Q₁ Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier
Q₂ Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
Q1 : Si l’on note [ x] la partie entière par défaut du nombre x, et log le logarithme décimal, le nombre de chiffres d’un entier N est [log(N)]+1.
Donc 2021=2021*log(10)=2021*(log(2)+log(5))=log(22021)+log(52021) ; chacun des deux termes n’étant pas entier, [log(22021)]+[log(52021)]=2020, et la somme des nombres de chiffres de 22021 et 52021 est 2022.
Q2 : 2n*5n=10n, donc si les deux facteurs commencent par le même chiffre, ce ne peut être que 3. Plus précisément, si l’on utilise la notation scientifique 2n=x*10k, 5n=y*10n-k-1 où x et y sont compris entre 1 et 10, x et y seront dans l’intervalle ]3, 10/3[ ; il existe une infinité de solutions pour l’équation log3<{n*log2}<1-log3 (en notant { } la partie décimale), les premières étant 5, 15, 78, 88, 98, 108, 118, ...
