Devoir surveillé n

Devoir surveillé n

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Samedi 26 mars

Durée : 4 heures

L’épreuve est constituée de quatre exercices indépendants, et d’un problème (AouB) au choix. Le problème B est plus difficile que le problèmeAmais peut rapporter plus de points.

On est invité à prendre connaissance immédiatement des énoncés des deux problèmes. Au plus tard dix minutes après le début de l’épreuve, on choisira le problème traité et on l’indiquera en haut de la copie. On ne reviendra pas sur ce choix.

On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction.

Exercice 1

Pour tout nombre réel a, on considère la matriceM(a) =

1−a a a 1−a

∈ M₂(R).

1. DéterminerM(0)etM(1/2).

2. Pour touta∈R, exprimerM(a)en fonction des matrices I2 etJ =

1 1 1 1

, et calculerJ². 3. En déduire que pour tousa, b∈R, on a l’égalitéM(a)M(b) =M(a+b−2ab).

4. On suppose que a 6= 1

2. Montrer que M(a) est inversible et qu’il existe un b ∈ R tel que M(b) = (M(a))⁻¹. On exprimera ben fonction de a.

5. La matriceM(1/2)est-elle inversible ?

6. Déterminer l’unique nombrea₀ ∈R^∗ tel que (M(a₀))² =M(a₀).

7. On considère désormais les matricesP =M(a₀)etQ=I₂−P.

a. Montrer que pour tout a ∈R, il existe α ∈R tel que M(a) = P +αQ et exprimer α en fonction de a.

b. CalculerP²,P Q,QP etQ².

c. En déduire, pour tout n∈N^∗, l’expression de(M(a))ⁿ en fonction deP,Q,α etn.

d. Expliciter la matrice (M(a))ⁿ pour tout n ∈ N^∗. Si a 6= 1

2, la formule obtenue est-elle valable pourn=−1?

Exercice 2

On noteA=

1 5

−1 3

.

1. Montrer queA² = 4A−8I2.

2. En déduire queA est inversible et donner son inverse.

3. RetrouverA⁻¹ à l’aide de la formule de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre2.

Exercice 3

Dans cet exercice, on définit sur ]0,+∞[la fonction f par :

∀x∈]0,+∞[, f(x) =√ x lnx 1. Justifier que son ensemble de définition est bien]0,+∞[.

2. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0, en précisant la valeur en 0 de la fonction prolongée.

On appellera désormaisf la fonction prolongée, définie sur[0,+∞[.

3. Étudier la continuité def.

4. Démontrer quef est dérivable sur]0,+∞[. Est-elle dérivable en0? Quelle est l’allure de la courbe def au point d’abscisse x= 0? 5. Donner le développement limité à l’ordre1en 1 def.

6. Dresser le tableau de variations def, en précisant valeurs et limites aux bornes.

7. Montrer quef est deux fois dérivable sur ]0,+∞[et donnerf⁰⁰(x) pourx >0.

On donne : e⁻² ≈0,14 2/e≈0,74

Exercice 4

Le but de cet exercice est de donner des formules explicites des suites (un),(vn) et(wn) définies par les premiers termes :

u0 = 1, v0= 0, w0 = 1 et les relations de récurrence :

∀n∈N,







un+1 = 3un −2v_n −w_n v_n+1 = u_n −w_n w_n+1 = 2u_n −2v_n Partie I - Puissances de matrice

1. On considère la matriceC=





3 −2 −1 1 0 −1 2 −2 0



.

Pour quelles valeurs deλ∈Rla matrice C−λI₃ est-elle inversible ? 2. Soient les matricesP =





1 1 1 1 1 0 1 0 1



 etD=





0 0 0 0 1 0 0 0 2



.

a. Montrer que P est inversible et calculerP⁻¹. b. Démontrer que D=P⁻¹CP.

3. Exprimer la matriceC en fonction deD,P etP⁻¹.

Démontrer par récurrence que, pour toutn∈N,Cⁿ=P DⁿP⁻¹. 4. Soitn∈N. Expliciter la matriceDⁿ puis donner les coefficients deCⁿ. Partie II - Suites

5. Pourn∈N, on noteXn=



 u_n v_n wn



.

Montrer queX_n+1 =CX_npour tout n∈N. 6. Montrer par récurrence que∀n∈N, X_n=CⁿX₀.

7. Que vautX₀? En déduireX_n, puis u_n,v_n etw_n en fonction den∈N.

∀x∈R+, f_n(x) =x + 9x −4

Le but de ce problème est d’étudier l’équation f_n(x) = 0 et le comportement de la solution quand n tend vers +∞.

1. a. Dresser le tableau de variations de f_n et montrer que pour tout entier n∈N^∗, l’équation fn(x) = 0 n’a qu’une seule solution strictement positive, notéeun.

b. Calculeru1 etu2.

c. Vérifier que ∀n∈N^∗, un∈

0,2 3

.

2. a. Montrer que pour tout réelx de]0,1[, on afn+1(x)< fn(x).

b. En déduire le signe defn(un+1) puis les variations de la suite(un).

c. Montrer que (un) est convergente. On note` sa limite.

3. a. Déterminer un encadrement de unn pour tout n>1 et en déduire la limite deunn quand ntend vers +∞.

b. Donner enfin la valeur de `.

4. On noteun= 2 3 +vn.

a. Vérifier que v_n tend vers 0.

b. Montrer que 2

3 +vn

n

+ 9vn2+ 12vn= 0.

c. En déduire que v_n=

− 2

3 +vn

n

9vn+ 12 puis que v_n est équivalent à−1 12

2 3

n

. 5. Définir enScilabla fonction f5, qui prend un réel x et calculef₅(x).

Tracer enScilabla courbe représentative def5.

6. Compléter le programme suivant, pour calculeru5 par la méthode de dichotomie, à 10⁻⁴ près :

1 g = ...

2 d = ...

3 m = ...

4 while d-g > 10^∧∧∧(-4)

5 if f5( ... ) > 0 then

6 ...

7 else

8 ...

Problème B (d’après EDHEC 2004)

Pour tout entier naturel n, la fonction f_n est définie sur[0,+∞[par f_n(x) =

x e^−n/x six >0

0 six= 0

1. Montrer quefn est continue et dérivable sur [0,+∞[.

2. Étudier les variations defn, ainsi que sa limite en+∞. dresser son tableau de variations.

3. La fonction fn est-elle deux fois dérivable sur tout son ensemble de définition ? Préciser f_n⁰⁰(x) pour toutx en lequelf_n est deux fois dérivable.

4. Tracer dans un même repère l’allure des courbesC₁ etC₂.

5. a. Montrer que pour toutn∈Nil existe un unique réel un tel que fn(un) = 1.

b. Montrer que pour toutn∈N^∗, on aun>1, etun est solution de l’équationxlnx=n.

c. Étudier la fonctiongdéfinie parg(x) =xlnx. En déduire que la limite deunquandntend vers +∞ est+∞.

d. Montrer que lnu_n+ ln(lnu_n) = lnn et en déduire un équivalent simple deu_n. 6. Dans cette question, on ne s’intéresse plus qu’à la fonctionf₁ définie sur[0,+∞[par :

f1(x) =

xe^−1/x six >0

0 six= 0

On définit par ailleurs une suite(vn) parv0 = 1 et∀n∈N, vn+1 =f(vn).

a. Déterminer le signe de f1(x)−x sur [0,+∞[ et les éventuelles solutions dans [0,+∞[ de l’équation f1(x) =x.

b. Montrer que ∀n∈N, vn∈[0,1].

c. Étudier la monotonie de la suite(vn).

d. En déduire que (vn) converge et préciser sa limite.

7. Écrire une fonctionScilabqui prend un entier net qui calcule vn.