A5917. Les inséparables
Q₁[*] Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier.
Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
Q₂[**] Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
SOLUTION
Q₁[*] Un entier naturel 𝑛 possède ⌊log 𝑛⌋ + 1 chiffres.
Ainsi, l’entier considéré possède :
⌊log(2-.-/)⌋ + 1 + ⌊log(5-.-/)⌋ + 1 = ⌊𝟐𝟎𝟐𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟐⌋ + ⌊𝟐𝟎𝟐𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟓⌋ + 𝟐 𝐜𝐡𝐢𝐟𝐟𝐫𝐞𝐬.
2021 log 2 et 2021 log 5 ne sont clairement pas des entiers, donc :
• ⌊2021 log 2⌋ < 2021 log 2 < ⌊2021 log 2⌋ + 1
• ⌊2021 log 5⌋ < 2021 log 5 < ⌊2021 log 5⌋ + 1 On en déduit que :
⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ < 2021 log 2 + 2021 log 5 < ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ + 2
⟺ ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ < 2021 log 10 < ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ + 2
⟺ ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ < 2021 < ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ + 2 On en conclut que ⌊2021 log 2⌋ + ⌊2021 log 5⌋ + 2 = 2 022.
D’où, l’entier considéré possède 𝟐 𝟎𝟐𝟐 𝐜𝐡𝐢𝐟𝐟𝐫𝐞𝐬 . Q₂[**] 2F× 5F = 10F.
Soit 𝑛 un entier donné.
Il existe 𝑎 ∈ [1; 10[ et 𝑘 ∈ ℕ tels que 2F = 𝑎 × 10N. On a alors 5F = 10F
𝑎 × 10N =1
𝑎× 10FTN = 10
𝑎 × 10FTNT/ avec 10
𝑎 ∈ [1; 10[ . 2F et 5F commencent par le même chiffre si, et seulement si, ⌊𝑎⌋ = a10
𝑎b ⟺ 𝑎 ∈ c3;10 3e.
Ainsi, 𝟐𝒏 𝐞𝐭 𝟓𝒏 commencent par le même chiffre, si, et seulement si, ce chiffre est 3.
2F ne se termine jamais par un 0 et 10
3 × 10N∉ ℕ.
On doit donc résoudre l’inéquation en 𝑛 suivante : 3 × 10N< 2F <10
3 × 10N ⟺ 3 × 10N < 2F < 10Nj/
3 klmno 𝑘 + log 3 < 𝑛 log 2 < 𝑘 + 1 − log 3
⟺ log 3 < 𝑛 log 2 − 𝑘 < 1 − log 3
⟺ log 3 − 1 < 𝑘 − 𝑛 log 2 < − log 3
⟺ 𝑛 log 2 + log 3 − 1 < 𝑘 < 𝑛 log 2 − log 3 Pour que 𝑘 existe, il faut et il suffit que 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ≤ {𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝟐} < 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 .
Conclusion : Les entiers 𝒏 recherchés sont toutes les solutions de l’inéquation : 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ≤ {𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝟐} < 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠 𝟑
où {𝒙} représente la partie décimale de 𝒙.
En complément, un petit programme Python qui donne tous les 𝑛 solutions inférieurs à 10 000 en moins de 4 millisecondes...
