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À quelle condition deux nombres entiers et sont-ils échangeables ? EXERCICE 2 : On dispose d’un ensemble de 5 nombres entiers

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Academic year: 2022

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OLYMPIADES REGIONALES DE MATHEMATIQUES SESSION 2021 NIVEAU TleC

Durée : 4heures EXERCICE 1 :

Pour chaque couple de nombres réels ( ; ), on définit sur IR la fonction par : ( ) = − √ +

Deux nombres réels et distincts sont dits échangeables s’il existe au moins un couple de nombres réels ( ; ) tel que la fonction vérifie à la fois les conditions suivantes : ( ) = et ( ) = .

1. Montrer que 2 et 3 sont échangeables.

2. Peut-on en dire autant de 4 et 7 ?

3. À quelle condition deux nombres entiers et sont-ils échangeables ? EXERCICE 2 :

On dispose d’un ensemble de 5 nombres entiers. Si on les ajoute deux à deux, on obtient les dix sommes suivantes :

2001, 2006, 2007, 2008, 2009, 2014, 2017, 2018, 2023, 2025.

Déterminer ces 5 nombres.

EXERCICE 3 :

Un soupirail a la forme d’un demi-cercle.

A partir d’une certaine hauteur , on installe trois barres de sécurité de longueur 24 cm, 48 cm et 60 cm

espacées de la même distance comme l’indique la figure ci-contre.

1. Calculer le rayon R du soupirail.

2.On souhaite ajouter une quatrième barre sous la barre de 60 cm,

toujours à la distance d.

Quelle longueur doit-on prendre ?

REPUBLIC OF CAMEROON Peace-Work-Fatherland

********

ADAMAWA REGION

******

REGIONAL DELEGATION OF SECONDARY EDUCATION

********

REGIONAL INSPECTORATE OF PEDAGOGY IN CHARGE OF TEACHING SCIENCES

*********

ASSOCIATION OF MATHMATICS TEACHERS OF ADAMAWA (AMEMA)

REPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix-Travail-Patrie

********

REGION DE L’ADAMAOUA

********

DELEGATION REGIONALE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES

********

INSPECTION REGIONALE DE PEDAGOGIE CHARGEE DE L’ENSEIGNEMENT DES SCIENCES

*********

AMICALE DES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DE L’ADAMAOUA (AMEMA)

R 60

48 24

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EXERCICE 4 : À la recherche du « chaînonze »

I. On appelle chaînonze une chaîne de chiffres telle que tout nombre formé de trois termes consécutifs de la chaîne est divisible par onze.

Par exemple « 7 5 9 4 » est un chaînonze car 759 et 594 sont divisibles par 11.

1. Rappeler le critère de divisibilité par 11.

2. Quel chiffre peut-on ajouter à droite de la chaîne « 7 5 9 4 » pour le prolonger en un chaînonze ?

3. Prolonger par la droite la chaînonze « 7 5 9 4 » en un chaînonze de 12 chiffres.

Peut-on le prolonger ainsi indéfiniment ? Justifiez votre réponse.

Quel serait alors le 2010ème chiffre ?

4. On envisage de partir d’une chaîne de deux chiffres et de le prolonger par la droite en un chaînonze le plus long possible.

Prolonger par la droite les chaînes « 0 9 » et « 9 1 ». Que constate –t-on?

II. On considère la chaîne « » où et sont deux chiffres. On veut savoir si cette chaîne est prolongeable en un chaînonze de trois chiffres et,

auquel cas, si un tel prolongement est unique.

1. Etudier le cas particulier « ».

2. Etudier le cas = − 1. 3. Etudier les autres cas.

4. Montrer qu’en prolongeant la chaîne « a b » autant que faire ce peut, le chaînonze obtenu est soit fini, soit 6-périodique.

NB : On appelle chaînonze fini un chaînonze qui au bout d’un nombre fini d’opérations ne peut plus se prolonger.

On appelle chaînonze -périodique un chaînonze infini constitué d’une séquence de chiffres se répétant indéfiniment.

EXERCICE 5

1°) Une ficelle de longueur L est coupée en deux morceaux ; avec l’un d’eux, on forme un cercle et avec l’autre un carré. À quel endroit doit-on couper la ficelle pour que la somme des aires du disque délimité par le cercle et du carré soit minimale ?

2)°Soit (x ;y) ∈ ℝ qui vérifie le système d’équation : ²+ ² = 2 + = 2 . Déterminer les valeurs de ( + ).

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