Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien

Lycée Les Nobles Sala Al Jadida 2éme BAC PC

Matiére : Mathématiques 2018/2019

Professeur : Yahya MATIOUI www.etude-generale.com

Devoir Surveillé N4 Durée : 1H

03/01/2019

Problème 1 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = lnj2x 1j

1 2x

et (C_f) sa courbe représentative dans un repére orthonormé (O;!i ;!j ):

1. Déterminer D_f: (D_f l’ensemble de dé…nition de la fonctionf):

2. Montrer que :

8<

:

f(x) = ^ln(2x_{1 2x}¹⁾ si x2 ¹2;+1

f(x) = ^{ln(1 2x)}_{1 2x} si x2 1;¹₂ 3. a) Calculer : lim_{x !+1}f(x) et lim_{x ! 1}f(x):

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4. a) Calculer : lim_{x !}¹

2

x ¹₂

f(x) et lim_{x !}¹

2

x ¹₂

f(x):

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

5. Montrer que : 8

><

>:

f⁰(x) = ^2(ln(2x_{(2x 1)}^{1) 1)}2 si x2 ¹2;+1

f⁰(x) = 2(ln(1 2x) 1)

(2x 1)² si x2 1;¹₂ 6. Etudier le signe de f⁰(x) sur ¹₂;+1 et sur 1;¹₂ : 7. Dresser le tableau de variations de la fonction f:

8. Déterminer l’équation cartésienne de la tangente(T)à la courbe(C_f)en point d’abscisse x= 0:

9. Tracer(C_f):

10. Soitmun paramètre réel, déterminer graphiquement le nombre des solutions de l’équation : f(x) = m:

FIN

Pr : Yahya MATIOUI www:etude generale:com

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