A5917***** – Les inséparables Q₁

A5917***** – Les inséparables

Q₁ - Les deux entiers 2

et 5

sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.

Q₂ - Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2

et 5

commencent par le même chiffre.

Proposition de Marc Humery

Q₁ - Les deux entiers 2

et 5

sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.

En notation décimale, tout entier N formé de k chiffres vérifie la relation : 10

≤ N < 10

 k-1 ≤ log N < k  log N < k ≤ (1+log N)

On déduit :

2

=> log 2

= 2021 log 2 = 608,4 => 608,4 < k < 609,4 => k = 609 => 2

s’écrit avec 609 chiffres 5

=> log 5

= 2021 log 5 = 1412,6 => 1412,6 < k < 1413,6 => k = 1413 => 5

s’écrit avec 1413 chiffres Résultat :

2

U 5

s’écrit avec (609+1413) = 2022 chiffres

On note que 2²⁰²¹ x 5²⁰²¹ = 10²⁰²¹ est formé aussi de 2022 chiffres

Q₂ - Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2

et 5

commencent par le même chiffre.

2

= (a

,a

…) x 10

= (a

+x) x 10

avec 1 ≤ a

≤ 9 et x = (0,a

…) < 1

5

= 10

/2

= (1/a

,a

…) x 10

= (10/a

,a

…) x 10

= (b

,b

…) x 10

= (b

+y) x 10

avec 1 ≤ b

≤ 9 et y = (0,b

…) < 1

=> 2

x 5

= 10

= (a

+x) x 10

x (b

+y) x 10

= (a

+x)(b

+y) x 10

=> (a

+x)(b

+y) = a

b

+(b

x+a

y)+xy = 10 => (b

x+a

y)+xy = 10-a

b

> 0 => a

b

< 10

Exemple : n = 7 ; k = 2 ; (n-k-1) = 4

2⁷ = 128 = 1,28 x 10² = (1+0,28) x 10² => a0 = 1 ; x = 0,28

5⁷ = 78 125 = 7,8125 x 10⁴ = (7+0,8125) x 10⁴ => b0 = 7 ; y = 0,8125 ; a0b0 = 7 < 10

Si 2

et 5

commencent par le même chiffre => a

= b

=> a

(x+y) + xy = 10-(a

)² > 0 => a

² < 10

=> a

= 1, 2, 3 avec les conditions limitatives : xy < 1 et (x+y) < 2 a

= 1 => (x+y) + xy = 9 => 8 < (x+y) < 9 ; incompatible => a

≠ 1 a

= 2 => 2(x+y) + xy = 6 => 2,5 < (x+y) < 3 ; incompatible => a

≠ 2 a

= 3 => 3(x+y) + xy = 1 => 0 < (x+y) < 1/3 ; compatible => a

= 3

=> 2

= (3+x) x 10

; 5

= (3+y) x 10

Condition : x = (1-3y)/(3+y) > 0 et y = (1-3x)/(3+x) > 0 => x < 1/3 ; y < 1/3

=> 3 x 10

< 2

< (3,333…) x 10

et 3 x 10

< 5

< (3,333…) x 10

=> 9 x 10

< 3 x 2

< 10

et 9 x 10

< 3 x 5

< 10

Cycles pseudopériodiques pour n ≡ 5 ; 8 ; 1 ; 4 ; 7 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 2 [mod 10]

Période principale T

2

= 9,223 372… x 10

; 5

= 1,084 202… x 10

=> T = 63

Pseudo-périodes internes

2

= 1,024 x 10

; 5

= 9,765 625 x 10

=> τ

= 10 2

= 1,048 576… x 10

; 5

= 9,536 743… x 10

=> τ

= 20 2

= 1,073 742… x 10

; 5

= 9,313 226… x 10

=> τ

= 30 2

= 1,099 512… x 10

; 5

= 9,094 947… x 10

=> τ

= 40

Il m’est difficile d’expliciter toutes les valeurs de n par une simple formule analytique.

Je propose d’établir un début de la liste des n tels que 2

et 5

commencent par le même chiffre 3 en faisant

apparaître les périodes susnommées.

Début d’un tableau des valeurs de n tels que 2

et 5

commencent par le même chiffre 3

n = 5 ; 15 -> 15+63 = 78 n = 78 ; 88 ; 98 ; 108 ; 118 -> 118+63 = 181 n = 181 ; 191 ; 201 ; 211 -> 211+63 = 274 n = 274 ; 284 ; 294 ; 304 -> 304+63 = 367 n = 367 ; 377 ; 387 ; 397 ; 407 -> 407+63 = 470 n = 470 ; 480 ; 490 ; 500 -> 500+63 = 563 n = 563 ; 573 ; 583 ; 593 ; 603 -> 603+63 = 666 n = 666 ; 676 ; 686 ; 696 -> 696+63 = 759 n = 759 ; 769 ; 779 ; 789 -> 789+63 = 852 n = 852 ; 862 ; 872 ; 882 ; 892 -> 892+63 = 955

n = 955 ; 965 ; 975 ; 985 -> 985+63 = 1048 n = 1048 ; 1058 ; 1068 ; 1078 ; 1088 -> 1088+63 = 1151 n = 1151 ; 1161 ; 1171 ; 1181 -> 1181+63 = 1244 n = 1244 ; 1254 ; 1264 ; 1274 ; 1284 -> 1284+63 = 1347 n = 1347 ; 1357 ; 1367 ; 1377 ; -> 1377+63 = 1440 n = 1440 ; 1450 ; 1460 ; 1470 -> 1470+63 = 1533 n = 1533 ; 1543 ; 1553 ; 1563 ; 1573 -> 1573+63 = 1636 n = 1636 ; 1646 ; 1656 ; 1666 -> 1666+63 = 1729 n = 1729 ; 1739 ; 1749 ; 1759 ; 1769 -> 1769+63 = 1832 n = 1832 ; 1842 ; 1852 ; 1862 -> 1862+63 = 1925

n = 1925 ; 1935 ; 1945 ; 1955 -> 1955+63 = 2018 n = 2018 ; 2028 ; 2038 ; 2048 ; 2058 -> 2058+63 = 2121 n = 2121 ; 2131 ; 2141 ; 2151 -> 2151+63 = 2214 n = 2214 ; 2224 ; 2234 ; 2244 ; 2254 -> 2254+63 = 2317 n = 2317 ; 2327 ; 2337 ; 2347 ; -> 2347+63 = 2410 n = 2410 ; 2420 ; 2430 ; 2440 -> 2440+63 = 2503 n = 2503 ; 2513 ; 2523 ; 2533 ; 2543 -> 2543+63 = 2606 n = 2606 ; 2616 ; 2626 ; 2636 -> 2636+63 = 2699 n = 2699 ; 2709 ; 2719 ; 2729 ; 2739 -> 2739+63 = 2802 n = 2802 ; 2812 ; 2822 ; 2832 -> 2832+63 = 2895 n = 2895 ; 2905 ; 2915 ; 2925 -> 2925+63 = 2988 n = 2988 ; 2998 ; 3008 ; 3018 ; 3028 -> 3028+63 = 3091 n = 3091 ; 3101 ; 3111 ; 3121 -> 3121+63 = 3184 n = 3184 ; 3194 ; 3204 ; 3214 ; 3224 -> 3224+63 = 3287 n = 3287 ; 3297 ; 3307 ; 3317 ; -> 3317+63 = 3380 n = 3380 ; 3390 ; 3400 ; 3410 ; 3420 -> 3410+63 = 3473 ! n = 3473 ; 3483 ; 3493 ; 3503 ; 3513 -> 3513+63 = 3576 n = 3576 ; 3586 ; 3596 ; 3606 -> 3606+63 = 3669 n = 3669 ; 3679 ; 3689 ; 3699 ; 3709 -> 3709+63 = 3772 n = 3772 ; 3782 ; 3792 ; 3802 -> 3802+63 = 3865 n = 3865 ; 3875 ; 3885 ; 3895 ; 3905 -> 3905+63 = 3968 n = 3968 ; 3978 ; 3988 ; 3998 ; -> 3998+63 = 4061 n = 4061 ; 4071 ; 4081 ; 4091 -> 4091+63 = 4154 n = 4154 ; 4164 ; 4174 ; 4184 ; 4194 -> 4194+63 = 4257 n = 4257 ; 4267 ; 4277 ; 4287 ; -> 4287+63 = 4350 n = 4350 ; 4360 ; 4370 ; 4380 ; 4390 -> 4390+63 = 4453 n = 4453 ; 4463 ; 4473 ; 4483 ; -> 4483+63 = 4546 n = 4546 ; 4556 ; 4566 ; 4576 -> 4576+63 = 4639 n = 4639 ; 4649 ; 4659 ; 4669 ; 4679 -> 4679+63 = 4742 n = 4742 ; 4752 ; 4762 ; 4772 -> 4772+63 = 4835

n = 4835 ; 4845 ; 4855 ; 4865 ; 4875 -> 4875+63 = 4938 n = 4938 ; 4948 ; 4958 ; 4968 ; -> 4968+63 = 5031 n = 5031 ; 5041 ; 5051 ; 5061 -> 5061+63 = 5124 n = 5124 ; 5134 ; 5144 ; 5154 ; 5164 -> 5164+63 = 5227 n = 5227 ; 5237 ; 5247 ; 5257 -> 5257+63 = 5320 n = 5320 ; 5330 ; 5340 ; 5350 ; 5360 -> 5360+63 = 5423 n = 5423 ; 5433 ; 5443 ; 5453 -> 5453+63 = 5516