Notes de cours,

Chapitre 2

Notions g´ en´ eralis´ ees de convexit´ e

Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser `a ´etabir des conditions n´ecessaires et/ou suffisantes de faible semi-continuit´e inf´erieure pour des fonctionnelles int´egrale du type

F(u) = Z

⌦

f(ru)dx

o`u⌦⇢R<sup>N</sup> est un ouvert born´e etf :R<sup>d⇥N</sup> !R est une fonction bor´elienne. Une grande partie des r´esultats pr´esent´es peuvent se g´en´eraliser `a des fonctionnelles d´ependant explicitement de x et u. Pour ne pas alourdir la pr´esentation, nous allons nous restreindre au cas de fonctionnelles autonomes o`uf ne d´epend uniquement que deru.

L’outil de base de ce chapitre est le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 2.0.9(Riemann-Lebesgue). Soient{e1, . . . , eN}une base deR^N,Y =⇧^N_i=1(ai, bi)⇢ R^N un cube dans cette base et u 2L^p_loc(R^N) (avec1 p  1) une fonction Y-p´eriodique, i.e., u(x+ (bi ai)ei) =u(x)pour presque tout x2R^N. Pour tout ">0 et presque toutx2R^N, on d´efinitu"(x) :=u(^x_"). Alors

u"*

Z

Y

u(y)dy

faiblement dansL^p(⌦)(faible* dans L¹(⌦)sip=1) pour tout ouvert born´e⌦⇢R^N. D´emonstration. Sans restreindre la g´en´eralit´e, on peut supposer queY = (0,1)^N.

Etape 1.Supposons d’abord quep=1. On a queku"kL¹(⌦) kukL¹(Y)de sorte que l’on peut extraire une sous-suite (u"j)j2N telle que u"j *u¯ faible* dans L¹(⌦) o`u ¯u 2L¹(⌦). Montrons que pour presque toutx2⌦,

¯ u(x) =

Z

Y

u(y)dy,

ce qui montrera que la limite faible* est `a la fois ind´ependante de la sous-suite et de l’ouvert⌦.

SoitQ⇢⌦un cube dont les cˆot´es sont parall`eles aux axes de coordonn´es et sont de longueurl.

Pourjassez grand, on a que"j< l. En posantmj= ([l/"j] 1)^N, o`u [·] d´esigne la partie enti`ere, on a

1

"jQ=

mj

[

i=1

(a^j_i +Y) +Ej, 15

o`ua^j_i 2Z^N etEj⇢Qest un ensemble tel que

|Ej|= 1

"j

Q\

mj

[

i=1

(a^j_i +Y) = 1

"j

Q

mj

[

i=1

(a^j_i+Y) =

✓ l

"j

◆N

mj.

Commemj ((l/"j) 2)^N = (l/"j)^N(1 2"j/l)^N = (l/"j)^N(1 2N"j/l+O("²_j)), on en d´eduit que|Ej|= 2N(l/"j)^{N 1}+O("²_j ^N). Or

Z

Q

✓

u"j(x)

Z

Y

u(y)dy

◆

dx = "^N_j Z

1

"jQ

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆ dz



mj

X

i=1

"^N_j Z

a^j_i+Y

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆ dz

+ "^N_j Z

Ej

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆ dz . CommeuestY-p´eriodique eta^j_i 2Z^N, on a

Z

a^j_i+Y

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆ dz=

Z

Y

✓

u(z a^j_i) Z

Y

u(y)dy

◆ dz

= Z

Y

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆ dz= 0.

Par ailleurs, commeu2L¹(Y),

"^N_j Z

Ej

✓ u(z)

Z

Y

u(y)dy

◆

dz 2"^N_j |Ej|kukL¹(Y)C"j!0.

En regroupant les estimations pr´ec´edentes et en passant `a la limite quandj!+1, on en d´eduit que pour tout cubeQ⇢⌦. Z

Q

✓

¯ u(x)

Z

Y

u(y)dy

◆ dx= 0.

Comme n’importe quel ouvertU de⌦peut s’´ecrire comme une union d´enombrable de cubes deux

`

a deux disjoints, on en d´eduit que pour tout ouvertU ⇢⌦, Z

U

✓

¯ u(x)

Z

Y

u(y)dy

◆ dx= 0.

Ceci montre que ¯u=R

Y u(y)dyp.p. sur⌦. Comme la limite est ind´ependente de la sous-suite, ceci implique que c’est en fait toute la suiteu"*R

Y u(y)dyfaible* dansL¹(⌦).

Etape 2.Supposons `a pr´esent que 1p <1. Soitu<sup>k</sup>:= max(min(u, k), k) la troncature de uau niveauk. CommeuestY-p´eriodique, alorsu<sup>k</sup>reste ´egalementY-p´eriodique et d’apr`es l’´etape

1,u^k_" *R

Yu^k(y)dyfaible* dansL¹(⌦) (et donc ´egalement faiblement dansL^p(⌦) puisque⌦ est born´e). Par ailleurs, en notantI"={a2Z^N : (a+Y)\¹_"⌦6=;}, alors #(I")C/"^N et

Z

⌦|u^k_" u"|^pdx="^N

Z

1

"⌦|u^k u|^pdx"^N X

a2I"

Z

a+Y|u^k u|^pdx

="^N#(I") Z

Y |u^k u|^pdxC Z

Y|u^k u|^pdx,

2.1. CONVEXIT ´E 17 o`u l’on a utilis´e le fait queu^k etusontY-p´eriodiques. Pour toutv2L^p0(⌦), on ´ecrit que

Z

⌦

✓ u"

Z

Y

u(y)dy

◆ v dx=

Z

⌦

✓ u^k"

Z

Y

u(y)dy

◆ v dx+

Z

⌦

(u" u^k")v dx.

Par passage `a la limite quand"!0, il vient que lim sup

"!0

Z

⌦

✓ u"

Z

Y

u(y)dy

◆ v dx



✓Z

Y

u^k(y)dy Z

Y

u(y)dy

◆ Z

⌦|v|dx+CkvkL^p0(⌦)ku^k ukL^p(Y). Par convergence domin´ee, u^k ! u dans L^p(Y). Par passage `a la limite quand k ! 1 dans l’estimation pr´ec´edente, on en d´eduit que

"!0lim

Z

⌦

✓ u"

Z

Y

u(y)dy

◆

v dx= 0 ce qui montre bien queu" *R

Y u(y)dyfaiblement dansL^p(⌦).

2.1 Convexit´ e

Grˆace au Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue, nous allons pouvoir en d´eduire des conditions n´ecessaires de semi-continuit´e inf´erieure pour les fonctionnelles int´egrale.

Th´eor`eme 2.1.1. Soient⌦⇢R^N un ouvert born´e etf :R^m!R une fonction bor´elienne born´ee inf´erieurement. Si la fonctionnelleF :L^p(⌦;R^m)!R[{+1} d´efinie par

F(z) = Z

⌦

f(z(x))dx

est faiblement semi-continue inf´erieurement dansL^p(⌦;R^m), alors f est convexe.

D´emonstration. Soient 2[0,1],AetB2R^m. On d´efinit la fonctionz:R^N !R^m par z(x) :=

(A sin2Zetnx1< n+ , B sin2Zetn+ x1< n+ 1

qui est (0,1)^N-p´eriodicit´e. D’apr`es le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue, la suitez" :=z(·/") conver- gence faiblement dansL^p(⌦;R^m) vers

Z

(0,1)^N

z(y)dy= A+ (1 )B.

Par hypoth`ese, on a donc que

|⌦|f( A+ (1 )B) = Z

⌦

f Z

(0,1)^N

z(y)dy

!

dxlim inf

"!0

Z

⌦

f(z")dx.

Comme la fonctionf z2L¹(R^N) est (0,1)^N-p´eriodique, une nouvelle application du Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue montre quef(z") = (f z)(·/"))*R

(0,1)^Nf(z(y))dy= f(A) + (1 )f(B) faible* dansL¹(⌦), soit

"!0lim

Z

⌦

f(z")dx=|⌦|( f(A) + (1 )f(B)).

En regroupant les relations pr´ec´edentes, on en d´eduit quef( A+ (1 )B) f(A) + (1 )f(B), i.e., quef est convexe.

En regroupant les Th´eor`emes1.2.3et2.1.1, on constate que la convexit´e def est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonctionnelle int´egraleF :L^p(⌦;R^m)!Rd´efinie par

F(z) = Z

⌦

f(z(x))dx soit faiblement semi-continue inf´erieurement dansL^p(⌦;R^m).

A l’aide de la m´ethode g´en´erale employ´ee dans la preuve du Th´eor`eme 2.1.1, nous allons `a pr´esent nous int´eresser aux fonctionnelles int´egrales qui d´ependent de gradients en distinguant le cas scalaire (d= 1) du cas vectoriel (d 2).

Commen¸cons par le cas scalaire. Notons que, dans ce cas, un ´el´ement deR^d⇥N n’est autre qu’un vecteur (ligne) deR^N.

Th´eor`eme 2.1.2. Soient⌦⇢R^N un ouvert born´e etf :R^N !R une fonction bor´elienne born´ee inf´erieurement. Si la fonctionnelleF :W^1,p(⌦)!R[{+1} d´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(ru(x))dx

est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(⌦), alors f est convexe.

D´emonstration. Soient 2[0,1],AetB2R^N. On d´efinit la fonctionu:R^N !Rpar u(x) :=

(A·x (1 )n|A B| sin2Z, n _|^{A B}_{A B|}·x < n+ , B·x+ (1 +n) |A B| sin2Z, n+  _|^{A B}A B| ·x < n+ 1.

Notons queu2W_loc^1,1(R^N) et son gradient ru(x) =

(A sin2Z, n _|^{A B}_{A B|}·x < n+ , B sin2Z, n+  _|^{A B}A B| ·x < n+ 1

estY-p´eriodique, o`uY est un cube avec une face orthogonale au vecteurA Bet dont la longueur des cˆot´es est ´egale `a 1.

On poseu"(x) ="u(x/") pour toutx2R^N et tout">0. Un calcul imm´ediat montre que pour toutx2R^N,

|u"(x) ( A+ (1 )B)x| (1 )|A B|",

ce qui montre queu"!( A+(1 )B)·xfortement dansL^p(⌦). Par ailleurs, commeru"2{A, B} p.p. dans ⌦, on en d´eduit que la suite (ru")">0 est born´ee dans L^p(⌦;R^N) ce qui montre que

u"*( A+ (1 )B)·xfaiblement dansW^1,p(⌦).

Par semi-continuit´e inf´erieure, il vient

|⌦|f( A+ (1 )B)lim inf

"!0

Z

⌦f(ru"(x))dx= lim inf

"!0

Z

⌦

f⇣ ru⇣x

"

⌘⌘

dx.

Comme la fonctionf ru2L¹(R^N) est (0,1)^N-p´eriodique, une nouvelle application du Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue montre quef(ru") = (f ru)(·/"))*R

(0,1)^Nf(ru(y))dy= f(A) + (1 )f(B), ce qui montre que

|⌦|f( A+ (1 )B)lim inf

"!0

Z

⌦

f⇣ ru⇣x

"

⌘⌘

dx=|⌦|( f(A) + (1 )f(B)), et donc la convexit´e def.

2.2. RANG-1-CONVEXIT ´E 19 En regroupant le Corollaire 1.2.4 et le Th´eor`eme2.1.2, on en d´eduit que dans le cas scalaire (d = 1) la convexit´e de f est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonctionnelle int´egraleF :W^1,p(⌦)!R d´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(ru(x))dx

soit faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(⌦). Le cas vectoriel est autrement plus compliqu´e. En e↵et, la convexit´e est loin d’ˆetre une condition n´ecessaire comme l’atteste l’exemple ci-dessous.

Exemple 2.1.3. On se place dans le casN=d= 2 etp >2. On poseQ= (0,1)²et on consid`ere la fonctionnelle int´egraleF :W^1,p(Q;R²)!Rd´efinie par

F(u) = Z

Q

detru dx.

Tout d’abord, remarquons que⇠2R^2⇥27!det⇠n’est pas convexe car c’est une forme quadratique non positive. Pourtant, nous allons montrer que la fonctionnelle F est faiblement continue dans W^1,p(Q;R²).

Tout d’abord, remarquons que siu:Q!R² est une fonction r´eguli`ere, alors on a detru= div(u1@2u2, u1@1u2).

Par int´egration, on obtient, pour tout'2Cc¹(Q), Z

Q'detru dx= Z

Q

(u1@2u2@1' u1@1u2@2')dx.

Par densit´e, cette ´egalit´e reste valide siu2W^1,p(Q;R²).

Si un * u faiblement dans W^1,p(Q;R²), par injection compacte de Rellich, on a un ! u fortement dansL^p(Q;R²). Commep >2, on en d´eduit que pour tout'2Cc¹(Q),

Z

Q

'detrundx! Z

Q

'detru dx,

i.e., detrun *detru faible* dans D⁰(Q;R²). Par ailleurs, comme le d´eterminant en dimension 2 est `a croissance quadratique, on en d´eduit kdetrunkL^p/2(Q)  Ckrunk²_L^p_(Q)  C et comme p/2>1, on en d´eduit que detrun*detrufaiblement dansL^p/2(Q). Par cons´equent,

Z

Q

detru dx= lim

n!+1

Z

Q

detrundx.

2.2 Rang-1-convexit´ e

Pour comprendre pourquoi la preuve du Th´eor`eme 2.1.2 ne fonctionne pas quand d 2, il convient de construire une fonction dont le gradient est constant par morceaux. Consid´erons pour simplifier le cas o`u le gradient ne peut prendre que deux valeurs donn´ees par des matrices Aet B2R^d⇥N.

Supposons pour fixer les id´ees queu:R^N !R^dest une fonction Lipschitz telle queru=Asur {x1<0}etru=B sur{x1>0}. Par int´egration, on en d´eduit que

u(x) =

(Ax+a six1<0, Bx+b six1>0.

Commeuest continue `a l’interface{x1= 0}, on doit avoirA(0, x2, . . . , xN)+a=B(0, x2, . . . , xN)+

bpour tout (x2, . . . , xN)2R^{N 1}, ce qui montre quea=bet

(A B)(0, x2, . . . , xN) = 0 pour tout (x2, . . . , xN)2R^{N 1}. En notant (A B)^(j) laj-`eme colonne de la matrice A B, on a alors

XN

j=2

xj(A B)^(j)= 0 pour tout (x2, . . . , xN)2R^{N 1},

ce qui implique que (A B)⁽²⁾ = · · · = (A B)^(N) = 0. Par cons´equent, la matrice A B est de rang 1 et on peut l’´ecrireA B =A⁽¹⁾⌦e1 (noter quee1 est un vecteur normal `a l’interface {x1= 0}.

Cette discussion motive la d´efinition suivante.

D´efinition 2.2.1. Une fonctionf : R^d⇥N ! R[{+1} est dite rang-1-convexesi pour toutes matricesAetB2R^d⇥N avec rang(A B)1 et tout 2[0,1],

f( A+ (1 )B) f(A) + (1 )f(B).

Remarque 2.2.2. SiAetB2R^d⇥N satisfont rang(A B)1, alors on peut ´ecrireB A=a⌦b aveca2R^detb2R^N. La rang-1- convexit´e est alors ´equivalente `a la convexit´e surRde la fonction t 7!f(A+ta⌦b). Si, de plus, f est de classeC<sup>2</sup>, alors la rang-1-convexit´e est ´equivalente `a la condition de Legendre-Hadamard

D²f(A)(a⌦b)(a⌦b) 0

qui assure l’ellipticit´e de l’´equation d’Euler-Lagrange associ´ee au probl`eme de minimisation de u7!F(u) =R

⌦f(ru)dx.

Remarque 2.2.3. Bien ´evidemment, toute fonction convexe est rang-1-convexe et les deux notions co¨ıncident dans le cas scalaire, i.e.,N = 1 ou d= 1. Cependant, dans le cas vectoriel (N 2 et d 2) ces deux notions sont distinctes comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 2.2.4. Ce premier exemple a ´et´e introduit par Dacorogna. On consid`ere les matrices de rang 1 suivantes

⇠1=

✓1 0 2 0

◆

, ⇠2=

✓0 1 0 1

◆

, ⇠3=

✓ 1 1

0 0

◆ .

On v´erifie facilement que det(⇠i ⇠j)6= 0 pour tout 1i6=j3. On pose alors f(⇠) =

(0 si⇠2{⇠1,⇠2,⇠3},

+1 sinon. .

On a que pour tout⇠ et⌘2R^2⇥2 avec rang(⇠ ⌘)1 et tout 2[0,1], f( ⇠+ (1 )⇠) f(⇠) + (1 )f(⌘).

Si⇠62{⇠1,⇠2,⇠3}ou ⌘62{⇠1,⇠2,⇠3}, alors le membre de droite est +1et l’in´egalit´e est ´evidente.

Si⇠2{⇠1,⇠2,⇠3}et⌘2{⇠1,⇠2,⇠3}avec⇠6=⌘, alors det(⇠ ⌘)6= 0 et donc la matrice⇠ ⌘n’est pas de rang 1, ce qui interdit ce cas. Enfin⇠2{⇠1,⇠2,⇠3} et⌘2{⇠1,⇠2,⇠3}avec⇠=⌘, l’in´egalit´e est ´evidente.

2.2. RANG-1-CONVEXIT ´E 21 Par ailleurs, on a d’une partf(¹₃⇠1+¹₃⇠2+¹₃⇠3) = +1et, d’autre part,¹₃f(⇠1)+¹₃f(⇠2)+¹₃f(⇠3) = 0, ce qui montre que

f

✓1 3⇠1+1

3⇠2+ 1 3⇠3

◆

> 1

3f(⇠1) + 1

3f(⇠2) +1 3f(⇠3), et donc quef n’est pas convexe.

Exemple 2.2.5. Si l’on s’int´eresse `a des fonctions `a valeurs finies, l’exemple suivant dˆu `a Daco- rogna et Marcellini (voir [4, Proposition 4.1.13 and 4.1.14]) fournit une fonction f : R^2⇥2 ! R d´efinie par

f(⇠) =|⇠|⁴ a(det⇠)² b|⇠|²det⇠,

qui est rang-1-convexe quand|b|4 et 8a+ 3b²16. Par ailleurs, si a= 0 etb= 4/p

3, f n’est pas convexe.

Th´eor`eme 2.2.6. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert born´e et f : R^d⇥N !R une fonction bor´elienne born´ee inf´erieurement. Si la fonctionnelleF :W^1,p(⌦;R^d)!Rd´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(ru(x))dx

est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(⌦;R^d), alors f est rang-1-convexe.

D´emonstration. Soient 2[0,1],AetB2R^d⇥N tels queA B =a⌦baveca2R^d,b2R^N et

|b|= 1. On d´efinit la fonctionu:R^N !R^d par u(x) :=

(Bx+a(b·x) (1 )na sin2Z, nb·x < n+ , Bx+ (1 +n) a sin2Z, n+ b·x < n+ 1.

Notons queu2W_loc^1,1(R^N;R^d) et son gradient ru(x) =

(B+a⌦b=A sin2Z, nb·x < n+ , B sin2Z, n+ b·x < n

estY-p´eriodique, o`uY est un cube avec une face orthogonale au vecteurbet dont la longueur des cˆot´es est ´egale `a 1.

On poseu"(x) ="u(x/") pour toutx2R^N et tout">0. Un calcul imm´ediat montre que pour toutx2R^N,

|u"(x) ( A+ (1 )B)x| (1 )|a|",

ce qui montre queu"!( A+ (1 )B)xfortement dansL^p(⌦;R^d). Par ailleurs, commeru" 2 {A, B}p.p. dans⌦, on en d´eduit que la suite (ru")">0est born´ee dansL^p(⌦;R^d⇥N) ce qui montre

queu"*( A+ (1 )B)xfaiblement dansW^1,p(⌦;R^d).

Par semi-continuit´e inf´erieure, il vient

|⌦|f( A+ (1 )B)lim inf

"!0

Z

⌦

f(ru"(x))dx= lim inf

"!0

Z

⌦

f⇣ ru⇣x

"

⌘⌘dx.

Comme la fonctionf ru2L¹(R^N) est (0,1)^N-p´eriodique, une nouvelle application du Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue montre quef(ru") = (f ru)(·/"))*R

(0,1)^Nf(ru(y))dy= f(A) + (1 )f(B), ce qui montre que

|⌦|f( A+ (1 )B)lim inf

"!0

Z

⌦

f⇣ ru⇣x

"

⌘⌘ dx=|⌦|( f(A) + (1 )f(B)),

et donc la rang-1-convexit´e def.

La rang-1-convexit´e est donc une condition n´ecessaire de semi-continuit´e inf´erieure. La question naturelle qui se pose est si c’est ´egalement une condition suffisante. Malheureusement ceci est faux en g´en´eral.

Exemple 2.2.7. On consid`ere le sous-espace vectoriel deR^3⇥2

L={r(e1⌦⌘1) +s(e2⌦⌘2) +te3⌦(⌘1+⌘2) : r, s, t2R},

o`u{e1, e1, e2} est la base canonique de R³ et{⌘1,⌘2} est la base canonique de R². On d´efinit la fonctiong:L!Rpar

g(r(e1⌦⌘1) +s(e2⌦⌘2) +te3⌦(⌘1+⌘2)) =rst pour toutr, s, t2R. SiP d´esigne la projection orthogonale surL, on d´efinit

f(⇠) :=g(P(⇠)) + 1

100(|⇠|²+|⇠|⁴) +k|⇠ P(⇠)|².

On montre alors quef est rang-1-convexe pour un certaink >0, mais que la fonctionnelle int´egrale u7!

Z

(0,1)²

f(ru)dx

n’est pas faible* semi-continue inf´erieurement dans W^1,1((0,1)²;R³). Cet exemple se g´en´eralise au cas o`uN 2 etd 3. N´eanmoins, il s’agit d’un probl`eme ouvert dans le casN =d= 2.

Terminons cette section par un r´esultat de continuit´e des fonctions rang-1-convexes `a croissance polynˆomiale qui sont un cas particulier de fonctions convexes par rapport `a chacune de leurs variables.

Proposition 2.2.8. Soitf :R^m !Rune fonction convexe par rapport `a chacune de ses variables et telle que

|f(⇠)|C(1 +|⇠|^p) pour tout⇠2R^m,

o`uC >0 et1p <1. Alors il existe une constante C⁰ >0 qui ne d´epend que deC, N, p etd telle que

|f(⇠) f(⌘)|C⁰(1 +|⇠|^{p 1}+|⌘|^{p 1})|⇠ ⌘| pour tout ⇠,⌘2R^m. D´emonstration. On posez0=⇠ et, pour tout 1km,zk =⇠+Pk

i=1(⌘j ⇠i)ei de sorte que f(⌘) f(⇠) =

Xm

k=1

(f(zk) f(zk 1)).

Or

f(zk) f(zk 1) =f(zk 1+ (⌘k ⇠k)ek) f(zk 1) =g(⌘k ⇠k) g(0),

o`u g(t) := f(zk 1+tek) pour tout t 2 R. Remarquons que, comme |zk 1|  |⌘|+|⇠|, alors

|g(t)| C(1 +|⌘|^p+|⇠|^p+|t|^p) pour tout t 2R. Comme g est convexe, par croissance du taux d’accroissement, on a pour toutstt⁰=t+|t|+|⇠|+|⌘|+ 1,

g(t) g(s)

t s  g(t⁰) g(t)

t⁰ t C1 +|⇠|^p+|⌘|^p+|t|^p

1 +|⇠|+|⌘|+|t| C(1 +|⇠|^{p 1}+|⌘|^{p 1}+|t|^{p 1}).

En particulier, si⌘k ⇠k>0, on poset=⌘k ⇠k ets= 0 et si⌘k ⇠k 0, on poses=⌘k ⇠k

ett= 0. Il vient alors que

|f(zk) f(zk 1)|C(1 +|⇠|^{p 1}+|⌘|^{p 1}+|⌘k ⇠k|^{p 1})|⌘k ⇠k|C(1 +|⇠|^{p 1}+|⌘|^{p 1})|⌘ ⇠|, ce qui donne le r´esultat annonc´e apr`es sommation.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 23

2.3 Quasiconvexit´ e

Une notion interm´ediaire entre la convexit´e et la rang-1-convexit´e est la quasiconvexit´e introduite par Morrey.

D´efinition 2.3.1. Une fonction bor´elienne et localement born´eef :R^d⇥N !Rest ditequasicon- vexesi

f(⇠) 1

|D| Z

D

f(⇠+r'(y))dy pour tout ouvert born´eD⇢R^N, tout⇠2R^d⇥N et tout'2C¹c(D;R^d).

Remarque 2.3.2. Quand f ne prend que des valeurs finies (ce qui sera le cas ici), la condition de quasiconvexit´e ne d´epend pas de l’ensembleD. En e↵et, siD⁰⇢R^N est un autre ouvert born´e, alors il existex02R^N etr >0 tels quex0+rD⁰⇢D. Si'2Cc¹(D⁰;R^d), on d´efinit

:=

(r' ^{x x}_r ⁰ six2x0+rD⁰,

0 sinon,

de sorte que 2Cc¹(D;R^d). Si la condition de quasiconvexit´e est v´erifi´ee pourD, alors

|D|f(⇠) Z

D

f(⇠+r (x))dx

=|D\(x0+rD⁰)|f(⇠) + Z

x0+rD⁰

f

✓

⇠+r'

✓x x0

r

◆◆

dx

= (|D| r^N|D⁰|)f(⇠) +r^N Z

D⁰

f(⇠+r'(y))dy, d’o`u

|D⁰|f(⇠) Z

D⁰

f(⇠+r'(y))dy.

Remarque 2.3.3. Sif est continue et satisfait une condition de croissance du type

|f(⇠)|C(1 +|⇠|^p) pour tout⇠2R^d⇥N,

avecC >0 et 1p <1, alors un argument de densit´e montre que la condition de quasiconvexit´e est ´equivalente `a

f(⇠) 1

|D| Z

D

f(⇠+r'(y))dy

pour tout ouvert born´eD⇢R^N, tout⇠2R^d⇥N et tout'2W₀^1,p(D;R^d).

Remarque 2.3.4. Sif :R^d⇥N !Rest convexe, alors l’in´egalit´e de Jensen montre que pour tout '2Cc¹(D;R^d), on a

Z

D

f(⇠+r'(y))dy f

✓Z

D

(⇠+r'(y))dy

◆

=f(⇠)

car ' = 0 dans un voisinage de @D. Ceci montre que toute fonction convexe est quasiconvexe.

Nous montrerons ult´erieurement que la quasiconvexit´e implique la rang-1-convexit´e.

L’int´eret majeur de la quasiconvexit´e est qu’elle fournit une condition n´ecessaire et suffisante de semi-continuit´e inf´erieure pour les fonctionnelles int´egrales. Le r´esultat suivant est dˆu `a Morrey, il a ´et´e ´etendu de nombreuses mani`eres notamment dans l’une de ses formes les plus g´en´erales par Acerbi et Fusco (voir [1]) pour des fonctionnelles int´egrales d´ependant dex,uetru.

Commen¸cons par la condition n´ecessaire qui est plus simple.

Th´eor`eme 2.3.5. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert born´e, 1  p  1 et f : R^d⇥N ! [0,+1) une fonction bor´elienne etF :W^1,p(⌦;R^d)!Rla fonctionnelle d´efinie par

F(u) = Z

⌦f(ru)dx pour tout u2W^1,p(⌦;R^d).

Si F est faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(⌦;R^d) alors f est semi-continue inf´erieurement et quasiconvexe.

D´emonstration. Si⇠n!⇠, on d´efinit pour tout x2R^N,un(x) =⇠nx et u(x) =⇠xde sorte que un!u (fortement) dansW^1,p(⌦;R^d) et donc

|⌦|f(⇠) = Z

⌦

f(ru)dxlim inf

n!+1

Z

⌦

f(run)dx= lim inf

n!+1|⌦|f(⇠n), ce qui montre quef est semi-continue inf´erieurement.

Montrons que f est quasiconvexe. Soient⇠ 2R^d⇥N, Y = (0,1)^N et' 2Cc¹(Y;R^d). On ´etend 'parY-p´eriodicit´e `a toutR^N et on pose u(x) =⇠xetun(x) =⇠x+_n¹'(nx) pour toutn2Net pour toutx2R^N. Clairementun!ufortement dansL¹(⌦;R^d) et comme la suite (run)n2N est born´ee dansL¹(⌦;R^d⇥N), alorsun *u faible* dansW^1,1(⌦;R^d) et donc ´egalement faiblement dansW^1,p(⌦;R^d). Par cons´equent, on a

|⌦|f(⇠) = Z

⌦

f(ru)dxlim inf

n!+1

Z

⌦

f(run)dx= lim inf

n!+1

Z

⌦

f(⇠+r'(nx))dx.

Sif(⇠+r')2L¹(Y), le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue montre quef(run) =f(⇠+r'(n·))* R

Y f(⇠+r'(y))dyfaiblement dansL¹(Y), d’o`u f(⇠)

Z

Y

f(⇠+r'(y))dy.

Si, en revanche,f(⇠+r')62L¹(Y), alors on a toujours f(⇠)+1=

Z

Y

f(⇠+r'(y))dy ce qui montre la quasiconvexit´e def.

Dans la preuve de la condition suffisante, nous utiliserons le r´esultat suivant qui ´etablit une forme de “di↵´erentiabilit´e approch´ee” des fonctions de Sobolev.

Th´eor`eme 2.3.6. Soitu2W^1,p(⌦)avec1p <1. Alors pour presque toutx02⌦, on

⇢lim!0

Z

B⇢(x0)

|u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0)|^p

⇢^p dx= 0.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 25 D´emonstration. Siuest une fonction r´eguli`ere, en posantg(t) =u(x0+t(x x0)), on ag(1) g(0) = R1

0 g⁰(s)ds, et donc, pour toutxetx02⌦, u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0) =

Z 1

0

[ru(x0+s(x x0)) ru(x0)]·(x x0)ds.

Par densit´e cette propri´et´e reste valide pour presque tout x0 2 ⌦ et presque tout x 2 ⌦. On multiplie cette ´egalit´e par'2Cc¹(B⇢(x0)) et on obtient d’apr`es le Th´eor`eme de Fubini, la formule de changement de variables et l’in´egalit´e de H¨older,

Z

B⇢(x0)

'(x)(u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0))dx

= Z 1

0

1 s^N+1

Z

Bs⇢(x0)

'

✓

x0+y x0

s

◆

[ru(y) ru(x0)]·(y x0)dy ds

⇢ Z 1

0

1 s^N

Z

Bs⇢(x0)

'

✓

x0+y x0

s

◆p⁰

dy

!1/p⁰

1 s^N

Z

Bs⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy

!1/p

ds

⇢k'kL^p0(B⇢(x0))

Z 1

0

1 s^N

Z

Bs⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy

!1/p

ds.

En divisant park'kL^p0(B⇢(x0))et en prenant le supremum parmi toutes les fonctions'2Cc¹(B⇢(x0)), il vient pour presque toutx02⌦,

Z

B⇢(x0)

|u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0)|^p

⇢^p dx

Z 1

0

Z

Bs⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy

! ds.

Pour tout⇢>0, on d´efinit la fonction continuef⇢: [0,1]!Rpar f⇢(s) :=

Z

Bs⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy pour touts2[0,1].

Il existe alorss⇢2[0,1] tel que R1

0 f⇢(s)dsf⇢(s⇢) de sorte que Z

B⇢(x0)

|u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0)|^p

⇢^p dx

Z

Bs⇢ ⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy.

Six0est un point de Lebesgue deru, i.e., presque tous les points de⌦, alors on a Z

Bs⇢ ⇢(x0)|ru(y) ru(x0)|^pdy!0, ce qui montre que Z

B⇢(x0)

|u(x) u(x0) ru(x0)·(x x0)|^p

⇢^p dx!0.

Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer le r´esultat de condition suffisante de faible semi- continuit´e inf´erieure.

Th´eor`eme 2.3.7. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert born´e et f : R^d⇥N !R une fonction continue et quasiconvexe satisfaisant la propri´et´e de croissance suivante : il existe >0,⇤>0et1< p <1 tels que

|⇠|^pf(⇠)⇤(1 +|⇠|^p) pour tout ⇠2R^d⇥N. Alors la fonctionnelleF :W^1,p(⌦;R^d)!R d´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(ru)dx pour toutu2W^1,p(⌦;R^d) est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(⌦;R^d).

D´emonstration. Soitun*ufaiblement dansW^1,p(⌦;R^d). Il s’agit de montrer que F(u)lim inf

n!+1F(un).

Notons que le membre de droite est toujours fini d’apr`es l’hypoth`ese de croissance, et du fait qu’en vertu du Th´eor`eme de Banach-Steinhaus la suite (run)n2N est born´ee dans L^p(⌦;R^d⇥N).

On consid`ere une sous-suite (unk)k2N telle que lim inf

n!+1F(un) = lim

k!+1F(unk).

Etape 1. On suppose d’abord que u(x) =⇠x pour tout x2⌦ est une fonction affine. L’id´ee consiste `a modifier la condition limite de la suiteunk par celle de sa limiteu.

Soit (µk)_n2N la suite de mesures positives dansM(⌦) d´efinie par µk(E) =

Z

E

(1 +|⇠|^p+|runk|^p)dx pour tout Bor´elienE⇢⌦.

Comme cette suite de mesures est born´ee, quitte `a extraire une nouvelle sous-suite, on peut supposer queµk*µfaible* dansM(⌦). Pour toutr >0, on note⌦r ={x2⌦: dist(x,@⌦)> r}. Comme les ensembles@⌦r sont deux `a deux disjoints, on en d´eduit que la famille{r >0 :µ(@⌦r)>0}est au plus d´enombrable, et on peut trouver unr >0 tel queµ(@⌦r) = 0.

Pour tout 0< < r, on consid`ere une fonction cut-o↵⌘2Cc¹(⌦) telle que 0⌘1,⌘= 1 sur

⌦r+ ,⌘= 0 sur⌦\⌦r et|r⌘|c/ . On pose alors

vk=⌘unk+ (1 ⌘)u2W^1,p(⌦;R^d)

qui satisfaitvk(x) =⇠xpour toutx2⌦\⌦r etvk =unk sur⌦r+ . En utilisant la condition de croissance surf, on en d´eduit que

Z

⌦f(runk)dx Z

⌦r+

f(rvk)dx Z

⌦

f(rvk)dx Z

⌦\⌦r

f(⇠) ⇤ Z

⌦r \⌦r+

(1 +|rvk|^p)dx.

Orrvk = ⌘runk+ (1 ⌘)⇠+r⌘⌦(unk u), ce qui implique que|rvk|^p c(|runk|^p+|⇠|^p+

|u unk|^p/ ^p). Par cons´equent, Z

⌦

f(runk)dx Z

⌦

f(rvk)dx Z

⌦\⌦r

f(⇠) C

Z

⌦r \⌦r+

✓

1 +|runk|^p+|⇠|^p+ 1

p|unk u|^p

◆ dx.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 27 Commevk(x) =⇠xpour toutx2⌦\⌦r , on a par d´efinition de la quasiconvexit´e que

Z

⌦f(rvk)dx |⌦|f(⇠).

Par ailleurs,

lim sup

k!+1

µk(⌦r \⌦r+ )µ⇣

⌦r \⌦r+

⌘.

Par passage `a la limite quandk!+1, il vient

k!lim+1

Z

⌦

f(runk)dx |⌦|f(⇠) |⌦\⌦r |f(⇠) Cµ⇣

⌦r \⌦r+

⌘ . En faisant tendre &0, on obtient que

lim&0µ⇣

⌦r \⌦r+

⌘=µ(@⌦r) = 0

d’apr`es le choix der. Par cons´equent, lim inf

n!+1

Z

⌦

f(run)dx |⌦|f(⇠) |⌦\⌦r|f(⇠), et on obtient le r´esultat en faisant tendrer&0.

Etape 2.Soitu2W^1,p(⌦;R^d) une fonction g´en´erale. On d´efinit la mesure

k(E) = Z

E

f(runk)dx pour tout Bor´elienE⇢⌦.

Comme cette mesure est born´ee, quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que k * faible* dans M(⌦). On d´esigne par L<sup>N</sup> la mesure de Lebesgue dans R<sup>N</sup>. Le th´eor`eme de d´ecomposition de Lebesgue montre que =aL^N+ ^so`ua2L<sup>1</sup>(⌦) et <sup>s</sup>est une mesure ´etrang`ere

`

a la mesure de Lebesgue. Nous allons montrer que pour presque toutx02⌦, a(x0) f(ru(x0)).

En e↵et, dans ce cas, on a lim inf

n!+1F(un) = lim

k!+1 k(⌦) (⌦) Z

⌦

a(x)dx Z

⌦

f(ru)dx, ce qui conclut la preuve du th´eor`eme.

Fixons un pointx02⌦un point de Lebesgue deu etaqui satisfait de plus

⇢lim!0

Z

B⇢(x0)

|u(x) u(x0) ru(x0)(x x0)|^p

⇢^p dx= 0, lim

⇢!0

s(B⇢(x0))

!N⇢^N = 0.

Par le th´eor`eme de di↵´erentiation de Lebesgue et le Th´eor`eme2.3.6, presque tous les pointsx02⌦ satisfont ces propri´et´es. Comme les ensembles {@B⇢(x0)}^⇢>0 sont deux `a deux disjoints, on en d´eduit que l’ensemble{⇢>0 : (@B⇢(x0))>0}est au plus d´enombrable. Il existe donc une suite (⇢j)j2N telle que⇢j!0 et (@B⇢j(x0)) = 0 pour toutj2N. Par cons´equent

a(x0) = lim

j!+1

1

!N⇢^N_j Z

B⇢j(x0)

a(x)dx+ ^s(B⇢j(x0))

!

= lim

j!+1

(B⇢j(x0))

!N⇢^N_j

= lim

j!+1 lim

k!+1

k(B⇢j(x0))

!N⇢^N_j = lim

j!+1 lim

k!+1

1

!N⇢^N_j Z

B⇢j(x0)

f(runk(x))dx.

On pose pour presque touty2B=B1(0),

vk,j(y) := unk(x0+⇢jy) u(x0)

⇢j 2W^1,p(B;R^d)

de sorte quervk,j(y) =runk(x0+⇢jy). D’apr`es la formule de changement de variable, on a donc a(x0) = lim

j!+1 lim

k!+1

1

!N

Z

B

f(rvk,j(y))dy

et Z

B|vk,j(y) ru(x0)y|^pdy= 1

⇢^N_j Z

B⇢j(x0)

|unk(x) u(x0) ru(x0)(x x0)|^p

⇢^p_j dx

de sorte que

j!lim+1 lim

k!+1

Z

B|vk,j(y) ru(x0)y|^pdy= 0.

Pour toutj2N, on peut donc trouver une suitek(j)%+1quandj!+1telle que, si l’on pose vj:=vk(j),j, alorsvj ! ru(x0)yfortement dansL^p(B;R^d) et

a(x0) = lim

j!+1

1

!N

Z

B

f(rvj(y))dy.

D’apr`es la propri´et´e de coercivit´e, on a que la suite (rvj)j2N est born´ee dansL<sup>p</sup>(B;R<sup>d⇥N</sup>) ce qui montre quevj*ru(x0)yfaiblement dansW<sup>1,p</sup>(B;R<sup>d</sup>). D’apr`es l’´etape 1, on en d´eduit que

a(x0) f(ru(x0)), comme annonc´e.

Remarque 2.3.8. Le r´esultat pr´ec´edent est loin d’ˆetre optimal. Il se g´en´eralise au cas o`uf satisfait C1(|⇠|^q+ 1)f(⇠)C2(1 +|⇠|^p) pour tout⇠2R^d⇥N,

avec 1q < petC1,C2>0.

La quasiconvexit´e def est donc une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonctionnelle int´egraleF :W^1,p(⌦;R^d)!Rd´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(ru(x))dx

soit faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(⌦;R^d). Elle implique donc la rang-1- convexit´e def. Ces deux notions sont toutefois distinctes (du moins quandd 3) comme l’atteste le contre-exemple de Sverak (voir Exemple2.2.7) o`u on peut montrer que la fonctionf construite, bien qu’´etant rang-1-convexe, n’est pas quasiconvexe.

Un exemple important de fonctions quasiconvexes quandN=d= 2 est le suivant. Nous avons d´ej`a vu que si⌦ ⇢ R<sup>2</sup> est un ouvert born´e et un *u faiblement dans W<sup>1,p</sup>(⌦;R<sup>2</sup>) avec p >2, alors det(run)*det(ru) faiblement dansL<sup>p/2</sup>(⌦). Par cons´equent, sig:R<sup>2⇥2</sup>⇥R!Rest une fonction convexe, le Th´eor`eme1.2.3assure que

Z

⌦

g(ru,detru)dxlim inf

n!+1

Z

⌦

g(ru,detrun)dx,

ce qui montre que, en vertu du Th´eor`eme 2.3.5 que ⇠ 2 R<sup>2⇥2</sup> 7! g(⇠,det⇠) est quasiconvexe. Il s’agit d’un cas tr`es particulier d’une classe de fonctions ditepolyconvexes.

Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer un r´esultat d’existence de minimiseurs dans le cas vectoriel dont la d´emonstration est identique `a celle du Th´eor`eme1.2.5.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 29 Th´eor`eme 2.3.9. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert born´e, f : R^d⇥N !R une fonction bor´elienne et g:⌦⇥R^d!R une fonction de Carath´eodory. On suppose que :

— f est quasiconvexe ;

— il existe >0,⇤>0et1< p <1tels que pour tout⇠2R^d⇥N,

|⇠|^pf(⇠)⇤(1 +|⇠|^p);

— il existe 1 < p < 1, a0, a1 2L¹(⌦) et b 0 tels que pour presque tout x 2⌦ et tout z2R^d,

a0(x)g(x, z)a1(x) +b|z|^p.

Siu02W^1,p(⌦;R^d), alors il existe une solutionu2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)au probl`eme de Dirichlet inf

v2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)

⇢Z

⌦

f(rv)dx+ Z

⌦

g(x, v)dx .