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TD Matrices

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Academic year: 2022

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(1)

TD Matrices

On note I2 la matrice identité

(

1 00 1

)

et 0 la matrice nulle

(

0 00 0

)

Exercice 1 :

En utilisant le procédé basé sur l'algorithme de Gauss, pour chaque matrice suivante :

A =

(

−123 −322 −306

)

B =

(

0 2 41 1 32 0 2

)

C =

(

1 11 21 31 4 10 20136 1014

)

D =

(

−011 −1 011 01

)

(a) déterminer si elle est inversible ; (b) si oui, donner sa matrice inverse

Exercice 3 :

1. On considère la matrice A=

(

−1 2−5 6

)

.

(a) Vérifier la relation : A2−5A+4I2=0 .

(b) En déduire que la matrice A est inversible, c'est-a-dire qu'il existe une matrice B telle que AB=BA= I2 .

(c) Calculer B .

2. On considère la matrice B =

(

1 22 4

)

.

(a) Montrer : B2−5B=0

(b) En déduire que la matrice B n'est pas inversible

Exercice 4 :

Soient A et B deux matrices non nulles.

Montrer que si AB=BA=0 alors A et B ne sont pas inversibles.

Indication : supposez que A est inversible et montrer une contradiction.

Exercice 5 :

Soit A =

(

a bc d

)

une matrice carrée de taille 2.

1. Vérifier la relation : A2+(a+d)A+(ad−bc)I2=0

2. En déduire que la matrice A est inversible si et seulement si (ad−bc)≠0 3. Donner sa matrice inverse lorsqu'elle est inversible.

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