Palindromes multi-bases (solution)
• La question 1 laisse libre le choix des 2 bases.
Prenons donc les bases 2 et 4:
”3” suivi de n ”0” en base 4 donne ”11” suivi de n ”00” en base 2, donc tout palindrome en base 4 ne comprenant que des ”3” et des ”0” sera aussi palindrome en base 2.
Exemple (4)”30303” = (2)”1100110011”
Quod erat demonstrandum
Mˆeme chose en bases 3 et 9 o`u ”8” en base 9 donne ”22” en base 3, et ”0”
donne ”00”, et plus g´en´eralement en bases B et B2 o`u ”B2−1” en base B2donne ”(B−1)(B−1)” en baseB.
Exemple (9)”808” = (3)”220022” ou (16)”FF0FF” = (4)”3333003333”
• Question 2: les 2 nombres (trouv´es par ordinateur) sont:
(10)”121” = (3)”11111” = (7)”232” = (8)”171”
(10)”373” = (4)”11311” = (8)”565” = (9)”454”
• La question 1 entre bases quelconques est ouverte.
Je penche toutefois pour une infinit´e de solutions quelles que soient les 2 bases. En effet, la densit´e des palindromes descend par paliers qui forment des marches d’escalier autour la fonction √1
N
Par exemple en base 10:
N=10 `a N=100: 9 palindromes sur 90 valeurs N=100 `a N=1000: 90 palindromes sur 900 valeurs soit une densit´e 101 de 10 `a 1.000,
puis une densit´e 1001 de 1.000 `a 100.000, etc
Si les palindromes ´etaient r´epartis al´eatoirement, la probabilit´e de co¨ıncidence diminuerait en N1, et le nombre de co¨ıncidences augmenterait en Log(N).
En r´ealit´e, les palindromes sont r´epartis suivants des ”peignes” irr´eguliers et on observe ce qui s’apparente `a des effets de moir´e. Voici 2 relev´es du nombre de co¨ıncidences par tranches successives.
103`a 104 104 `a 105 105 `a 106 106 `a 107 107 `a 108 108 `a 109 109 `a 1010
Bases 10 et 7 4 0 2 0 5 1 6
Bases 10 et 9 7 1 4 1 17 1 4
1010 - 1011 1011- 1012 1012- 1013 1013- 1014 1014 - 1015 1015 - 1016 1016- 1017
Bases 10 et 7 0 11 2 9 4 4 2
Bases 10 et 9 3 0 1 4 2 3 2
1
