEet nous consid´eronsu_i=# —

A₀A_ipouri∈~1, ncomme ´el´ement de ˆE. Alors Sˆ= (u₀, u₁, . . . , u_n) est une base de ˆE.

3.I.D.2. Compl´et´e projectif d’un espace affine. — SoitEun espace affine de dimensionnsur KetEsa direction. On consid`ere le compl´et´e vectoriel ˆE=K⊕EdeE.

D´efinition 3.I.12. — Lecompl´et´e projectifEˆ deEestP( ˆE).

SoitO∈E. L’espace affineEse plonge dans ˆEgrˆace `a l’applicationι:E→Eˆ d´efinie par : ι(O+u) = [u0+u], pour toutu∈E.

Autrement dit, pour toutP ∈E, on aι(P) = [u₀+# —

OP]. Ceci est bien d´efini car u₀ ∈Eˆ\E.

Posons de nouveauα(x₀u₀+u) =x₀pour toutx₀∈Ketu∈E.

Remarque 3.I.13. — On aι(E) =Uαet le diagramme d’isomorphismes affines commute : E ^j //

ι

Fα

~~U_α

o `u l’applicationFα→Uαest d´efinie parw7→[w] pour toutw∈Eˆ\ {0}.

3.I.D.3. Compl´et´e projectif d’un sous espace affine. — SoitG⊂Eun sous espace affine de E. FixonsO∈E. On regardeEetGcomme parties de ˆE par l’application qui envoie tout P =O+u∈Gsuru0+u∈E.ˆ

D´efinition 3.I.14. — Le compl´et´e ˆGestP(vect(G))⊂E.ˆ Proposition 3.I.15. — On aGˆ∩E=G.

D´emonstration. — Plus pr´ecis´ement on aι(E)∩Gˆ =ι(G). Consid´erons un ´el´ement deι(G).

Cet ´el´ement s’´ecrit [w] = [u₀+u] o `u le vecteuru∈Edoit satisfaireO+u∈G. Donc [w]∈ι(E) caru∈E. De plus [w]∈Gˆcaru<sub>0</sub>+u∈vect(G), o `u l’on regardeGcomme une partie de ˆE.

R´eciproquement, on consid`ere un ´el´ement [w] deι(E)∩G. Ainsiˆ w∈vect(G) dans ˆE, i.e.

w=x0u0+uavecx0∈KetO+u∈G. Alorsu∈G⊂E doncα(u) = 0 carE= ker(α), ainsi α(w) =x₀. Par ailleurs [w]∈ι(E) doncα(w) = 1 i.e.x₀ = 1. Par cons´equentw=u₀+u et commeO+u∈Gon aw∈Gvu comme partie de ˆE.

SoitG⊂Esous espace affine. On peut d´efinirGpar des ´equations de la forme : G=

\k

i=1

V(ϕ_i),

o `uϕ_i:E→Kest une forme affine, pouri∈~1, k. Ici,V(ϕ_i) ={P ∈E|ϕ_i(P) = 0}.

Remarque 3.I.16. — FixonsO∈Eet consid´erons ˆE etu0∈E. Pourˆ ϕ :E→K affine, on d´efinit ˜ϕ: ˆE→Kpar :

ϕ(x˜ ₀u₀+u) =ϕ#—(u) +x₀ϕ(O).

On obtient alors :

Gˆ=

\k

i=1

P(Ker( ˜ϕi)).

D´emonstration. — En effetP(Ker( ˜ϕ_i)) est un sous espace projectif de ˆEdont l’intersection avecι(E) co¨ıncide avecι(G), puisque :

ι(G) ={[u0+u]|u∈E, O+u∈G}={[u0+u]|ϕi(O+u) = 0, u∈E,∀i∈~1, k}=

={[u₀+u]|u∈E,#—ϕ_i(u) +ϕ_i(O) = 0,∀i∈~1, k}=

={[u₀+u]|u∈E,ϕ˜_i(u₀+u) = 0,∀i∈~1, k} ∩ι(E) =

=

\k

i=1

P(ker( ˜ϕi))∩ι(E).

Remarque 3.I.17. — SoitEespace affine de directionE. AlorsP(E) est l’hyperplan `a l’in-fini de ˆEpar rapport `a l’ouvert affineι(E).

En effet, l’hyperplan `a l’infini de ˆE par rapport `a l’ouvert affine ι(E) est P(ker(α)) et s’identifie donc `aP(E).

3.I.D.4. Compl´et´e d’un sous espace d’un ouvert affine. — Un autre point de vue sur le compl´ete projectif est de consid´erer l’espace affine ambiant comme ouvert affine d’un es-pace projectif. SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien+ 1 etα∈E^∨\ {0}. Notons :

F=Fα⊂E, SoitGun sous espace affine deF. On pose :

Gˆ =P(vect(G))⊂P(E).

On consid`ereFetGcomme parties deP(E) `a travers l’inclusion : F,→P(E),

qui envoieFsurU⊂P(E) paru7→[u].

Remarque 3.I.18. — Le sous espace projectif ˆGdeP(E) satisfait ˆG∩F=G.

D´emonstration. — D’abord,G⊂vect(G) etG⊂F, doncG⊂vect(G)∩F. Autrement dit, ´etant donn´eu∈G, l’inclusionF,→P(E) envoieusur [u]∈Gˆ∩F, i.e.G⊂Gˆ∩F.

Pour l’implication r´eciproque, on consid`ere un ´el´ementu0∈Fdoncα(u0) = 1. On a#—F= ker(α) doncF=u<sub>0</sub>+ ker(α). Aussi,G= #—G est un sous espace vectoriel de ker(α) ; soitm= dim(G). On choisit une base (u<sub>1</sub>, . . . , u<sub>m</sub>) deGpuis on la compl`ete `a une base (u₁, . . . , u_n) de ker(α). Remarquons par ailleurs que (u₀, . . . , u_n) est une base deE, que vect(F) = vect(u0)⊕ ker(α) =Eet que vect(G) = vect(u0)⊕G.

Ainsi, soit [u]∈Gˆ∩F. Comme [u]∈Fon aα(u) = 1 et nous voulons montrer queu∈G, sachant queu∈vect(G). Commeu∈Eet (u₀, . . . , u_n) est une base deE, il existe (x₀, . . . , x_n)∈ Kⁿ⁺¹ tel queu=Pn

i=0x_iu_i et en faitu_i= 0 pouri≥m+ 1 caru∈vect(G). Commeu_i ∈G⊂ ker(α) pouri≥1 etα(u₀) = 1, on a :

1 =α(u) =

m

X

i=0

x_iα(u_i) =α₀. Ainsiu=u₀+Pm

i=1x_iu_i ∈u₀+G=G, ce qui ach`eve la preuve.

3.I.D.5. ´Ecriture en coordonn´ees. — SoitAⁿ=Aⁿ_KetPⁿ=Pⁿ_K. Consid´erons des coordonn´ees (y₁, . . . , y_n)∈Aⁿ.

— Pourj∈~0, nnous d´efinissons l’applicationι_j:Aⁿ→Pⁿpar : ι_j(y₁, . . . , y_n) = (y₁:. . .:y_j: 1 :y_j+1:. . .:y_n).

Nous avons alors les ouverts affinesUj= Im(ι_j).

— On aUj=Pⁿ\Hj, o `uHj=P(ker(e^∨_j)) ete^∨_j :Kⁿ⁺¹→Kvaute^∨_j(x0, . . . , xn) =xj.

— Pour H hyperplan affine de Aⁿ d’´equation V(a1y1+· · ·+anyn+a0), on trouve le compl´et´e projectif ˆH = V(a0x₀+a₁x₁+· · ·+a_nx_n) ⊂ Pⁿ par homog´en´eisation de l’´equation.

— De mˆeme si F est un sous espace affine de Aⁿ, on trouve son compl´et´e par ho-mog´en´eisation des ´equations d´efinissantF.

Exemple 3.I.19. — SoitF=V(a₁y1+a₂y2+a0) etG=V(b₁y1+b2y2+b₀) droites deA²_R. Alors les compl´et´es ˆF=V(a0x₀+a₁x₁+a₂x₂) et ˆG=V(b0x₀+b₁x₁+b₂x₂) se recoupent `a l’infini, i.e.

surH₀=V(x0), ssia₁b₂=a₂b₁, i.e. ssiFetGsont parall`eles. Dans ce cas ˆF∩Gˆ = [0 :a₂:−a₁], la direction commune deFetG.

Pour comprendre que ce point est la direction, on supposea₂,0 et on ´ecrity₂=−^a1

a₂y₁+c, c´etant une constante, donc [0 :a₂:−a₁] = [0 : 1 :−a₁/a₂] repr´esente la direction.

On voit aussi que, si par exemplea₀=a₂= 1,a₂=a(donc la droite est de direction−a), alors on param`etreFpart7→(−t, at−1) i.e., en projectif (et pour tout,0) par :

t7→(1 :−t:at−1) = 1

t :−1 :at−1 t

.

Si on fait tendretvers +∞, on obtient (0 :−1 :a) = (0 : 1 :−a). De mˆeme sitvers−∞. Ceci confirme l’intuition que la direction deFest bien le point`a l’infinide la droite ˆF.

3.I.E. Rep`eres projectifs. —

D´efinition 3.I.20. — Soit (P0, . . . , Pk) points de P(E). On dit que (P0, . . . , Pk) sont libressi dim(proj(P0, . . . , Pk)) =k.

Ceci est ´equivalent `a dire quePi = [v_i], avec (v₀, . . . , vk) libres dansE.

Remarque 3.I.21. — Soit (P₀, . . . , P_n+1) points de P(E). Alors on a ´equivalence entre ces deux assertions :

i) pour toutj∈~0, nles points (P₀, . . . , P_j−1, P_j+1, . . . , P_n+1) sont libres ;

ii) il existe une base (u₀, . . . , u_n) deEtelle que, si on poseu_n+1=u₀+· · ·+u_n, alorsP_i= [u_i] pour touti∈~0, n+ 1.

D´emonstration. — Supposons i) v´erifi´ee. Comme (P₀, , . . . , P_n) sont libres, on choisit une base (u₀⁰, . . . , u⁰_n) deEtelle queP_i= [u_i⁰] pour touti∈~0, n. On ´ecrit ensuitev∈Etel que [un+1] = P_n+1 sous la formeu_n+1=x₀u₀⁰ +· · ·+x_nu_n⁰ pour certainsx_i ∈K. Maintenant, quel que soit j∈~0, n, on ax_j,0, car autrement la propri´et´e i) ne serait pas v´erifi´ee pourj. Donc si on poseu_i=x_iu⁰_i pour touti∈~0, non obtient la base cherch´ee.

Si ii) est v´erifi´ee, alors pour toutj∈~0, n, les vecteurs (u0, . . . , uj−1, uj+1, . . . , un+1) forment une base, donc i) est v´erifi´ee.

D´efinition 3.I.22. — Si les conditions de la remarque pr´ec´edente sont v´erifi´ees, alors (P₀, . . . , P_n+1) est unrep`ere projectifdeP(E).

Remarque 3.I.23. — Soit (P0, . . . , Pn+1) un rep`ere projectif de P(E) et P ∈ P(E). Alors, si (u0, . . . , un) est une base associ´ee `a (P0, . . . , Pn+1) satisfaisant la condition ii) de la remarque pr´ec´edente, il existe (x₀, . . . , x_n) ∈ Kⁿ⁺¹\ {0} tel que [v] = [x₀u₀+· · ·+x_nu_n]. Le vecteur (x₀, . . . , x_n) est d´etermin´e `a un scalaire multiplicatif non nul pr`es.

D´emonstration. — Bien s ˆur (x0, . . . , xn) existe simplement puisque (u0, . . . , un) est une base deE, ce vecteur ´etant ´evidemment non nul. Pour l’unicit´e, siv=x0u0+· · ·+xnunetx⁰₀e⁰₀+

· · ·+x⁰_ne_n⁰ repr´esententP, les bases (u0, . . . , un) et (u₀⁰, . . . , u_n⁰) satisfaisant la condition ii) de la remarque pr´ec´edente, alors il existeλ0, . . . , λn+1∈K^∗ tels queu_i⁰=λiui pour touti∈~0, n

etλn+1(u₀⁰+· · ·+u_n⁰) =u0+· · ·+un. Doncλi=λn+1pour touti∈~0, n. Aussi,∃λ∈K^∗tel que x⁰₀λ_n+1u₀+· · ·+x⁰_nλ_n+1u_n=λ(x₀u₀+· · ·+x_nu_n),

donc (x⁰₀, . . . , x⁰_n) =λ/λ_n+1(x₀, . . . , x_n).

3.I.F. Dualit´e. —

3.I.F.1. Dualit´e vectorielle. — SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien+1<∞. On d´efinit le dualE^∨deEcomme l’ensemble des applications lin´eairesα:E→KdeEversK, muni de sa structure ´evidente deK-espace vectoriel.

Cette d´efinition estcontravariante, dans le sens que, si E et F sont deux espaces vectoriels etf :F→Eest une application lin´eaire, alors il existe une application lin´eaire naturellef^∨:E^∨→F^∨, qui consiste `a composerβ∈F^∨avecf, i.e. :

f^∨(β) =β◦f .

Rappelons queE ´etant de dimension finie,E est r´eflexif, c’est-`a-direE s’identifie avec E^∨∨par l’application d’´evaluation:E→E^∨∨d´efinie, pour toutu∈Epar :

u7→_u, o `u_u(α) =α(u),∀α∈E^∨.

D´efinition 3.I.24. — ´Etant donn´e un sous espace vectoriel F de E, notons jF l’inclusion jF:F→E.L’orthogonaldeFdansE^∨est :

F^⊥= Ker(j_F^∨).

Remarquons quej_F^∨est l’application de restriction des formes `aF. Ainsi : F^⊥={α∈E^∨|α|_F= 0}.

Proposition 3.I.25. — SoitF,Gsous espace vectoriels deE. Alors : i) `a travers l’identificationEE^∨∨, on aF^⊥⊥=F;

ii) F⊂Gsi et seulement siG^⊥⊂F^⊥; iii) (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥;

iv) (F∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥.

D´emonstration. — Montrons i). Soitf :F^⊥→E^∨l’inclusion et consid´erons : g:E−→ E^{∨∨ f}

∨

−−→(F^⊥)^∨. On veut montrer que Ker(g) =F. On a :

Ker(g) ={u∈E|f^∨(_u) = 0}=

={u∈E|u|_F⊥= 0}=

={u∈E|u(α) = 0,∀α∈F^⊥}=

={u∈E|α(u) = 0,∀α∈F^⊥}=

={u∈E|α(u) = 0,∀αtels queα(v) = 0 pour tout vecteurv∈F}. Donc, siv∈Falors clairementv∈Ker(g) puisqueα(v) = 0 quelque soitα∈F^⊥.

R´eciproquement, si nous ´ecrivons une base (u₁, . . . , u_k) deF et nous la compl´etons `a une baseB= (u₁, . . . , u_n) deE, nous pouvons construire la base dualeB^∨= (u₁^∨, . . . , u_n^∨) deE^∨, d´efinie par la conditionu_i^∨(u_j) =δ_i,j pour touti, j∈~1, n. Alors un vecteurv∈E\Fs’´ecrit v=Pn

i=1aiui avecai ,0 pour au moins un indicei∈~k+ 1, n. Ainsiα=e^∨_i s’annule surF mais pas env. Doncvn’appartient pas `a Ker(g).

Montrons ii). On a, si F ⊂G et α ∈E^∨ n’annule sur G, alors α|_F = 0. Donc G^⊥ ⊂F^⊥. Ensuite, siG^⊥⊂F^⊥en utilisant i) on obtientF⊂G.

Pour iii), il est clair queα∈E^∨s’annule enF+Gsi et seulement siα|_G = 0 etα|_F = 0.

Pour terminer la preuve, en appliquant iii) `aF0=F^⊥etG0=G^⊥nous obtenons par i) : (F^⊥+G^⊥)^⊥= (F₀+G₀)^⊥=F₀^⊥∩G₀^⊥=F∩G,

donc en utilisant de nouveau i) :

F^⊥+G^⊥= (F∩G)^⊥.

3.I.F.2. Dualit´e projective. —

D´efinition 3.I.26. — L’espace dualdeP(E) estP(E^∨). On le note ˇP(E).

Remarque 3.I.27. — L’espace dual est identifi´e `a l’ensemble des hyperplans deP(E).

D´emonstration. — Un hyperplanH deP(E) est d´efini commeH=P(K), o `uK est un hy-perplan deE. Il existe une forme lin´eaireαnon nulle surEdont le noyau estK, on associe donc [α] `aH.

Si 0,α ∈ E^∨, alors on associe `a P(ker(α)) `aα. Cela est bien pos´e, car pour toutλ ∈ K^∗, ker(λα) = ker(α) donc P(ker(α)) ne d´epend que de la classe de α dans ˇP(E). Cette correspondance est bijective.

Remarque 3.I.28. — ´Etant donn´eF ⊂E, l’espaceP(F^⊥) est l’ensemble des hyperplans de P(E) qui contiennentP(F).

D´emonstration. — On a [α]∈P(F^⊥) ssiα|_F= 0, i.e. ssiα(v) = 0 pour toutv∈F, ouα|_vect(v) pour toutv∈F. Autrement dit, [α]∈P(F^⊥) ssiP(ker(α)) contient toutes les points deP(F), i.e. ssiP(F)⊂P(ker(α)).

On notera, siLest un sous espace projectif deP(E),L^⊥⊂P(E) l’ensemble des hyperplansˇ deP(E) qui contiennentL.

Proposition 3.I.29. — SoitL, Msous espaces projectifs deP(E). Alors : i) (L^⊥)^⊥=L;

ii) L⊂MssiM^⊥⊂L^⊥; iii) (L∪M)^⊥=L^⊥∩M^⊥;

iv) (L∩M)^⊥= proj(L^⊥∪M^⊥).

D´emonstration. — Tout d´ecoule de la proposition 3.I.25.

3.I.G. Th´eor`emes classiques. — Nous allons traiter deux th´eor`eme classiques de la g´eom´etrie du plan projectif. Fixons donc un K-espace vectoriel E de dimension 3 et le plan projectifP(E).

3.I.G.1. Th´eor`eme de Pappus. —

Th´eor`eme 3.I.30. — SoitD et D⁰ deux droites projectives distinctes d’un plan projectif. Soit A, B, C ∈ D et A⁰, B⁰, C⁰ ∈ D⁰ points distincts. Alors les trois points γ = (AB⁰)∩(A⁰B),α = (BC⁰)∩(B⁰C)etβ= (CA⁰)∩(C⁰A)sont align´es.

Remarquons avant de commencer la preuve que les pointsα, β, γ sont bien d´efinis, au-trement dit, les droites (AB⁰), (A⁰B) sont distinctes, aussi bien que (BC⁰), (B⁰C) et de mˆeme (AC⁰), (A⁰C). En effet, par exemple si (AB⁰) = (A⁰B) alors (A, B, A⁰, B⁰) sont align´es donc D=D⁰, ce qui est exclu.

D´emonstration. — SoitO=D∩D⁰. Si deux parmi les pointsα, β, γ co¨ıncident, il n’y a rien

`a d´emontrer. Remarquons que ceci arrive siOest l’un des pointsA, B, C, A<sup>0</sup>, B<sup>0</sup>, C<sup>0</sup>. En effet, par exemple siO=Aalors (AB<sup>0</sup>) = (AC<sup>0</sup>) =D<sup>0</sup>doncγ=D<sup>0</sup>∩(A<sup>0</sup>B) =A<sup>0</sup>etβ=D<sup>0</sup>∩(A<sup>0</sup>C) =A<sup>0</sup>. Nous pouvons d´esormais exclure ce cas et supposerα ,β. Choisissons la droite (αβ) comme droite `a l’infini, donc consid´erons le plan affineA²comme ouvert affineU_δdeP², o `uδest une forme lin´eaire qui d´efinit la droite (αβ). Il s’agit de montrer queγ appartient

`a cette droite. Bien s ˆur, les traces des droites (AC<sup>0</sup>) et (C<sup>0</sup>A) (i.e. les intersections de ces droites avecUα) sont parall`eles dansA², aussi bien que les droites (BC⁰) et (B⁰C). Comme

b₁

A

B⁰

C⁰ B

C

A⁰

γ β α

Figure 1. Th´eor`eme de Pappus

il s’agit de montrer queγ= (AB⁰)∩(A⁰B) appartient `a la droite `a l’infini (αβ), nous devons montrer que (AB⁰) et (A⁰B) sont parall`eles. Nous examinons deux cas.

SiO<(αβ): Comme O est suppos´e distinct de A et C, nous pouvons consid´erer l’ho-moth´etie ϕ de centre O qui envoie A sur C puis l’homoth´etie ψ de centre O qui envoieC sur B. On aψ(ϕ(A)) =B. Puisque (AC⁰) est parall`ele `a (CA⁰), le th´eor`eme de Thal`es dit queϕ(C⁰) =A⁰. De mˆeme on aψ(B⁰) =C⁰. Orϕetψcommutent, ´etant homoth´eties de mˆeme centre, doncψ(ϕ(B⁰)) =ϕ(ψ(B⁰)) =A⁰. Ainsi (AB⁰) et (A⁰B) sont parall`eles d’apr`es la r´eciproque de Thal`es.

En termes de rapports de similitude, nous pouvons ´ecrire cela de la fac¸on suivante.

Comme (AC⁰) est parall`ele `a (CA⁰), Thal`es dit que, siλ∈Kest tel que # —

OC =λ# —

OA, alors # —

OA⁰=λ# —

OC⁰. De mˆeme, siµ∈Kest tel que # — OB=µ# —

OCalors # —

OC⁰=µ# — OB⁰. Ainsi,

# —

OB=λµ# —

OAet # —

OA⁰=λµ# —

OB⁰, ce qui veut dire que (AB⁰) et (A⁰B) sont parall`eles.

b1

A B

C

O

B⁰

A⁰ C⁰

Figure 2. Pappus siO<(αβ)

SiO∈(αβ): Dans ce cas on consid`ere la translationϕ de direction #—

D qui envoieAsurC puis la translationψtoujours de direction #—

D qui envoieC surB. On aψ(ϕ(A)) =B.

Du parall´elisme entre (AC⁰) et (A⁰C) on d´eduitϕ(C⁰) =A⁰, puis de mˆemeψ(B⁰) =C⁰. De nouveau les translationsϕetψcommutent doncψ(ϕ(B⁰)) =A⁰, ainsi (AB⁰) et (A⁰B) sont parall`eles.

b₁

A B C

B⁰ A⁰ C⁰

Figure 3. Pappus siO∈(αβ)

3.I.G.2. Th´eor`eme de D´esargues. —

Th´eor`eme 3.I.31. — Soit (A, B, C) et(A⁰, B⁰, C⁰) deux triplets de points distincts non align´es deP(E)et supposonsA,A⁰,B,B⁰,C ,C’,(BC),(B⁰C⁰),(AC),(A⁰C⁰)et(AB),(A⁰B⁰).

Posons :

α= (BC)∩(B⁰C⁰), β= (AC)∩(A⁰C⁰), γ= (AB)∩(A⁰B⁰).

Alors(AA⁰),(BB⁰)et(CC⁰)sont concourantes si et seulement siα,βetγsont align´es.

D´emonstration. — Remarquons d’abord que les droites (BC), (B⁰C⁰) sont bien d´efinies car B,C,B⁰,C⁰ et de mˆeme pour les autres droites d´efinissantα, β, γ; ces trois points sont donc bien d´efinis. De plus,α,βcar siβ= (AC)∩(A⁰C⁰) est ´egal `aα= (BC)∩(B<sup>0</sup>C<sup>0</sup>) alors α=βappartient (donc est ´egal `a) (AC)∩(BC) =Cet `a (A⁰C⁰)∩(B⁰C⁰) =C⁰doncC=C⁰, ce qui est absurde. De mˆemeα,γ,β.

De plus on pourra remarquer que (AA⁰),(BB⁰) car sinon on aurait A, B, A⁰, B⁰ align´es donc (AB) = (A⁰B⁰), ce qui est exclu. De mˆeme (AA⁰),(CC⁰),(BB⁰).

D´emontrons une premi`ere implication : supposons queα,βetγsoient align´es et mon-trons que alors les droites (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont concourantes.

Choisissons la droiteH(unique, car on a observ´e queα, β, γsont distincts) contenantα, βetγcomme droite `a l’infini, autrement dit, consid´erons le plan affineF=P(E)\H. Nous avons trois couples de droites parall`eles deF, que l’on note de la mˆeme mani`ere que leurs compl´et´es projectifs :

((BC),(B⁰C⁰)), ((AC),(A⁰C⁰)), et ((AB),(A⁰B⁰)).

Montrons que (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont parall`eles ou concourantes. Ceci terminera la preuve de la premi`ere implication, car si (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont parall`eles, cela veut dire que ces trois droites ont un point d’intersection commun qui se trouve surH. Pour conclure

O

A⁰ A

C B

B⁰

C⁰ β

γ

α

Figure 4. Th´eor`eme de D´esargues

il suffit de montrer que, si deux parmi les trois droites (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont incidentes – disons (AA⁰) et (BB⁰) – alors (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont concourantes.

O

A⁰ A

B

B⁰ C

C⁰

Figure 5. Th´eor`eme de D´esargues

SoitO= (AA⁰)∩(BB⁰). Consid´erons la dilatationϕqui envoieAsurA⁰. Par le th´eor`eme de Thal`es, comme (AB) et (A⁰B⁰) sont parall`eles, le rapport de dilatation deϕest :

OA⁰ OA =OB⁰

OB,

doncϕ(B) =B⁰. On applique de nouveau Thal`es pour calculerϕ(C). On voit queϕ(C) se trouve sur la droite parA<sup>0</sup>parall`ele `a (AC), i. e., sur (A⁰C⁰), et bien s ˆur sur (OC) donc :

ϕ(C) = (A⁰C⁰)∩(OC).

De mˆeme en partant deB, on trouveϕ(C) = (B⁰C⁰)∩(OC). Ainsi,ϕ(C) = (B⁰C⁰)∩(A⁰C⁰) =C⁰ se trouve sur (OC). Autrement dit, (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont incidentes enO.

Montrons maintenant l’implication r´eciproque, en faisant appel `a la dualit´e. Posons :

X= (BC)^⊥, Y = (AC)^⊥, Z= (AB)^⊥,

X⁰= (B⁰C⁰)^⊥, Y⁰= (A⁰C⁰)^⊥, Z⁰= (A⁰B⁰)^⊥.

On trouve donc deux triangles deP(E)^∨. Ils sont non d´eg´en´er´es car les triangles de d´epart n’´etaient pas d´eg´en´er´es. On aA= (AB)∩(AC) donc :

A^⊥= proj((AB)^⊥,(AC)^⊥) = (Y Z), B^⊥= (XZ), C^⊥= (AX).

Posons aussi :

ξ= (Y Z)∩(Y⁰Z⁰), η= (XZ)∩(X⁰Z⁰), ζ= (XY)∩(X⁰Y⁰).

Regardons l’effet de la dualit´e surα. On a :

α^⊥= ((BC)∩(B⁰C⁰))^⊥= proj((BC)^⊥,(B⁰C⁰)^⊥) = (XX⁰).

On obtient ´egalement :

α^⊥= (XX⁰), β^⊥= (Y Y⁰), γ^⊥= (ZZ⁰).

´Etudions aussi la dualit´e sur (AA⁰). On a :

(AA⁰)^⊥= proj(A, A⁰)^⊥=A^⊥∩(A⁰)^⊥= (Y Z)∩(Y⁰Z⁰) =ξ.

De mˆeme :

(AA⁰)^⊥=ξ, (BB⁰)^⊥=η, (CC⁰)^⊥=ζ.

La deuxi`eme implication est maintenant une cons´equence de la premi`ere, appliqu´ee aux triangles dansP(E)^∨. En effet, rappelons que trois droites du plan projectif sont concou-rantes si et seulement si les trois points correspondant dans le plan dual sont align´es. Alors, si (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont concourantes, les trois pointsξ,ηetζsont align´es. Donc (XX⁰), (Y , Y⁰) et (Z, Z⁰) sont concourantes. Ainsi,α,βetγsont align´es.

3.II. Applications projectives

3.II.A. Applications projectives et lin´eaires. — SoitEetF espaces vectoriels surK. Soit f :E→F. Alorsf envoie une droite deEsur une droite deFsi et seulement si celle-ci n’est pas contenue dans le noyau def.

D´efinition 3.II.1. — L’application projectiveϕassoci´ee `af est l’application : P(E)\P(Ker(f))→P(F),

qui, `a une droite [v] engendr´ee parv∈E\Ker(f) associe [f(v)].

On noteP(E)dP(F) une application d´efinie surune partiedeP(E).

On voit que, si on choisit v⁰ =λv comme repr´esentant de [v], λ ´etant dansK^∗, on a [f(v⁰)] = [f(λv)] = [λ(f(v))] = [f(v)], doncϕest bien d´efinie.

Remarque 3.II.2. — Soitf etf⁰applications lin´eaires deEversF. Alorsf etf⁰d´efinissent la mˆeme application projective si et seulement sif =λf⁰pour unλ∈K^∗.

D´emonstration. — S’il existeλ∈K^∗ tel quef =λf⁰, alors clairement Ker(f) = Ker(f⁰) et, pour toutv ∈E\Ker(f), on aϕ([v]) = [f(v)] = [λf(v)]) = [f⁰(v)] doncf etf⁰ induisent la mˆeme application projective.

R´eciproquement, si f et f⁰ d´efinissent la mˆeme application projective, alors d’abord P(Ker(f)) =P(Ker(f⁰)) car les deux applications projectives doivent avoir le mˆeme domaine de d´efinition. Ainsi Ker(f) = Ker(f⁰). Soit doncB = (u₀, . . . , u_n) une base de E telle que (u₀, . . . , u_k) est une base de Ker(f), posonsA_i = [u_i]∈P(E) pour touti∈~k+ 1, netA_n+1= [u₀+· · ·+u_n] = [u_n+1] o `uu_n+1=u₀+· · ·+u_n.

On aA_i ∈P(E)\P(Ker(f)) pouri≥k+ 1 doncϕ(A_i) = [f(u_i)] = [f⁰(u_i)], ainsi pour tout i∈~k+ 1, n+ 1il existeλ_i∈K^∗tel quef(u_i) =λ_if⁰(u_i). De plus, une base de ¯E=E/Ker(f) est constitu´ee de ( ¯u_k+1, . . . ,u¯_n) et l’application ¯f : ¯E→Fd´efinie par ¯f( ¯v) =f(v) est injective.

Ainsi, (f(u_k+1), . . . , f(u_n)) est une base de Im(f)⊂F. Donc, de la relation : λ_n+1f(u_n+1) =λ_n+1(f(u_k) +· · ·+f(u_n)) =λ_k+1f(u_k) +· · ·+λ_nf(u_n) on d´eduitλ_n+1=λ_i pour touti∈~k+ 1, n. Nous avons montr´ef⁰=λ_n+1f.

Soit R= (A0, . . . , An+1) et S= (B0, . . . , Bm+1) sont des rep`eres projectifs deP(E) et P(F), nous pouvons choisir (u₀, . . . , un+1) et (v₀, . . . , vm+1) vecteurs deE etF tels que Ai = [u_i] et B_j= [v_j] pour toutietj. Nous avons des basesB= (u₀, . . . , u_n) deEetC= (v₀, . . . , v_m) deF.

Nous consid´erons alors la matrice Mat_C,B(f). Cette matrice est d´etermin´ee `a un scalaire non nul pr`es, nous notons Mat_S,R(ϕ) une quelconque des matrices.

Exemple 3.II.3. — SoitFetGsous espaces deEtels queE=F⊕G. Alors laprojection sur P(F)parall`ele `aP(G) est l’application projective :

π:P(E)\P(G)→P(F) associ´ee `a la projection lin´eairepdeEsurF parall`ele `aG.

De fac¸on g´eom´etrique, l’image d’un pointP ∈P(E) parπest le point d’intersection de l’espaceG_P, que l’on d´efinit comme proj(P(G), P) avecP(F) :

π(P) =G_P∩P(F).

Posons c= dim(G) et remarquons que dim(F) =n+ 1−c i. e. codim(P(F)) =c. Aussi, si P < P(G) et P = [v], pour un certain v ∈ E, on a bien dim(G⊕Kv) = c+ 1 et bien s ˆur F+G+Kv=E. Donc :

dim(F∩(G+Kv)) = (n+ 1−c) + (c+ 1)−(n+ 1) = 1.

De ce fait, on voit que l’intersectionG_P ∩P(F) est bien un point, qui appartient `aP(F). Si l’on ´ecritv=u+w, avecu∈F etw∈Galorsp(v) =uetπ([v]) = [u] etu=−w+v∈G+Kv, donc le pointG_P∩P(F) est bienπ([v]).

3.II.B. Applications projectives et affines. — Nous allons explorer le lien entre appli-cation affine et projective, d’abord en consid´erant le compl´et´e projectif d’une appliappli-cation affine, ensuite en ´etudiant `a quelle condition une application projective induit une appli-cation affine.

3.II.B.1. Compl´et´e projectif d’une application affine. — SoitEetGespaces affines etϕ:E→G une application affine. Nous allons compl´eterϕ `a une application projective ˆϕ: ˆEdG.ˆ

ChoisissonsO∈EetQ∈G. Consid´erons les espaces directeursE et GdeEetGet les espaces ˆE=K×Eet ˆG=K×G. On noteu₀l’´el´ement (1,0) de ˆEetv₀l’´el´ement (1,0) de ˆG.

Pouru∈Eet v∈Gon identifieu `a (0, u)∈Eˆ etv `a (0, v)∈G. D´efinissons sur ˆˆ E et ˆGles

D´efinition 3.II.4. — L’applicationhomog´en´eis´eef_ϕ: ˆE→Gˆest d´efinie par : fϕ(x₀u0+u) =x0v0+x0w+ϕ#—(u), pour toutx0∈Ketu∈E.

Lecompl´et´e projectif ϕˆdeϕest l’application projective associ´ee `afϕ. C’est une application : ϕˆ: ˆE\P(Ker(ϕ#—))→G.ˆ

Remarque 3.II.5. — La restriction de ˆϕ `aEestϕ.

D´emonstration. — En effet,Eest identifi´e `a la partie de ˆEconsistant des points de la forme P = [u0+u] avecu∈E. Sur ces points, ˆϕprend valeur :

ˆ

ϕ([u₀+u]) = [v₀+w+ϕ(u)],#—

ce qui repr´esente le pointϕ(P) =Q+w+ϕ#—(u) = ˆϕ([u0+u]) = ˆϕ(P) dansG⊂G.ˆ

D´ecrivons ˆϕ en coordonn´ees. Notons E la direction de E et G celle de G. Soit R = (O, u₁, . . . , u_n) un rep`ere cart´esien de Eet S= (Q, v<sub>1</sub>. . . , v<sub>m</sub>) un rep`ere cart´esien de G. On consid´er´ee comme matrice de l’application projective associ´ee `aϕ. On notera MatS,ˆRˆ( ˆϕ).

Toutefois, cette matrice n’est d´efinie qu’`a un scalaire multiplicatif non-nul pr`es.

3.II.B.2. Application affine induite par une application projective. — Soitϕ :P(E)d P(G) une application projective,HetK des hyperplans deP(E) etP(G), posonsE=P(E)\Het G=P(G)\K. On se demande quandϕest le compl´et´e d’une application affineE→G.

Soit f :E →G lin´eaire induisantϕ,α ∈E^∨ et β ∈G^∨ tels queH =P(Ker(α)) et K = P(Ker(β)). On consid`ere aussif^∨:G^∨→E^∨.

Proposition 3.II.6. — L’application ϕ se restreint `a une application affineϕ₀ :E → G in-duisant ϕ si et seulement si ϕ(H)⊂K. Ceci arrive si et seulement s’il existe λ∈ K^∗ tel que f^∨(β) =λα.

D´emonstration. — Pour que ϕ soit d´efinie sur E il faut et il suffit que, pour tout v ∈ E\Ker(α), on ait f(v)∈G\Ker(β). Autrement dit, il faut quef(v)∈Ker(β) = Ker(f^∨(β)) impliquev∈Ker(α), i. e. :

Ker(f^∨(β))⊂Ker(α).

Ceci arrive si et seulement si il existeλ∈K^∗tel quef^∨(β) =λα.

L’application restreinteϕ0:E→Gest alors affine. En effet, d’abord on remplaceβ par β₀=_λ¹βde sorte queβ₀◦f =α. Puis, on identifieE`aFα={v∈E|α(v) = 1}par l’application

D´efinition 3.II.7. — Une homographie est une application projective bijective, i. e., une application projective induite par un isomorphisme lin´eaire.

Proposition 3.II.8. — Soit (A₀, . . . , A_n+1) et (B₀, . . . , B_n+1) rep`eres projectifs de deux espaces projectifsP(E)etP(F)de dimensionn. Alors il existe une et une seule homographieϕ:P(E)→ P(F)telle queϕ(A_i) =B_i pour touti∈~0, n+ 1.

Sig:E→Fest une deuxi`eme application lin´eaire dont l’application projective associ´ee ψ est une homographie telle queψ(A_i) =B_i pour touti ∈~0, n+ 1, alors pour tout i ∈

~0, n+ 1il existeλ_i ∈K^∗ tel queg(u_i) =λ_iv_i etg(u₀+· · ·+u_n) =λ_n+1(v₀+· · ·+v_n). Donc

λ_n+1(v₀+· · ·+v_n) =λ₀v₀+· · ·+λ_nv_n. Comme (v₀, . . . , v_n) est une base de F, on en d´eduit λ_i=λ_n+1pour touti∈~0, n+ 1. Ainsig=λ_n+1f doncϕ=ψ.

3.II.D. Groupe des homographies. —

D´efinition 3.II.9. — Legroupe des homographiesPGL(E) est le groupe des applications pro-jectives bipro-jectives de l’espace projectifP(E), muni de la loi de composition, avec ´el´ement neutre id_P(E). On ´ecrit PGLn+1(K) = PGL(Kⁿ⁺¹).

Proposition 3.II.10. — On aPGL(E) = GL(E)/K^∗idE, o`u le groupe des homoth´etiesK^∗idEest le centre deGL(E).

D´emonstration. — Une homographie est d´etermin´ee par un automorphisme deE, et cela

D´emonstration. — Une homographie est d´etermin´ee par un automorphisme deE, et cela

Dans le document Notes du cours de g´eom´etrie (Page 52-74)