A5917. Les inséparables
Q₁[*] Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
Q₂[**] Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
Solution proposée par Gaston Parrour
Q₁ Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
On désigne par Nc (m) le nombre de chiffres que contient le nombre m
Un nombre a, réel positif quelconque, peut s'écrire a = [a] + {a} le crochet désigne la partie entière et l'accolade la partie décimale → [a] ≤ a < [a] + 1
Alors avec cette notation, l'égalité stricte de droite permet d'écrire Nc ( 10a) = [a] + 1
De façon générale pour tout entier naturel n et avec logx le logarithme décimal de x : 2n = 10nlog2
5n = 10nlog5 = 10n(1-log2) Avec ce qui précède
Nc(2n) = [nlog2]+1 (1) Nc(5n) = [n-nlog2]+1 (2)
Et on a pour tout entier n >0 [nlog2] < nlog2 (inégalité stricte car log2 irrationnel) d'où → n – nlog2 < n – [nlog2]
donc [n – nlog2] = n – [nlog2] – 1 (3)
Conclusion En écriture décimale, la juxtaposition de 2n et de 5n (notée ici U ) conduit, avec (1), (2) et (3), à ==> Nc (2n U 5n) = Nc(2n) + Nc(5n) = n+1
Avec n = 2021 → Nc( 2n U 5n) = 2022
Q₂ Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre nlog2 = [nlog2] + {nlog2}
nlog5 = [nlog5] + {nlog5}
on a nlog5 = n – nlog2 et donc [nlog5] = [n – nlog2] = n – [nlog2] – 1 [cf. (3) ci-dessus]
Et avec nlog2 + nlog5 = nlog10 = n , la somme membre à membre des 2 égalités ci-dessus donne n = (n-1) + {nlog2} + {nlog5}
D'où les égalités
[nlog2] + [nlog5] = n – 1 (4) {nlog2} + {nlog5} = 1 (5)
La question Q1 montre que l'entier 2n écrit en base 10 possède [nlog2] + 1 chiffres → donc son chiffre ''c'' le plus à gauche 0 < c <10 correspond à c x 10[nlog2]
Autrement dit
→ Le chiffre c le plus à gauche pour 2n est donné par la partie entière de 2n / 10[nlog2]
c = [ 2n / 10[nlog2] ] De même le chiffre le plus à gauche de 5n est donné par c' = [5n / 10[nlog5] ]
L'égalité c = c' s'écrit, après avoir remplacé [nlog5] avec la relation (4) :
[ 2n / 10[nlog2] ] = [ (10/2)n x 10[nlog2] / 10n-1 ] (6)
En posant
X = 2n / 10[nlog2] = 10{nlog2} (l'exposant est la partie décimale de nlog2) , L'égalité (6) entre parties entières , s'écrit
[ X ] = [10 / X ] (6') On vérifie directement que cette égalité est satisfaite pour
3 ≤ X ≤ 10/3
Donc les valeurs de l'entier naturel n qui satisfont à la question (c = c') sont les solutions de ==> log3 ≤ {nlog2} ≤ (1 – log3) (7) Remarque la relation (5) ci-dessus entre les partie décimales de nlog2 et nlog5 montre que ==> {nlog5} satisfait à la même double inégalité [ (7) ci-dessus ] Conclusion
Un petit programme très simple avec une boucle sur l'entier naturel n et qui filtre les valeurs décimales de nlog2 selon l'encadrement (7) , fournit la suite (infinie) d'entiers n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
A titre d'illustration, voici les premières valeurs de n (déterminées à la calculette) qui répondent à la question n = (5,15) , (78,88,98,108,118) , (181,191,201,211) , (274,284,294,304) ,
On remarque que les solutions se regroupent par ''paquets'' notés ici avec ( ) , et qu' à l'intérieur de chaque paquet, les valeurs de n évoluent par pas de 10
En notant ainsi (181 → 211) , (274 → 304) de tels paquets de solutions, la suite des solutions à la calculette est
(367 → 407) (470 → 500) (563 → 603) (666 → 696) , ...
