A5917 – Les inséparables
Q₁[*] Les deux entiers 2
2021et 5
2021sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
Q₂[**] Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2
net 5
ncommencent par le même chiffre.
Solution proposée par Nicolas Petroff
(Q1)
,
,
Le nombre obtenu par concaténation comporte 2022 = (1412 + 608 + 2) chiffres . (Ln est le logarithme népérien) .
(Q2)
:le chiffre de plus fort poids (partie entière de la mantisse en notation décimale) de est
,
de même le chiffre de plus fort poids (partie entière de la mantisse en notation décimale) de est
, (ENT est la partie entière d’un nombre réel) . Il faut donc trouver les valeurs de m telles que .
Le tableau suivant des mantisses en notation décimale des nombres
et
obtenu par Excel donne les occurrences de m pour lesquelles l’égalité est obtenue avec :m EXP((L10)*(m*(L5/L10) - INT(m*(L5/L10)))) EXP((L10)*(m*(L2/L10) - INT(m*(L2/L10))))
5 3,125 3,2
15 3,051757812 3,2768
******** ************************************ ************************************
78 3,30872245 3,022314549
88 3,231174268 3,094850098
98 3,155443621 3,169126501
108 3,081487911 3,245185537
118 3,009265538 3,323069989
******** ************************************ ************************************
181 3,262652234 3,064991082
191 3,186183822 3,138550868
201 3,111507639 3,213876089
211 3,038581679 3,291009115
******** ************************************ ************************************
274 3,294436857 3,035420144
284 3,217223493 3,108270228
294 3,141819818 3,182868713
304 3,068183416 3,259257562
******** ************************************ ************************************
367 3,326531125 3,006134506
377 3,248565552 3,078281734
387 3,172427297 3,152160496
397 3,098073532 3,227812348
407 3,025462433 3,305279844
******** ************************************ ************************************
470 3,280212943 3,048582569
480 3,203332952 3,12174855
490 3,128254836 3,196670516
500 3,054936363 3,273390608
******** ************************************ ************************************
563 3,312168642 3,01916994
573 3,23453969 3,091630018
583 3,158730166 3,165829139
593 3,084697427 3,241809038
603 3,012399831 3,319612455
******** ************************************ ************************************
666 3,266050442 3,061802069
676 3,189502384 3,135285319
686 3,114748422 3,210532166
696 3,041746506 3,287584938
******** ************************************ ************************************
759 3,29786817 3,032261899
769 3,220574385 3,105036185
779 3,145092173 3,179557053
789 3,071379075 3,255866422
******** ************************************ ************************************
852 3,329995865 3,003006732
862 3,251949087 3,075078893
872 3,175731531 3,148880787
882 3,101300323 3,224453925
892 3,028613597 3,30184082
******** ************************************ ************************************
955 3,283629441 3,045410629
965 3,206669376 3,118500484
975 3,131513063 3,193344495
985 3,058118225 3,269984763
******** ************************************ ************************************
1048 3,315618423 3,016028603
1058 3,237908617 3,088413289
1068 3,162020133 3,162535208
1078 3,087910287 3,238436053
1088 3,015537389 3,316158518
******** ************************************ ************************************
1151 3,269452189 3,058616375
1161 3,192824403 3,132023168
1171 3,117992581 3,207191724
1181 3,04491463 3,284164325
******** ************************************ ************************************
1244 3,301303057 3,02910694
1254 3,223928766 3,101805507
1264 3,148367936 3,176248839
1274 3,074578062 3,252478811
1284 3,002517639 3,330538302
******** ************************************ ************************************
1347 3,255336147 3,071879385
1357 3,179039206 3,14560449
1367 3,104530475 3,221098997
1377 3,031768042 3,298405373
******** ************************************ ************************************
1440 3,287049497 3,042241989
1450 3,210009275 3,115255796
1460 3,134774682 3,190021936
1470 3,061303401 3,266582462
******** ************************************ ************************************
1533 3,319071798 3,012890534
1543 3,241281053 3,085199906
1553 3,165313528 3,159244704
1563 3,091126492 3,235066577
1573 3,018678215 3,312708175
******** ************************************ ************************************
1636 3,272857479 3,055433995
1646 3,196149881 3,128764411
1656 3,121240119 3,203854756
1666 3,048086053 3,280747271
******** ************************************ ************************************
1729 3,304741521 3,025955264
1739 3,227286642 3,09857819
1749 3,151647111 3,172944066
1759 3,077780382 3,249094724
1769 3,005644904 3,327072997
******** ************************************ ************************************
1832 3,258726735 3,068683205
1842 3,182350327 3,142331602
1852 3,107763991 3,21774756
1862 3,034925772 3,294973502
******** ************************************ ************************************
1925 3,290473116 3,039076646
1935 3,213352652 3,112014485
1945 3,138039699 3,186702833
1955 3,064491894 3,263183701
******** ************************************ ************************************
2018 3,322528769 3,00975573
2028 3,244657001 3,081989867
2038 3,168610353 3,155957624
2048 3,094346047 3,231700607
2058 3,021822312 3,309261422
******** ************************************ ************************************
2121 3,276266315 3,052254926
2131 3,199478824 3,125509044
2141 3,124491039 3,200521261
2151 3,05126078 3,277333772
******** ************************************ ************************************
2214 3,308183567 3,022806866
2224 3,230648014 3,095354231
2234 3,154929701 3,169642733
2244 3,080986036 3,245714158
2254 3,008775426 3,323611298
******** ************************************ ************************************
2317 3,262120854 3,065490351
2327 3,185664896 3,139062119
2337 3,111000875 3,21439961
2347 3,038086792 3,291545201
******** ************************************ ************************************
2410 3,2939003 3,035914596
2420 3,216699512 3,108776547
2430 3,141308117 3,183387184
2440 3,067683708 3,259788476
******** ************************************ ************************************
2503 3,325989341 3,006624188
2513 3,248036466 3,078783168
2523 3,171910611 3,152673964
2533 3,097568956 3,228338139
2543 3,024969684 3,305818255
******** ************************************ ************************************
2606 3,279678703 3,049079165
2616 3,202811233 3,122257065
2626 3,127745345 3,197191234
2636 3,054438813 3,273923824
******** ************************************ ************************************
2699 3,311629197 3,019661745
2709 3,234012888 3,092133627
2719 3,158215711 3,166344834
2729 3,08419503 3,24233711
2739 3,011909209 3,320153201
******** ************************************ ************************************
2802 3,265518508 3,062300819
2812 3,188982918 3,135796038
2822 3,114241131 3,211055143
2832 3,041251104 3,288120467
******** ************************************ ************************************
2895 3,297331054 3,032755837
2905 3,220049858 3,105541977
2915 3,144579939 3,180074984
2925 3,070878847 3,256396784
******** ************************************ ************************************
2988 3,329453517 3,003495904
2998 3,25141945 3,075579805
3008 3,175214307 3,149393721
3018 3,100795222 3,22497917
3028 3,028120334 3,30237867
******** ************************************ ************************************
3091 3,283094644 3,045906708
3101 3,206147113 3,119008469
3111 3,13100304 3,193864672
3121 3,057620157 3,270517424
Plusieurs remarques sur ce tableau :
1) Entre deux lignes séparées par des « **** » correspond un delta(n) = 63 : ,
2) A l’intérieur de chaque groupe de lignes délimités par des « ***** » correspondent des delta(n) = 10 : ,
3) Deux types de groupes de lignes délimités par des « ***** » existent : des groupes de 4 et des groupes de 5 : , , ,
.
A l’intérieur d’un groupe, les mantisses (en notation décimale) des puissances de 5 décroissent, alors que les mantisses des puissances de 2 croissent.
Pour les puissances de 5, en composant pour les groupes de 4 : et pour les groupes de 5 : ,
pour les puissances de 2, en composant pour les groupes de 4 : et pour les groupes de 5 :
la fréquence d’apparition des groupes de 4 et des groupes de 5 et les produits de composition des
mantisses font que l’on retrouve sensiblement les mêmes valeurs des mantisses en notation décimale (et ceci à l’infini) des puissances de 2 et de 5 avec à l’intérieur d’un groupe quelconque les mêmes
caractéristiques de décroissance pour les puissances de 5 et de croissance pour les puissances de 2.
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