www.etude-generale.com 2éme BAC PC–SM
Matiére : Mathématiques S2
Professeur : Yahya MATIOUI
Correction devoir surveillé N4
Problème 1 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = lnj2x 1j
1 2x 1. L’ensemble de dé…nition de la fonction f :
Df = fx2R= j2x 1j 6= 0 et 1 2x6= 0g
= x2R= x 6= 1 2
= 1;1
2 [ 1 2;+1 2. On exprime la fonctionf sans valeur absolue :
Si : 2x 1 0; alors x 12. Ce qui signi…e que : x 2 12;+1 : Donc j2x 1j = 2x 1: Alors l’espression de la fonction f sera :
f(x) = ln(2x 1) 1 2x
Si : 2x 1 0; alors x 12. Ce qui signi…e que x 2 1;12 :D’ou j2x 1j = (2x 1) = 1 2x: Alors l’espression de la fonction f sera :
f(x) = ln(1 2x) 1 2x Donc, on conclut que l’expression de f sur Df est :
8<
:
f(x) = ln(2x1 2x1) si x2 12;+1 f(x) = ln(1 2x)1 2x si x2 1;12 3. a) Calculons la limite de f en +1 et 1:
x lim!+1
ln(2x 1)
1 2x = lim
x !+1
ln(2x 1) 2x 1
2x 1 1 2x
= lim
x !+1
ln(2x 1) 2x 1
(1 2x) 1 2x
= lim
x !+1
ln(2x 1) 2x 1 = 0
La courbe (Cf) admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de +1:
et
x lim! 1
ln(1 2x)
1 2x = lim
x ! 1
ln(1 2x) 1 2x = 0
Car : on pose 1 2x = X et si x tend vers 1 alors : 1 2x tend vers +1. C’est-à-direX tend vers +1. On obtient donc limX !+1lnXX = 0:
La courbe (Cf) admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de 1:
4. a) Calculons les limites de f a droite et à gauche de 12: lim
x !12+
ln(2x 1)
1 2x = +1 et lim
x !12
ln( 2x+ 1)
1 2x = 1
Car limx
!12+ 1
1 2x = 1 et limx
!12 1
1 2x = +1:
La courbe(Cf) admet une asymptote verticale d’équation x= 12:
5. La fonction f s’écrit comme le quotient de deux fonctions : u : x 7 ! ln (2x 1) et v :x7 !1 2x:
On pose la fonction w:x !2x 1:
w est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur 12;+1 , et pour tout x de 12;+1 : w(x) 0: Donc la fonction u= lnw est dérivable sur 12;+1 . v est dérivable sur R et surtout sur 12;+1 et ne s’annule pas sur 12;+1 :Donc,
la fonctionf est dérivable sur 12;+1 comme quotient de fonctions dérivables sur
1
2;+1 :
Calculons f0(x);pour tout x de 12;+1 , f0(x) = ln(2x 1)
1 2x
0
= (ln(2x 1))0(1 2x) ln(2x 1)(1 2x)0 (1 2x)2
=
2(2x 1)
2x 1 + 2 ln(2x 1) (1 2x)2
= 2 + 2 ln(2x 1) (1 2x)2
= 2(ln(2x 1) 1) (2x 1)2
La fonction f s’écrit comme le quotient de deux fonctions : u : x 7 ! ln (1 2x) et v :x7 !1 2x:
v est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur 1;12 , et pour tout x de 1;12 : v(x) 0: Donc la fonction u= lnv est dérivable sur 1;12 . la fonction v ne s’annule pas sur 1;12 : Donc, la fonction f est dérivable sur
1;12 comme quotient de fonctions dérivables sur 1;12 : Calculons f0(x);pour tout x de 1;12 ;
f0(x) = ln(1 2x) 1 2x
0
= (ln(1 2x))0(1 2x) ln(1 2x)(1 2x)0 (1 2x)2
=
2(1 2x)
(1 2x) + 2 ln(1 2x) (1 2x)2
= 2 + 2 ln(1 2x) (1 2x)2
= 2(ln(1 2x) 1) (2x 1)2 Donc on obtient 8
><
>:
f0(x) = 2(ln(2x(2x 1)1) 1)2 si x2 12;+1 f0(x) = 2(ln(1 2x) 1)
(2x 1)2 si x2 1;12 6. a) Étudions le signe de f0(x) sur 12;+1 :
On a
8x2 1
2;+1 = f0(x) = 2(ln(2x 1) 1) (2x 1)2
Comme (2x 1)2 0; alors le signe de f0(x) est le signe du numérateur : ln (2x 1) 1:
f0(x) = 0 () ln(2x 1) 1 = 0 () ln(2x 1) = 1
() 2x 1 = e1 () x= e+ 1
2
étudions le signe de l’expression : ln(2x 1) 1 sur les intervalles : 12;e+12 et
e+1
2 ;+1 :
x 2 1
2;e+ 1
2 =) 1
2 x e+ 1
2 =) 0 2x 1 e =) ln(2x 1) 1 0.
(ln est strictement croissante) donc
8x2 1 2;e+ 1
2 = f0(x) 0
Ce qui signi…e quef est décroissante sur 12;e+12 : x 2 e+ 1
2 ;+1 =) x e+ 1
2 =) 2x 1 e =) ln(2x 1) 1 0.
(ln est strictement croissante) donc
8x2 e+ 1
2 ;+1 = f0(x) 0 Ce qui signi…e quef est croissante sur e+12 ;+1 : b) Étudions le signe def0(x) sur 1;12 :
On a
8x2 1;1
2 = f0(x) = 2(ln(1 2x) 1) (2x 1)2
Comme (2x 1)2 0; alors le signe de f0(x) est le signe du numérateur: ln(1 2x) 1:
f0(x) = 0 () ln(1 2x) 1 = 0 () ln(1 2x) = 1
() 1 2x=e1 () x= 1 e
2
étudions le signe de l’expression : ln(2x 1) 1 sur les intervalles : 12e;12 et 1;12e :
x 2 1 e
2 ;1
2 =) 1 e
2 x 1
2 =) 0 1 2x e =) ln(1 2x) 1 0.
(ln est strictement croissante) donc
8x2 1 e 2 ;1
2 = f0(x) 0 Ce qui signi…e quef est décroissante sur 12e;12 :
x 2 1;1 e
2 =) x 1 e
2 =) 1 2x e =) ln(1 2x) 1 0.
(ln est strictement croissante) donc
8x2 1;1 e
2 = f0(x) 0 Ce qui signi…e quef est croissante sur 1;12e :
7. D’après la question précédente, on déduit le tabeau de variations suivante :
8. L’équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (Cf) en point d’abscisse x = 0, s’écrit sous la forme
y =f0(0)(x 0) +f(0) et comme f0(0) = 2 et f(0) = 0, donc
(T) :y= 2x 9. La courbe (Cf) :
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x y
10. Le nombre des solutions de l’équation(E) : f(x) =m avec m 2R: Si : m 2 1; e1 alors l’équation (E) admet une unique solution.
Si : m 2 e1;1e alors l’équation (E) admet deux solutions.
Si : m 2 1e;+1 alors l’équation (E) admet une unique solution.
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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