Diophante A5917 – Les inséparables
Q [*] Les deux entiers 2₁ 2021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
Q [**] Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2₂ n et 5n commencent par le même chiffre.
Réponse:
Q1
Log10(22021) + Log10(52021) = Log10(22021 x 52021) = Log10(102021) = 2021.
Les deux logarithmes additionnés étant irrationnels,
la somme de leurs parties entières par défaut est 2021 - 1 = 2020.
En écriture décimale, le nombre de chiffres de chacun des deux entiers est égal au nombre qui suit immédiatement la partie entière par défaut de leur logarithme en base 10.
Le nombre de chiffres de l'entier concaténé est 2020 + 1 + 1 = 2022.
Q2
Posons 2n = AP et 5n = AQ, où A est un chiffre différent de 0, P et Q sont respectivement des nombres de p et de q chiffres.
A2 x 10(p + q) < 10n < (A + 1)2 x 10(p + q). A < 10(n - p - q)/2 < A + 1.
Nécessairement n - p - q = 1 et A = 3 (√10 = 3,1+).
3 x 10p < 2n < 4 x 10p s'écrit aussi 1/2 < 5p/2q < 2/3.
3 x 10q < 5n < 4 x 10q s'écrit aussi 1/3 < 5p/2q < 4/5.
Le premier jeu d'inégalités donne un intervalle strictement inclus dans le second.
Tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre sont ceux tels que 2n commence par le chiffre 3.
Au début, n = 5 (25 = 32, p = 1, 55 = 3 125, q = 3)
puis n = 15 (215 = 32 768, p = 4, 515 = 30 517 578 125, q = 10).
L'ensemble des (v - u Log2(5)), où v et u sont des nombres relatifs, forme un groupe additif.
Ce groupe n'est pas cyclique car Log2(5) = 2,3+ est irrationnel.
Ce groupe est dense dans l'ensemble des nombres réels.
Le premier jeu d'inégalités s'écrit également (Log2(3) - 1) = 0,5+ < (q - p Log2(5)) < 1.
Les couples (q, p) donc les n sont en quantité infinie.
Notons que (1 + Log2(5)) = 3,3+, lui, est encadré par (n - 2)/p et (n - 1,6-)/p.
Jean-Louis Legrand
