D653. Tangente à une ellipse
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit une ellipse (E) dont on ne connaît que la courbe. D'un point O extérieur à (E), on a tracé les deux tangentes à cette ellipse. Construire à la règle et au compas une
tangente à (E) en un point quelconque M de (E).
Solution proposée par Claudio Baiocchi
De Pappus … Le résultat suivant, du à Pappus, est connu depuis à peu près 18 siècles et permet de nombreuses constructions « à la règle seule » :
Si et sont deux triplets de points alignés, les intersections des droites , , et sont également alignés.
… à Pascal Bien plus récente (et plus puissante !) est la généralisation du à Pascal, qui parlait de hexagramme mystique : si on remplace l’hypothèse sur les triplets supposant que les six points se trouvent sur une conique (au lieu que sur une droite double) la conclusion reste valable :
Les trois paires de cotés opposés d’un hexagone inscrit dans une conique se croisent en trois points alignés
Il s’agit de l’instrument fondamental pour les constructions « à la règle seule » ; par exemple, à partir de 5 points donnés sur une conique, on peut construire les tangentes correspondantes :
Dans la figure ci-haut, on a fixé les cinq points et on a fixé , point où l’on va construire la tangente. La droite bleue se construit aisément et sur elle doit se trouver l’intersection entre la droite et la « droite » qui naturellement
dégénère en droite tangente en .
Solution du problème, à la règle seule. Rien n’empêche d’ailleurs de laisser
dégénérer d’autre donnés ; par exemple, portant à coïncider avec et à coïncider avec B, on pourra encore tracer la figure si l’on connait les tangentes en et
(tangentes qui remplacent les droites et de la figure précédente). Par rapport à la figure précédente on a introduit le point (qui d’ailleurs ne jour aucun rôle) et on a appelé M le point qui, auparavant, était noté :
