A5917. Les ins´ eparables
La notation scientifique du nombre entier positifN =M10E se compose de la mantisseM, nombre d´ecimal 1≤ M <10, et de l’exposantE, nombre entier.
La 1`ere question concerne principalement l’exposant, la 2`eme concerne uniquement la mantisse.
/Q1 :
Le nombre de chiffres d´ecimaux deN est ´egal `aE+ 1.
PourN2= 22021, c’est b2021×log10(2)c+ 1 PourN5= 52021, c’est b2021×log10(5)c+ 1 etlog10(2) +log10(5) = 1
Le nombre concat´en´e a donc le mˆeme nombre de chiffres que102021, c`ad2022, parce que b2021×log10(2)c+b2021×log10(5)c= 2020
Les609chiffres de22021, et les1413chiffres de52021sont r´epartis comme suit :
Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N2 47 61 54 66 63 61 63 69 61 55
N5 139 128 149 137 141 147 144 137 141 124
/Q2 :
Le premier chiffre deN est la partie enti`ere de la mantisse.
Pour tout n, le produit des mantisses de 2n et de 5n est ´egal `a 10. Il y a donc une infinit´e de valeurs den telles que2net 5ncommencent par le mˆeme chiffre, qui est3dans tous les cas. Pour ces valeurs, la mantisse de2net celle de5nsont comprises entre 3et 10
3, ou, de fa¸con plus pratique :
log10(3)≤ F(n×log10(2))<1−log10(3) F:partief ractionnaire
Les90premiers (jusqu’`an= 2000) sont :
1
rang n ´ecart rang n ´ecart rang n ´ecart
1 5 31 676 10 61 1347 63
2 15 10 32 686 10 62 1357 10
3 78 63 33 696 10 63 1367 10
4 88 10 34 759 63 64 1377 10
5 98 10 35 769 10 65 1440 63
6 108 10 36 779 10 66 1450 10
7 118 10 37 789 10 67 1460 10
8 181 63 38 852 63 68 1470 10
9 191 10 39 862 10 69 1533 63
10 201 10 40 872 10 70 1543 10
11 211 10 41 882 10 71 1553 10
12 274 63 42 892 10 72 1563 10
13 284 10 43 955 63 73 1573 10
14 294 10 44 965 10 74 1636 63
15 304 10 45 975 10 75 1646 10
16 367 63 46 985 10 76 1656 10
17 377 10 47 1048 63 77 1666 10
18 387 10 48 1058 10 78 1729 63
19 397 10 49 1068 10 79 1739 10
20 407 10 50 1078 10 80 1749 10
21 470 63 51 1088 10 81 1759 10
22 480 10 52 1151 63 82 1769 10
23 490 10 53 1161 10 83 1832 63
24 500 10 54 1171 10 84 1842 10
25 563 63 55 1181 10 85 1852 10
26 573 10 56 1244 63 86 1862 10
27 583 10 57 1254 10 87 1925 63
28 593 10 58 1264 10 88 1935 10
29 603 10 59 1274 10 89 1945 10
30 666 63 60 1284 10 90 1955 10
La 1`ere co¨ıncidence se produit pour n= 5: 25 = 32et55= 325
Par la suite, on retrouve une co¨ıncidence au bout de10 pas (210 = 1024 et 510 = 9765625), ou de 63pas tous les 100pas environ (263 = 9.2234 1018 et et563 = 1.0842 1044), ou encore de 53 pas tous les 3000 pas environ (253= 9.0072 1015 et et553= 1.1102 1037).
Entre 2 co¨ıncidences s´epar´ees de 10 pas, la mantisse de 2n est multipli´ee par 1.024. Quand apr`es 10 pas suppl´ementaires, elle d´epasse3.333, on entame un intervalle de63pas (multiplication par0.92234) ou de 53 pas (multiplication par0.90072) au bout duquel la mantisse de2nest tr`es l´eg`erement sup´erieure `a 3, et c’est reparti pour un cycle.
On ne peut pas avoir d’autre intervalle entre co¨ıncidences que10,53ou63: si `a la co¨ıncidence pr´ec´edente, la mantisse de2nest de
10
3 −ε
,53pas suffisent pour la ramener `a3.0024, et si elle vaut
10
3×1.024 +ε
, 63pas suffisent pour la ramener aussi `a3.0024.
Le ratio des mantisses de5n et de2n lors des co¨ıncidences ´evolue entre0.67 et 1.33. Il est repr´esent´e sur la figure ci-dessous pour1≤ n≤2000 :
2
