A5917 – Les inséparables [* et *** à la main]
Q₁ Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier
Q₂ Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Si n est tel que 10^k =< n < 10^(k+1) pour un entier k, alors n s'écrit avec k+1 chiffres.
En passant au log, nous avons k =< log(n) < k+1, d'où k = [log(n)] et donc n possède 1+[log(n)] chiffres.
L'entier considéré dans l'énoncé (concaténation de 2^2021 puis 5^2021) possède alors c = 1+[log(2^2021)] + 1+[log(5^2021)] chiffres.
D'où c = 2 + [2021log(2)] + [2021log(5)].
Finalement c = 2022.
Remarque : c'était prévisible puisque log(2^2021) + log(5^2021) = log(10^2021) = 2021.
Q2
Supposons qu'il existe n>0 tel que 2^n et 5^n commencent tous deux par le même chiffre i non nul, alors nous avons :
i*10^a =< 2^n < (i+1)*10^a i*10^b =< 5^n < (i+1)*10^b
Comme 2^n*5^n = 10^n, alors 10^0 =< i² =< 10^(n-a-b) < (i+1)² =< 10².
Si n=a+b, alors nous aurions i=1 et les égalités 2^n = 10^a et 5^n = 10^b impliqueraient n=a=b=0 : impossible puisque n>0.
Donc n=a+b+1 et i=3.
Pour l'existence, pas besoin d'aller bien loin puisque n=5 convient avec 2^5 = 32 et 5^5 = 3125.
Ces entiers sont référencés dans la suite OEIS A088935 : 5, 15, 78, 88, 98, 108, 118, 181, 191, 201, 211, ...
Remarque : il y a souvent des écarts de 10, en lien avec l'approximation 128 = 2^7 ~ 5^3 = 125, d'où 2^10 ~ 10^3 ou 5^10 ~ 10^7.
