Devoir surveillé n

Devoir surveillé n

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Lundi 2 mai

Durée : 4 heures

L’épreuve est constituée de deux exercices indépendants, et d’un problème (AouB) au choix. Le problème B est plus difficile que le problèmeAmais peut rapporter plus de points.

On est invité à prendre connaissance immédiatement des énoncés des deux problèmes. Au plus tard dix minutes après le début de l’épreuve, on choisira le problème traité et on l’indiquera en haut de la copie. On ne reviendra pas sur ce choix.

On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction.

Exercice 1

On considère la suite (u_n)n∈Ndéfinie par u₀ = 1 et, pour toutn∈N^∗ : un=

Z 1 0

(ln(1 +t))ⁿ dt

1. Démontrer queu₁= Z 2

1

ln(x) dxpuis calculeru₁ à l’aide d’une intégration par parties.

2. On considère la fonctionf :t7→ln(1 +t).

Préciser l’ensemble de définition def, démontrer quef est de classeC^∞sur]−1,+∞[et dresser le tableau de variation def sur cet intervalle. Préciser la convexité de f.

Enfin, tracer la courbe représentative def dans un repère orthonormé (on donne :ln(2)'0,7).

3. a. Justifier pour tout réeltde [0,1] l’encadrement suivant :06ln(1 +t)6ln(2).

b. Montrer que pour toutnde N^∗, on a :06u_n6(ln(2))ⁿ.

c. En déduire que la suite (un)n∈N est convergente et a pour limite0.

4. a. À l’aide d’une intégration par parties, établir pour tout entier naturelnla relation suivante : u = 2 (ln(2))ⁿ⁺¹−(n+ 1)u

Exercice 2

Soitf la fonction définie surR parf(x) = e^x e^2x+ 1. 1. a. Démontrer que f est paire surR.

b. Justifier quef est C¹ surRet étudier ses variations.

c. Montrer que l’équationf(x) =x admet une unique solution`∈R<sup>+</sup>. d. Justifier que :06`6 1

2.

Données numériques: e^1/2 '1,65et e'2,72 au centième près.

e. Montrer que : ∀x>0, |f⁰(x)|6f(x). En déduire que : ∀x>0, |f⁰(x)|6 1 2. f. Vérifier que f

0,1

2

⊂

0,1 2

. 2. On définit la suite(un)n∈N par :

u0 = 0 et ∀n∈N, un+1 =f(un) a. Montrer que, pour tout n∈N, u_n∈

0,1

2

. b. Montrer que, pour tout n∈N:

|u_n+1−`|6 1

2|u_n−`| puis que |u<sub>n</sub>−`|6 1 2ⁿ⁺¹ c. En déduire que la suite (u_n) converge vers`.

3. Informatique

a. Écrire une fonction Scilabf qui prend en entrée un réelxet qui calcule f(x).

b. En utilisant la fonction f précédente, écrire une fonction SuiteU qui prend en entrée un entier positifn et qui calcule u_n.

c. En utilisant la fonction SuiteU précédente, comment peut-on obtenir à l’aide de Scilab une valeur approchée de `à10⁻⁶ près ?

Problème A

Soitf la fonction numérique de la variable réelle définie par :

∀x∈R, f(x) = 1

√1 +x²

et(un) la suite de nombres réels déterminée par :











u0 = Z 1

0

f(x)dx

∀n∈N^∗, un = Z 1

0

xⁿf(x)dx

On noteC_f la représentation graphique def, relativement à un repère orthonormal

O,~i,~j

.

Étude de f

1. Montrer que la fonctionf est paire surR.

2. Étudier les variations def sur l’intervalle[0,+∞[.

3. Montrer quef est bornée sur R. 4. Donner l’allure deC_f.

5. Montrer quef réalise une bijection de l’intervalle I = [0,+∞[sur un intervalle J à préciser.

6. Pour touty de l’intervalle]0,1],déterminer l’unique réelx appartenant à l’intervalle[0,+∞[tel que :

f(x) =y

7. En déduire une expression def⁻¹ :J →I, bijection réciproque def :I →J.

Calcul d’aire

On considère la fonction numériqueF de la variable réelle x définie par : F(x) = ln

x+p

x²+ 1

R

10. Montrer que F est impaire sur son ensemble de définition.

11. Déterminer la limite de F lorsque xtend vers +∞.

En déduire la limite deF quandx tend vers −∞.

12. ExprimerA(λ) en fonction deλet calculer la limite deA(λ) lorsque λtend vers+∞.

Étude de la suite (u_n). 13. Calculeru0 etu1.

14. Effectuer une intégration par parties et calculer u3. 15. Déterminer le sens de variations de la suite (un).

16. Montrer que la suite (un) est convergente.

(on ne cherchera pas sa limite dans cette question) 17. Justifier l’encadrement suivant :

∀x∈[0,1],∀n∈N, 06 xⁿ

√1 +x² 6xⁿ

en déduire que :

∀n∈N^∗, 06un6 1 n+ 1 18. Déterminer alors la limite de la suite (un).

Problème B

On considère l’application f :R→R, définie, pour tout réel t, par :

f(t) =







0 sit60 1

(1 +t)² sit >0 1. Tracer l’allure de la courbe représentative def.

2. Pourx dansR, on noteg(x) = Z x

−x

f(t)dt.

a. Quelle est la parité de g?

b. Calculer explicitement g(x). On pourra distinguer les cas x>0 etx <0.

c. Quel est le plus grand entier ntel que g soit de classeCⁿ surR? d. Montrer que g(x)tend vers 1 lorsquex tend vers +∞.

3. Déterminer un réel positifα tel que Z α

0

f(t)dt= 1 2. 4. Soitx∈[0,+∞[fixé.

On considère la fonctionϕx définie sur [0,+∞[par :∀u∈[0,+∞[, ϕ_x(u) = Z x+u

x−u

f(t)dt.

a. Calculerϕx(0)et lim

u→+∞ϕx(u).

b. Montrer : ∀(u,v)∈[0,+∞[², u < v ⇒

ϕx(v)−ϕx(u)>

Z x+v x+u

f(t) dt

. En déduire que ϕ_x est strictement croissante sur [0; +∞[.

c. On admet queϕ_x est continue sur[0,+∞[. Montrer que l’équation ϕ_x(u) = 1

2, d’inconnue u, admet une solution et une seule dans [0,+∞[.

On noteU : [0; +∞[→Rl’application qui, à tout réelx∈[0,+∞[, associeU(x), l’unique solution de l’équationϕ_x(u) = 1

2.

Ainsi, pour toutx∈[0,+∞[, on a :

Z x+U(x)

f(t) dt= 1 .

∀n∈N, an+1 = U(an)

a. Montrer : ∀n∈N, an> 1 2.

b. Montrer que la suite (a_n)n∈Nest décroissante.

c. En déduire que la suite (a_n)n∈N converge et montrer que sa limite est égale à 1 2.

d. Écrire un programme enScilabqui calcule et affiche le plus petit entier n∈Ntel que :

a_n−1 2

610⁻⁶

e. Qu’est-ce qui permet d’assurer la terminaison du programme précédent ?