UE7 Arithmétique et géométrie Université de Nice
Extensions de corps
I. Extensions de corps, [Perrin], [Chambert-Loir]
Exercice 1. — Montrer qu’un morphisme de corps est toujours injectif.
Exercice 2. — Montrer qu’on a l’égalitéQ[√ 2,√
3] =Q[√ 2 +√
3].
Exercice 3. — Soitkun corps etP ∈k[X]un polynôme.
Montrer queK :=k[X]/(P)est un corps ssiP est irréductible. Dans ce cas, comment calcule-t-on explicitement l’inverse d’un élément non nul ?
Exercice 4. — SoientK un corps etLune extension finie deK.
a) Soientx, ydeux éléments deL. Montrer quexety sont algébriques surK.
On noteΠx,Πy leurs polynômes minimaux respectifs.
b) Montrer queΠxest irréductible surK(y)si et seulement siΠy est irréductible sur K(x).
Exercice 5. — Soient k un corps et P ∈k[X] un polynôme irréductible de degré n.
Soit égalementK une extension finie dekde degrém.
a) Sin6 |m, montrer queP n’a pas de racines dansK.
Application : Montrer queX3−2∈Q[i][X]est irréductible.
b) Simest premier àn, montrer queP est irréductible surK.
Application : Montrer queX7−2∈Q[i][X]est irréductible.
Exercice 6. — SoitP ∈k[X]un polynôme de degrén >0. Montrer queP est irréduc- tible dansk[X]ssiP n’a aucune racine dans toute extensionk⊂Lde degré[L:k]6 n2. Exercice 7. — [Extensions de degré2.]
SoientK un corps de caractéristique différente de2et Lune extension de Kde degré 2.Montrer qu’il existex∈L\K tel queL=K(x)et α:=x2∈K.
Donner un exemple où ce n’est pas le cas en caractéristique2.
Exercice 8. — [Extensions de degré3.]
SoientK un corps,P∈K[X]un polynôme unitaire de degré3etLun corps de décom- position deP.
a) Montrer que les seules valeurs possibles pour[L:K]sont1,2,3,6.
b) Montrer queP est irréductible ssi[L:K]∈ {3,6}.
c) Soitα, β, γles trois racines deP dansL. Montrer que le discriminant deP, c’est-à- dire
∆ := (α−β)2(β−γ)2(γ−α)2 appartient àK.
d) SiP est irréductible, montrer que l’on a[L:K] = 3ssi∆ est un carré dansK.
[Indication: Si∆n'est pas un carré, noter que[K[√
∆] :K]divise[L:K].]
e) Application : montrer qu’un polynômeP ∈R[X] de degré 3 a toutes ses racines réelles ssi∆(P)>0.
Exercice 9. — [Théorème de Wantzel]
a) Montrer que l’ensemble C des réels constructibles à la règle et au compas est un sous-corps deR.
b) Montrer que six >0 etx∈ C, alors√ x∈ C.
c) Montrer que sixest constructible, il existe une suite finie d’extensionsQ=:E0⊂ E1⊂. . . En quadratiques (i.e.[Ei+1:Ei] = 2) telle quex∈En.
d) En utilisant l’Ex.7, montrer que la réciproque est vraie.
e) Application :Montrer que si x∈R est constructible, alorsxest algébrique et de degré une puissance de2. En déduire l’impossibilité de la quadrature du cercle et de la trisection de l’angle.
Exercice 10. — Montrer qu’une extension finie deQne contient qu’un nombre fini de racines de l’unité.
Exercice 11. — Pour n > 1 un entier, on noteΦn =
ϕ(n)
P
k=0
akXk le n-ème polynôme cyclotomique.
a) Rappeler la définition deΦn, déterminer son degréϕ(n)et montrer queΦn ∈Z[X].
b) Quel est le degré de l’extensionQ⊂Q[e2iπn ]?
c) Pourn >2, montrer que le degré de l’extensionQ[cos(2πn)]⊂Q[e2iπn ]vaut2.
[Indication: Noter que pourn >2,e2iπn 6∈R.]
d) En déduire le degré de l’extensionQ⊂Q[cos(2πn)]lorsquen >2.
Cela montre en particulier que pourn >2, ϕ(n)est pair. Est-ce une surprise ? e) En déduire que les seules valeurs entières dentelles quecos(2πn)soit rationnel sont
1,2,3,4et 6.
f ) De même, montrer qu’il n’y qu’un nombre fini d’entiers que l’on précisera tels que cos(2πn)s’écrive de la formea+b√
d, aveca, b, d∈Qet dnon carré.
g) Étendre les résultats dee)et f )aux nombrescos(2kπn ).
h) Digression : Montrer que pour n > 2, les coefficients ak de Φn vérifient aϕ(n)−k =ak.
[Indication: ComparerΦn(X)etΦn(X1). Attention au casn= 1.] Expliciter alors le polynôme minimal de2 cos(2πn).
i) En notant quesin(2πn) = cos(π2−2πn), montrer quesin(2πn )est algébrique de degré :
ϕ(n) sipgcd(n,8)<4
ϕ(n)
2 sipgcd(n,8) = 4
ϕ(n)
4 sipgcd(n,8) = 8 .
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II. Corps finis, [Demazure]
Exercice 12. — SoitFq un corps fini àq:=pn éléments.
a) Quel est le groupe(Fq,+)? b) Quel est le groupe(F×q,×)?
c) Pourm>1, combien de racinesm-ème de l’unité y a-t-il dansFq? d) Combien y a-t-il de carrés dansFq? de cubes ?
Exercice 13. — Soitq =pn une puissance d’un nombre premier etFq “le” corps àq éléments. SoitA=Xq−1−1∈Fq[X]. En utilisant les relations coefficients racines pour le polynômeA, calculer Q
α∈F∗q
αet P
α∈Fq
α2.
Exercice 14. — SoitKun corps fini àpméléments.
a) Montrer queKadmet un sous-corps à pn éléments ssin|m.
Dans ce cas, montrer que ce sous-corps àpn éléments est unique.
b) Montrer que le polynômeX2+X+ 1est irréductible surF2 et surF32.
Exercice 15. — SoitFq un corps fini etM ∈Mn(Fq). Montrer queM est diagonali- sable ssiMq =M.
Exercice 16. — SoientA, B∈Mn(Z)et pun nombre premier.
a) Montrer que l’on a la congruence Tr(Ap)≡Tr(A) [p].
[Indication: Considérer la réductionA ∈ Mn(Fp)et commencer par traiter le cas où Aest trigonalisable.]
b) En déduire que l’on a Tr(A+B)p≡Tr(Ap) +Tr(Bp) [p].
Exercice 17. — Soitα:=√ 2 +√
3∈R.
a) Montrer queαest algébrique de degré4surQet expliciter son polynôme minimal P∈Z[X].
b) Montrer queP a une racine dans tout corpsk dans lequel2 et3 sont des carrés.
c) Pour tout premierp, montrer que tous les éléments deFpsont des carrés dansFp2. d) En déduire queP est réductible surFppour toutp.
Exercice 18. — Soit n >1 et P ∈ Fp[X] un polynôme irréductible de degré n. On noteKle corps finiFp[X]/(P).
a) Soit ϕ : K → K, x 7→ xp le morphisme de Frobenius. Montrer que ϕ est un automorphisme de corpsFp-linéaire et qu’il est d’ordren.
b) En déduire quePanracines distinctes dansKqui sontα:=X, ϕ(α), . . . , ϕn−1(α).
Exercice 19. — Soit q= pn une puissance d’un nombre premier et Fq un corps à q éléments. Pour toutα∈Fq, on poseTr(α) =
n−1
P
i=0
αpi.
a) Montrer queTrest une application linéaire à valeur dans le sous-corpsFp⊂Fq. b) Montrer qu’il existeα∈Fq tel queTr(α)6= 0.
c) Pourα∈Fq, montrer qu’on aTr(α) = 0ss’il existeβ∈Fq,tel queα=βp−β. [Indication: Noter queFq→Fq,β7→βp−βest linéaire. Quelle est la dimension de son image ?] Exercice 20. — Soient P1 et P2 ∈Fp[X] deux polynômes irréductibles de même de- grén>1. Comment explicite-t-on un isomorphisme entre les corps finis Fp[X]/(P1)et Fp[X]/(P2)?
Application numérique :P1=X2+X+ 2,P2=X2+ 2X+ 2∈F3[X].
Exercice 21. — Donner un sens à l’énoncé suivant : “Soitpun nombre premier. Mon- trer queS+∞
n=0Fpn! est une clôture algébrique deFp”.
Exercice 22. — SoitP ∈Fp[X]un polynôme. Montrer que le nombre de racines dis- tinctes deP dansFp (sans compter les multiplicités) est le degré du pgcdP∧(Xp−X).
Et pour compter les racines dansFq?
Exercice 23. — SoitP∈Fp[X]un polynôme irréductible de degrén.
a) Montrer que pour toutk>1,P|Xpnk−X dansFp[X].
[Indication: Dans le corps niFp[X]/(P), on aXp
n
−X= 0.] b) Montrer que dansFp[X], on aXpn−X = Q
P∈Fp[X]irréductible unitaire de degré divisantn
P.
c) En déduire le test d’irréductibilité de Rabin : un polynôme P ∈Fp[X] de degré n est irréductible ss’il divise Xpn−X et, pour tout facteur premier d|n, P est premier àXp
n d −X.
Application :Montrer que pour poura∈F×p, le polynômeXp−X−a∈Fp[X]
est irréductible.
[Indication: Montrer que pour touti,Xpi≡X+ia mod (Xp−X−a).]
d) En notantIp(n)le nombre de polynômes deFp[X]irréductibles unitaires de degré n, montrer que l’on apn =P
d|ndIp(d).
e) En utilisant la formule d’inversion de Möbius, en déduire que l’on a Ip(n) =
1 n
P
d|n
µ(nd)qd.
f ) Montrer queIp(n)est équivalent à qnn. Exercice 24. — [Algorithme de Berlekamp]
SoitP∈Fp[X]un polynôme sans facteur carré ; on noteP =P1. . . Prla décomposition deP en facteurs irréductibles. SoitE:=Fp[X]/(P).
a) Montrer queEest un produit de corps finis.
b) Soit ϕ : E → E, e 7→ ep. Montrer que ϕ est une linéaire et que l’on a dim ker(ϕ−id) =r.
En déduire un test d’irréductibilité dansFp[X].
c) Sir >1, justifier qu’il existe un élémentQ∈ker(ϕ−id) “non constant”.
Montrer qu’il existeλ∈Fp, tel que pgcd(P, Q−λ)soit un diviseur non trivial de P.
d) Programmer cet algorithme de factorisation. Comment traiter également les poly- nômes ayant éventuellement des facteurs irréductibles avec multiplicités ?
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![Sommes de deux carrés dans $IF_q \left[X\right]$ et problèmes de diviseurs](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)