ULCO 2019 – 2020
M1 Recherche Alg`ebre
TD 4 – Extensions normales et s´eparables
Exercice 1. Montrer que toute extension quadratique est normale.
Exercice 2. Soitd∈Q∗\(Q∗)2. On noteK=Q(√
d),θ=a+b√
d∈K∗\(K∗)2o`u(a, b)∈Q×Q∗ etL=K(√
θ). On suppose que ces trois corps sont inclus dans une clˆoture alg´ebriqueQ⊂CdeQ.
a.Construire tous lesQ-isomorphismes deLdansQ.
b.Montrer queL/Qest une extension normale si et seulement sia2−db2∈(K∗)2. c.D´eterminerQ∗∩(K∗)2.
d.On supposea2−db2 =x2,x∈Q∗.
i.Montrer que tous les automorphismes deLsont d’ordre1ou2.
ii.Montrer queLcontient d’autre sous-corps quadratiques queK.
e.On supposea2−db2 =dx2,x∈Q∗. Montrer qu’il existe unQ-automorphisme deLd’ordre4.
f.Appliquer ce qui pr´ec`ede avecd= 2etθ= 2−√ 2.
g.SiL/Qn’est pas normale, quelle est la plus petite extension normaleM qui la contient et que vaut[M :Q].
Exercice 3.
a.SoitP =X4−2∈Q[X], montrez queP est irr´eductible.
b.SoitL=Q(√4
2), montrez queLcontient une extension quadratiqueKdeQ. c.SoitQune clˆoture alg´ebrique deQ, construire lesQ-isomorphismes deLdansQ.
d.Montrer que le corps de d´ecomposition N de P sur Qest une extension de degr´e 8 et qu’il contient une extension normale de degr´e4.
e.Construire les prolongements `aN desQ-isomorphismes deLdansN.
Exercice 4. Soitpun nombre premier etKun corps fini de caract´eristiquep.
a.Montrer que l’applicationF d´efinie parF(x) =xpest un automorphisme deK.
b.Monter que siK =FpalorsF est l’identit´e.
Exercice 5. Soitpun nombre premier etn >0un entier.
a.SoitL/Fpune extension de corps de degr´en. D´eterminer le cardinal deL.
b.Montrer que s’il existe un corps `apn ´el´ements alors c’est le corps de d´ecompostion d’un po- lynˆomeP que l’on d´eterminera
c.En d´eduire que s’il existe ce corps est unique `a isomorphisme pr`es.
d.SoitΩune clˆoture alg´ebrique deFp etM l’ensemble des racines deP. Montrer queM est un corps `apn´elements contenantFp.
1
Exercice 6.
a.Soitn∈N\ {0}.
i.Montrer que pour tout diviseurdden,Z/nZa exactement un sous groupe d’ordred.
ii.Montrer qu’on an=P
d|nϕ(d).
b.SoitKun corps finis `aq ´el´ements. On posen=q−1.
i.Soit dun diviseur den. Montrer que le nombre N(d) d’´el´ements d’ordreddans K∗ est0 ouϕ(d).
ii.En d´eduire queK∗est un groupe cyclique d’ordren.
c.Plus g´en´eralement montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cy- clique.
Exercice 7. SoitK un corps de caract´eristiquep6= 0etL/K une extension finie. Montrer qu’il existe α∈Ltel qu’on aitL=K(α).
Exercice 8. Montrer que siK est de caract´eristique2,d ∈ K∗/(K∗)2 etL = K(√
d) alors l’identit´e est le seul isomorphisme deLdans une clˆoture alg´ebrique deΩ.
2
